等比以及求通项公式

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1、、等比数列常见性质:1.等比数列的定义：anq qan 10 n 2,且 n N*，q称为公比2.通项公式:ann 1aqa n-qA Bn a1 q0,A B 0，首项：a1;公比：qq推广：ann mamq，n m从而得qaam3.等比中项（1）如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项即：A ab或A ,0b 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项 有两个（两个等比中项互为相反数）2（2） 数列On是等比数列ana. 1 On 14. 等比数列的前n项和Sn公式：（1）当 q 1 时，Sn nai当q 1时，Sn屮1 qa1 a.q1 q旦旦 qn A A Bn A

2、Bn A1 q 1 q（A, B,A,B为常数）5. 等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有an 1 qan或1 q（q为常数，an 0） an0）%为等比数列an为等比数列(2)等比中项：2anan 1an 1( an 1 an 1(3)通项公式：anA Bn A B0an为等比数列(4)前n项和：SnA A Bn或SnABn A A, B, A,B为常数an为等比数列6. 等比数列的证明方法a*依据定义：若亠 q q 0 n 2,且n N 或an 1 qanan为等比数列an 17、注意（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、q、n、an及Sn，其中印、 q

3、称作为基本元素。只要已知这 5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。n 1（2） 为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；an如奇数个数成等差，可设为，-a；,-,a,aq,aq2（公比为q，中间项用a表示）； q q8. 等比数列的性质n 1(1)当q 1时：等比数列通项公式an aiq鱼qn A Bn A B 0是关于n的带有 q系数的类指数函数，底数为公比q前n项和snai 1 qn1 qna a1q 旦 qn A A Bn ABn A，系数和常数项是1 q 1 q 1 q互为相反数的类指数函数，底数为公比 q (2)对任何m,n N*,在等比数列a.中，有a. am

4、qn m,特别的，当m=1时,便得到等比数列的通 项公式.因此，此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。* 2 若 m+n=s+t (m, n, s, t N ),则 an am as d .特别的,当 n+m=2k 时,得 an am ak注：a1 ana2 an 1a3an 2,kr k、an 列an ,bn为等比数列，则数列 ,k an ,an ,k a. 0 (k为非零常数) anbn均为等比数列. 数列an为等比数列，每隔k(k N*)项取出一项(am,am k,am 2k,am 3k,)仍为等比数列 如果an是各项均为正数的等比数列，则数列log a an是等差数列 若an为等比数

5、列，则数列Sn，EnSn，Ssn S?.,，成等比数列(8) 若an为等比数列，则数列 d a2an , an 1 an 2a2n ,a2n 1 a2n 283.成等比数列(9) 当q 1时，当0q1时，a 0,则an为递增数列 a 0,贝则an为递减数列,a1 0,则an为递减数列a1 0,则an为递增数列 当q=1时，该数列为常数列(此时数列也为等差数列) 当q1532n 1n 1213 an 214 an 15三、数列综合复习 一一通项公式、前n项求和的求法归纳通项公式的求法：一、 直接法如果已知数列为等差(或等比)数列，可直接根据等差(或等比)数列的通项公式，求得a1 , d (或q)

6、,从而直接写出通项公式。例1.等差数列an是递减数列，且a2a3a4=48,a2a3a4=12，则数列的通项公式是()(A) an 2n 12 (B) an 2n 4 (C) an2n 12 (D) an 2n 10(D)。二、 累加(乘)法对于形如an1 an f(n)型或形如an 1 f (n )an型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加(或相乘)即可得到通项公式。一一 1 2例2、若在数列an中，ai 3，an 1 a“ n，求通项a.。答案：an(n n 6)n( n 1)例3、在数列an中，a1 1， an 1n2 an( n N ),

7、求通项an。答案：an 2例4、已知数列an满足n an 1(n 1) an，求数列an的通项公式。(解：an n)练习1.已知数列an满足an 1an 2n 1，a1 1，求数列g的通项公式。(解:an n2)练习2:若在数列an中，a13， an 1an2n，求通项 an答案：an = 2n 11答案：ann练习3:在数列 an中，a1 =1, (n+1) an 1= nan，求an的表达式三、 构造法有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数 列，从而利用这个数列求其通项公式。例5:已知数列an的递推关系为an 1 2an 1,且a1 1求通

8、项ann /答案：an 21例6、已知数列an中，a11 1答案：an 2ann31,且满足 an+1 = 3an+ 2,n? N，求数列a n的通项公式。练习1：已知数列an中，n 12，且满足2an+1=3an + 1, n? N，求数列an的通项公式答案：an 3（2）练习2 :已知数列aj 中,ai2,an 112an12,求通项an.答案an练习：3已知数列an满足 an 12an3 2n，ai 2，求数列an的通项公式。答案：12n(n 1)2，2例7 :已知下列两数列an的前n项和sn的公式，求an的通项公式.(1) Snn3 n 1. (2) snn23,n 1四、公式法：知S

9、n利用公式an.SnSn 1 , n20 (n1)2n 1 (n2)1 1、,先求出 ，再求得an.anan 1an答案：(1) an=3 n2 3n 2 , (2) an点评：先分n=1和n 2两种情况，然后验证能否统 五、倒数法： 数列有形如f (aap耳环J 0的关系，可在等式两边同乘以例8.、设数列an满足a12, an 1anan3(nN),求an.答案:an22 3n 11.练习：已知数列 an中a1 1且an 1ananN ),求数列的通项公式。答案:an11bnn1基本公式法:12 22 L等差、1n6求数列前n项和的方法:等比数列的前n项和公式；n 1 2n 1 、3333(

10、3)123 L n1n4然后把所得的等式和给Sn印a2 L an各边同乘以一个适当的数或式，原等式相减，对应项相互抵消，最后得出前 n项和Sn.一般适应于数列anbn的前n向求和，其中a.成等差数列，b3.裂项法：将数列的各项均分拆成两项的差，而后和式子中的一些项相互抵消，以达到求和 的目的。2 错位相消法:成等比数列。1常见的裂项途径有：若an是公差为d的等差数列，则anan 1d an an 11.aSnSn 1 n 21、分组求和法：利用转化思想,对某种数列可采用分拆,合并、重新组合的方法转化为等差,等比数列或常数列求和。例1求数列1+1，110百,a(3n2）的前n项和。答案：（1）当

11、a 1时,Sn3 22n(2)当 a 1 时，Snn a n a3n2试一试1 求111 111111n个 11之和.简析：由于与111n个 1999n个91 n9(101)an，分别求和.2.裂项求和法如果一个数列的每一项都能拆成两项之差，在求和中，一般除首末两项或附近几项外, 抵消，那么这个数列的前其余各项先后常见类型：（1）ann项较易求出，在解决分数数列求和问题时经常用到。=Jn 1Jn ； (2)n n 1an1 1 n(n 1) n例2求数列1 2 , 2 3 ,n(n 1)的前n项和。答案:6nSn n1 1 1例3 求数列, , 的前n项和.13 42 V4 Un Jn 2答案

12、：Sn 2( n 2例4在数列an中，an又bn2an an 1,求数列bn的前n项的和.试一试1 :已知数列a n : an8(n 1)(n 3)求前n项和.1 1答案：Sn 4(23宀)4.错位相减法如果an是等差数列,S是等比数列，那么求an bn的前n项和，可用错位相减法。答案：Sn2n例6在各项均为正数的等比数列中，若asa69,求 log3 ailog Balogs aio的值；答案10n 1例 5求n 2n 的前 n项和 Sn。答案：Sn (n 1) n ,的前n项和。2试一试1:求数列-63弐，前n项的和.2，2丄31 n等比强化训练:1、an的通项1n 51，若 Sn9，求 n 。1233.求数列2， 4， 8 ,n