因式分解技巧(单墫著)

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1、目 录0 什么是因式分解 0011 提公因式 00211 一次提净 00212 视“多”为一 00313 切勿漏1 00314 注意符号 00415 仔细观察 00416 化“分”为整 005 习题1 0062 应用公式 00721 平方差 00722 立方和与立方差 00823 完全平方 00824 完全立方 00925 问一知三 01026 不是质数 011 习题2 0123 分组分解 01331 三步曲 01332 殊途同归 01333 平均分配 01434 瞄准公式 01535 从零开始 015 习题3 0174 拆项与添项 01841 拆开中项 01842 皆大欢喜 01843 旧事

2、重提 01944 无中生有 01945 配成平方 020 习题4 0215 十字相乘 02251 知己知彼 02252 孰能生巧 02453 再进一步 02554 二次齐次式 026整理为word格式55 系数和为零 027 习题5 0286 二次二次式的分解 02961 欲擒故纵 02962 三元齐次 03163 项数不全 03264 能否分解 032 习题6 0347 综合运用 03571 善于换元 03572 主次分清 03773 一题两解 03874 展开处理 039 75 巧运匠心 040 习题7 0428 多项式的一次因式 04481 余数定理 04482 有理根的求法 04583

3、 首1多项式 04784 字母系数 049 习题8 0509 待定系数法 05191 二次因式 05192 既约的情况 054 习题9 05510 轮换式与对称式 056101 典型方法 056102 齐次与非齐次 059103 061104 焉用牛刀 062105 整除问题 063106 原来是零 065107 四元多项式 067 习题10 06811 实数集与复数集内的分解 071111 求根公式 071112 代数基本定理 073113 单位根 074114 攻玉之石 076 习题11 079整理为word格式12 既约多项式 080121 艾氏判别法 080122 奇与偶 081123

4、 分圆多项式 083124 绝对不可约 085 习题12 085 习题答案 087整理为word格式0 什么是因式分解在小学里，我们学过整数的因数分解由乘法，得34=12反过来，12可以分解：12=34当然，4还可以继续分解为22于是得12=322这时12已经分解成质因数的乘积了同样地，由整式乘法，得 反过来，可以分解为两个因式1+2x与的乘积，即 还可以继续分解为于是 ，这里x的一次多项式1+2x、1+x、1-x都不能继续分解，它们是不可约多项式，也就是既约多项式，所以，已经分解成质因式的乘积了把一个整式写成几个整式的乘积，称为因式分解每一个乘式称为积的因式在因式分解中，通常要求各个乘式（因

5、式）都是既约多项式，这样的因式成为质因式因式分解的方法，我们将逐一介绍整理为word格式1 提公因式学过因式分解的人爱说：“一提、二代、三分组”“提”是指“提取公因式”在因式分解时，首先应当想到的是有没有公因式可提几个整式都含有的因式称为它们的公因式例如都含有因式，就是它们的公因式由乘法分配律，我们知道 ，因此 （1） 这表明(1)式左边三项的公因式可以提取出来，作为整式的因式 的另一个因式仍由三项组成，每一项等于中对应的项除以公因式： ，11一次提净例1 分解因式：解 由、这三项组成，它们的数系数12、6、15的最大公约数是3，各项都含有因式和，所以是上述三项的公因式，可以提取出来作为的因式

6、，即有=在例1中，如果只将因式3a或3ax提出，那么留下的式子仍有公因式可以提取，这增添了麻烦，不如一次提净为好因此，应当先检查数系数，然后再一个个字母逐一检查，将各项的公因式提出来，使留下的式子没有公因式可以直接提取还需注意原式如果由三项组成，那么提取公因式后留下的式子仍由三项组成在例1中，这三项分别为、除以公因式所得的商初学的同学为了防止产生错误，可以采取两点措施：1在提公因式前，先将原式的三项都写成公因式与另一个式子的积，然后再提取公因式，即= =整理为word格式在熟练之后应当省去中间过程，直接写出结果2用乘法分配律进行验算由乘法得出=1.2 视“多”为一例2 分解因式：解 原式由、这

7、两项组成，它们的数系数的最大公约数是2，两项都含有因式和b，而且都含有因式xy与bc，因此是它们的公因式于是有=在本例中，我们把多项式xy、bc分别整个看成是一个字母，这种观点在因式分解时是很有用的1.3 切勿漏1例3 分解因式：解 我们把多项式2xy看成是一个字母，因此原式由、这三项组成，是这三项的公因式，于是=请注意，中括号内的式子仍由三项组成，千万不要忽略最后一项1在省去中间过程时，尤需加倍留心整理为word格式1.4 注意负号例4 分解因式：解 = =注意中括号内的最后一项是1，千万别漏掉！本例中，原式的第一项有个因数1，它也可以作为因数提取出来，即= （2）这样做也是正确的但必须注意

8、各项的符号，提出因数1后各项都应改变符号，所以(2)式的中括号内三项的符号恰与原式中相应的三项相反1.5 仔细观察例5 分解因式：解 初看起来，原式所含的第一项与第二项没有公因式，但进一步观察便会发现 因此是两项的公因式于是有 =提出公因式后，留下的式子如果可以化简，就应当化简整理为word格式1.6 化“分”为整例6 分解因式：解 这里的第三项的系数是分数，为了避免分数运算，我们把先提取出来，这时每项都除以(也就是乘以4)，即=熟练以后可以将以上两步并作一步，“一次提净”在提出一个分数因数(它的分母是各项系数的公分母)后，我们总可以使各项系数都化成整数(这个过程实质上就是通分)并且，还可以假

9、定第一项系数是正整数，否则可用前面说过的方法，把1作为公因数提出，使第一项系数成为正整数小 结提公因式是因式分解的基本方法之一在因式分解时，首先应该想到是否有公因式可提在与其他方法配合时，即使开始已经提出公因式，但是经过分组或应用公式后还有可能再出现公因式凡有公因式应立即提净提公因式时吗，应注意各项的符号，千万不要漏掉一项整理为word格式习 题 1将以下各式分解因式：1 2 3 4 (n是正整数)5 6 7 8 9 10 整理为word格式 2 应用公式将乘法公式反过来写就得到因式分解中所用的公式，常见的有七个公式(1)；(2) (3) (4) (5) (6) (7) 以上公式必须熟记，牢牢

10、找我各自的特点21 平方差七个公式中，公式(1)(即平方差公式)应用得最多例1 分解因式：解 原式由两项组成，这两项符号相反，并且=，=，因此可以应用公式(1)，得 = 应用公式(1)= 合并同类项例2 分解因式：解 = 首先提取公因式整理为word格式= 熟练后这步可以省去= 应用公式(1)例3 分解因式：解 =应用公式(1)= 合并同类项= 提公因式= 应用公式(1)例3 表明在因式分解中可能需要多次应用公式或提公因式，直到不能继续分解为止2.2 立方和与立方差例4 分解因式：解 = 提公因式= 应用公式(3)例5 分解因式：= 应用公式(2)=公式(2)、(3)中的符号极易搞错，务必引起

11、注意整理为word格式2.3 完全平方例6 分解因式：解 原式由三项组成，第一项，第三项， ，与中间一项只差一个符号，因此可以利用公式(5)，得=这样的式子成为(完全)平方式不是平方式的二次三项式，通常用十字相乘法分解，请参看第5单元例7 分解因式：解 首先把原式“理顺”，也就是将它的各项按字母a降幂(或升幂)排列，从而有 = = 提公因式 =按某个字母降幂排列是一个简单而有用的措施(简单的往往是有用的)，值得注意例8 分解因式：解 我们需要引入一个公式，由乘法可得 即若干项的和的平方等于各项的平方与每两项乘积的2倍的和上面的式子可写成 (8)这也是一个因式分解的公式联系到例8就有=显然，公式

12、(4)是公式(8)的特殊情况，当c=0时，公式(8)就简化成公式(4)，公式(5)也是公式(8)的特殊情况另外，在公式(4)中将b换成b，公式(4)就变成公式(5)不难看出，公式(2)与(3)，(6)与(7)也有同样的关系整理为word格式2.4 完全立方例9 分解因式：解 = 按x降幂排列= 应用公式(6)例10 分解因式：解 = 应用公式(7)= 应用公式(1)在应用公式(6)、(7)时，需要判明原式是否符合条件，即它应由四项组成，有两项是立方：与(或)，另两项应当是(或)与这些要求不太容易满足，因此直接应用公式(6)、(7)的情况是比较少的但是，如果遇到了也不可失之交臂相比之下，完全平方

13、用得较多，人们常常用它来证明一个式子的值是非负的2.5 问一知三例11 分解因式：解 可以看成平方：，也可以看成立方：，于是的分解就有两条路可走第一条路是先应用平方差公式：= 应用公式(1)= 应用公式(2)(3) 第二条路是从立方差公式入手： = 应用公式(3)= 应用公式(1)整理为word格式采用两种方法分解，获得的结果应当相同因此比较与我们知道不是既约多项式，并且有= (9)及= (10)于是，从的分解出发，不但得到(10)式，而且知道不是既约多项式，导出了(9)式，可谓问一知三在第4单元中，我们还要介绍导出(9)式的另一种方法26 不是质数例12 求证不是质数证明 为了将分解因数，我

14、们需要知道一个新的公式，即在n为正奇数时 (11)(11)式不难用乘法验证，将右边的两个因式相乘便得到现在我们有 = =是的真因数，它大于1，小于，所以不是质数用这个方法可以证明：当n有大于1的奇数因数时，不是质数与(11)式类似，由乘法可以得到在n为正整数时 (12)这也是一个有用的公式例12 分解因式：解 =整理为word格式公式(3)是公式(12)的特例，公式(2)是公式(11)的特例请注意公式(12)对一切正整数n成立，而公式(11)的适用范围只是正奇数n小 结“一提、二代”中的“代”就是指“应用公式”(代公式)在这一节介绍了公式(1)(12)，其中(1)(7)必须牢记，公式(1)尤为

15、重要做题时，应当根据具体情况选用公式 习 题 2将以下各式分解因式：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 整理为word格式15 16 17 18 19 20 3 分组分解整式 的四项没有公因式可以提取，也无法直接应用公式，这样的式子需要分组分解。31三步曲我们用上面的整式来说明如何分组分解。例1分解因式：解: 【分为两组】 【“提”】 【再“提”】一般地，分组分解大致分为三步：1. 将原式的项适当分组；2. 对每一组进行处理（“提”或“代”）；3. 将经过处理后的每一组当作一项，再采取“提”或“代”进行分解。以为高明的棋手，在下棋时，绝不会只看一步。同样，在进行分

16、组时，不仅要看到第二步，而且要看到第三步。整理为word格式一个整式的项有许多种分组的方法，初学者往往需要经过尝试才能找到适当的分组方法，但是只要努力实践，多加练习，就会成为有经验的“行家”。32殊途同归分组的方法并不是唯一的，对于上面的整式，也可以采用下面的做法： 两种做法的效果十一样的，殊途同归！可以说，一种是按照x与y来分组（含x的项在一组，含y的项在另一组）；另一种是按a和b来分组。例2分解因式： 。解法一 按字母x的幂来分组。 解法二 按字母a的幂来分组。 32平均分配在例2中，原式的6项是平均分配的，或者分成三组，每组两项；或者分成两组，每组三项。整理为word格式如果分组的目的是

17、使第二步与第三步都有公因式可提，那么就必须平均分配。例3分解因式： 解 6项可以分成三组，每组两项，我们把幂次相近的项放在一起，即 本例也可以将6项分成两组，每组三项，即将系数为1的放在一组，系数为-2的放在另一组。详细过程请读者自己完成。例4分解因式： 解 请读者考虑另一种分组分解。34瞄准公式如果在第二步或者第三步中需要应用乘法公式，那么各组的项数不一定相等，应根据公式的特点来确定。例5分解因式： 解【应用公式（1）】 【应用公式（4）】本例是瞄准公式（1）与（4）来分组的例6 分解因式： 解 根据a的幂来分组是可以行得通的，恰好能用上公式（2），并未下一步提取公因式奠好基础： 整理为wo

18、rd格式 【应用公式（2）】 【提公因式】 例7 分解因式：解 【公式（4）及提公因式】【提公因式】这次是瞄准公式（4）来分组的35从零开始如果分组分得不恰当，因式分解无法进行下去，那么就应当回到分组前的状况，从零开始，考虑新的分组。例8分解因式： 解如果把有x的项集在一起，有y的项集到一起，那么 虽然每一组都有公因式可提，但是两组之间却无公因式可提，也没有公式可以利用，分解无法进行下去。这时，必须从零开始，重新分组。这次将次数相同的项放在一起，我们有 【应用公式（1）、（3）】 【提取公因式】 例9 分解因式： 整理为word格式解 此式无法直接进行分解，必须先用乘法分配律将原式变为四项，在

19、进行分组。 从这个例子可以看出，错误的分组还不如不分组。聪明的人并不是不犯错误的人，而是善于改正错误的人小 结如果“一提，二代”都不能奏效，就应当采用分组分解。分组分解应依照前面所说的三步进行。这三步时密切联系的，不仅要看到第二步，而且要看到第三步。在第二步和第三步都是提取公因式时，各组的项数相等（平均分配）。否则，应当瞄准公式进行分组。应当注意，分组需要尝试，失败了，从零开始。只要反复实践，就能掌握分组的技巧，运用自如。习 题 3将下列各式分解因式：整理为word格式 4 拆项与添项为便于进行分组分解，常常将一项（或若干项）拆为两项（或几项）的和。41拆开中项前面已经说过，在分组分解时，常常

20、将项数平均分配。但是，像 这样的式子，只有三项，怎么能平均分成两组呢？方法整理为word格式是先将一项拆为两项。如果这个整式是按某一字母的升幂或降幂排列的，那么以拆开中项为宜。例1 分解因式： 解 例2 分解因式： 解 在这两个例子中，都有一个因式是x的一次多项式。第8单元将讨论求一次因式的一般方法。42皆大欢喜拆项的目的无非是在适当分组后使得每一组可以（同时，组与组之间也可以“提”或“代”）。因此，有时也不一定都是拆开中项。例3 分解因式： 解 前三项比完全立方公式少1，四、五、六项的和比立方公式少1如果把2拆为两个1，那么就可以使两组都成为完全立方，皆大欢喜。于是 整理为word格式43旧

21、事重提例4 分解因式： 解 在第2单元中，我们已经巧妙地导出了这个多项式的因式分解（例11中得到的公式（9）。现在，我们用拆项的方法来导出公式（9）。首先注意是完全平方，为了把配成完全平方，就得把 拆成两项的（代数）和，即于是这种配平方的做法用途很多，后面习题中有不少类似的问题供读者练习。44无中生有例5 证明 在m、n都是大于1的整数时， 是合数。解 这个问题的实质是将因式分解，我们仍然采用例4中的配方法。可是，只有两项，所以，要配成完全平方就得在中间添上一项 ，即由于在m、n都大于1时，两个因数中较小的那一个 ，整理为word格式即两个因数都是的真因数，所以是合数。这里先添上 ，然后再减去

22、，可以看成是把0拆成和 之和。这种“无中生有”的做法也是常用的。45配成平方例6 分解因式： 解 先把原式写成括号中的式子首项系数是正的，这个式子不是完全平方式，但只要改变后三项中任一项的符号，比如说将 改成 ，那么由公式（8）可得所以为了配成平方，应当将拆成 ，这时 这个例子中多次应用公式，特别是公式（1）注：由几何可以知道，如果三角形的三条边的长分别为a、b、c，那么三角形的面积 ，其中是周长的一半例6中的整式实际是 小 结整理为word格式为了分组分解，常常采用拆项和添项的方法，使得分成的每一组都有公因式可提或者可以应用公式对于按某一字母降幂排列的三项式，拆开中项是最常见的配完全平方的时

23、候，往往需要添上一个适当的项或者将某一项适当改变，然后再应用公式（1）分解习 题 4将下列各式分解因式 5 十字相乘法对于二次三项式 的因式分解，最简单最有效的方法是十字相乘51知己知彼通常是老师编题，学生解题其实学生也可以编题既会编题又会解题，那可真是“知己知彼，百战不殆”了整理为word格式因式分解的题很容易编比如说，取两个一次多项式 与 相乘， 排竖式 得积为，那么就可以编一道题：例1 分解因式：编题的人早已心中有数： （1）解题的人解起来要费点神，关键是怎么求出2与3这两个数请看上面的竖式乘法，我们有 即2、3这两个数的积是6，和是5因此，可以把6分解因数，得到2与3当然，6还有其他的

24、分解，比如说 或 或 ，但是只有2与3的和为5，所以结果是（1）式于是，我们得到分解这种二次三项式的方法：先把常数项6分解为两个因数的积（不一定是正因数，也不一定是质数），再看一看这两个因数的和是不是等于一次项的系数如果等于一次项的系数，那么就产生了这个二次三项式的因式分解否则，取常数项的另一种分解，再进行检验这样尝试几次，就可以得出结果如果你运气好或者经验多，兴许一次就可以成功这种算法采用下面的算式，非常方便： 其中2与3时由6分解因数产生的，两道交叉的线表示应将线两端的数相乘（即13，12），然后再相加，横线下的数表示所得的和如果和等于一次项系数，那么就得到所需的分解，算式中的第一行与第二

25、行各表示一个因式，第一行12，表示x2；第二行13表示x3不难看出，这个算式实际上就是乘法竖式的省略写法，它被称为十字相乘例2 分解因式： 解 这一次把6分解为23是不行的，应当把6分解为（-1）（-6）由算式整理为word格式得 6还有两种分解：6=（2）（3）=16由算式 可以编出一下两道题：例3 分解因式： 解 例4 分解因式： 解 52 熟能生巧要掌握十字相乘，首先要熟悉整数的因数分解，熟悉有理数的加（减）法，反复练习，熟能生巧，这里再给出几个例题例5 分解因式： 解 8=24，而24=6算式为 所以 例6 分解因式： 解 由算式 得 例7 分解因式： 整理为word格式解 由算式 得

26、 注意：在常数项为正时，两个因数同号（同为正数或同为负数）；在常数项为负数时，两个因数异号例8 分解因式：解 由算式 得 有理数的加法，切勿搞错！例9 分解因式解 按照前面已经说过的办法，先把“理顺”，并提出公因数，使首项系数成为：由算式 或 得 ，或 不先提出，直接十字相乘也是可以的53 再进一步前面讨论的是首项系数为的二次三项式一般的二次三项式也可以用十字相乘来分解例10 分解因式：解 采用类似的算式：把分解为，写在第一列；把分解为，写在第二列；然后，交叉相乘，把积相加，最后把得到的和写在横线下面，即整理为word格式这个和恰好是一次项的系数，于是注：算式中的第一行，表示；第二行，表示如果

27、得到的和不等于一次项的系数，那么，或者把换为的另一种分解，或者把换为的另一种分解，或者两者都换经过多次尝试，就能找出所需要的分解来例11 分解因式：解 与都有很多种分解算式是不成的由算式得 注意：我们总可以假定首项系数是正的，并且它的两个因数都是正数（必要时，将因数先提出去）例12 分解因式：解 首先把原式“理顺”（不理顺容易出错）：由算式得 54 二次齐次式形如的多项式，每一项都是与的二次式（中与的次数都是，所以的次数是），称为与的二次齐次式它的分解与的二次三项式一样，采用十字相乘例13 分解因式：整理为word格式解 由算式得 请注意：算式的第一行，表示；第二行，表示一定不要漏掉字母例14

28、 分解因式解 由算式得 在例14中，由多种分解，如果从拆入手（），或许更容易凑效十字相乘虽然简单，但是，要想做得快，还得依靠实践这个问题是可以意会，难于言传的55 系数和为零如果二次三项式的系数和，那么事实上，因为，这时 记住这个结论，下面的例题就能迎刃而解了例15 分解因式：解 例16 分解因式：解 小 结整理为word格式的二次三项式（或与的二次齐次式）应该用十字相乘来分解因式方法是把的系数分解为两个因数的积，把常数项（或的系数）也分解为两个因数的积，再把这些因数交叉相乘，如果所得乘积的和等于的一次项系数，那么就产生出多项式的两个一次因式在系数和为零时，必有一个因式是（或），这样，分解的结

29、果可以直接写出来习 题 5将下列各式分解因式：12345678910整理为word格式6 二元二次的分解形如的、的二元二次式也可以用十字相乘法来分解61 欲擒故纵例1 分解因式：解 如果只有二次项，那么就由算式得 如果没有含的项，那么对于多项式，由算式得 如果没有含的项，那么对于多项式，由算式得 把以上三个算式“拼”在一起，写成便得到所需要的分解：上面的算式称为长十字相乘，式中的三个十字叉乘就是上面所说的三次十字相乘（我们省略了横线及横线下面的数）两次十字相乘就可以确定算是中的个数，第三次十字相乘只需利用已有的数进行检验，必要时把同一列的两个数的位置交换一下长十字中的第一行表示因式，第二行的表

30、示另一个因式为了解决问题，常常先忽略一些条件，导出部分结果，然后再把几方面的结果综合起来，这种欲擒故纵的方法在数学中屡见不鲜例2 分解因式：整理为word格式解 先进行两次十字相乘，由算式 得 ，为避免混淆，我们在算式中写上、，表示相应的列是、的系数或常数项然后把两个算式拼成检验一下，正好有，于是 62 三元齐次长十字相乘对于三个字母、的二次齐次式也同样适合例3 分解因式：解 由算式得 例4 已知：、为三角形的三条边，且求证：解 由算式得 于是，由已知条件，得整理为word格式因为三角形的两条边的和大于第三条边，所以，从而 ，即 63 项数不全如果二次式中缺少一项或几项，长十字相乘仍然可用（通

31、常更为简单）例5 分解因式：解 由算式得 在例5中，如果仅看与，也可能导出不完全正确的算式在用第三个十字相乘时，可以发现第三列的与应当交换位置例6 分解因式：解 由算式得 64 能否分解二元二次式并不是一定能分解的如果三个十字相乘不能拼成一个长十字相乘，那么这个二元二次式就不能分解所以，在编制分解二元二次习题时，应当先拟好答案，即两个一次因式，然后把它们相乘，导出一个二元二次式换句话说，应当先写出长十字相乘的算式，然后再写出二元二次式如果随意地写一个二元二次式，那么多数是不能分解的例7 为什么数时，可以分解为两个一次因式的积？解 对于多项式，由算式整理为word格式对于多项式，由算式这两个算式

32、可以拼成长十字相乘或对第一个长十字相乘，有，而对第二个长十字相乘，有，所以，或时，才可以分解，并且由第一个长十字相乘，得，由第二个长十字相乘，得小 结、的二次式（或、的二次齐次式）应当用长十字相乘来分解长十字相乘由三个十字相乘组成，它们分别表示、的二次齐次式、不含的二次式（或、的二次齐次式）与不含的二次式（或、的二次齐次式）的因式分解习 题 6将以下各式分解因式：123456整理为word格式78910整理为word格式7 综合运用我国古代名将岳飞说过：“阵而后战，兵法之常，运用之妙，存乎一心”因式分解也是这样，学了前面的基本方法，还需要多加练习，灵活运用71 善于换元例1 分解因式：解 如果

33、把记为，那么原式就成为，由算式 得 ，所以 = =其实，不一定明确地把改记为，只要把看成一个字母就可以了例2 分解因式：解 我们把看成一个字母，由算式 得 = = =这里对再次用十字相乘分解因式，而在有理数集内不能分解，参见第11单元求根公式部分整理为word格式例3 证明：四个连续整数的乘积加1,是整数的平方证明 设这四个连续整数为、，则 = =我们把与相乘，与相乘，好处是两个乘积不但二次项相同，而且一次项也是相同的把看成，这时 ，得 = = =，这是一个平方数在本题中把或看成一个字母也是可以的，但切勿把全部乘出来写成的四次式，那样做的结果是破坏了规律性，难以下手例4 分解因式：解 第一项的

34、四个因式以将与相乘、与相乘为好，这时不仅二次项相同，而且常数项也相同，于是 = = = =整理为word格式 = 72 主次分清【例5】分解因式：【解】 这个多项式是的三次式，项数多，似乎无从下手，解决它的方法却是最基本的：把当作主要字母，也就是把这个多项式看成的二次式，按降幂排列整理为 ，然后用十字相乘进行分解，这里的“常数项”为由算式 1 得， 【注】这个问题还有一个解法，见习题9第3题【例6】分解因式：【解】 这是的二次式，原式化为由算式 得， 整理为word格式 【例7】分解因式：【解】 以为主要字母，这个多项式是的二次齐次式，把它整理成 =（注：我们把与的系数分解是为了进行十字相乘，的系数不必分解） 由算式 得，原式= = （注：这题按降幂排列也未尝不可，但是首项系数有一个负号）73 一题两解 【例8】分解因式： 解法一 这是的二次式，“常数项”可分解为 = = 再对整个式子运用十字相乘，由算式 1 整理为word格式 1 得 =解