【最新教材】人教A版高中数学必修5同步检测第三章3.33.3.2第1课时简单的线性规划问题

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1、新教材适用高中必修数学第三章不等式3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.2简单的线性规划问题简单的线性规划问题第第 1 课时课时简单的线性规划问题简单的线性规划问题A 级级基础巩固基础巩固一、选择题一、选择题1若点若点(x，y)位于曲线位于曲线 y|x|与与 y2 所围成的封闭区域所围成的封闭区域，则，则 2xy 的最小值为的最小值为()A6B2C0D2解析：解析：画出可行域画出可行域，如图所示如图所示，解得解得 A(2，2)，设设 z2xy，把把 z2xy 变形为变形为 y2xz，则直线经过点则直线经过点 A 时时 z 取得最小值取得

2、最小值，所以所以 zmin2(2)26，故选故选 A.答案：答案：A2(2016天津卷天津卷)设变量设变量 x，y 满足满足约束条件约束条件xy20，2x3y60，3x2y90，则则目标函数目标函数 z2x5y 的最小值为的最小值为()A4B6C10D17解析解析：可行域为一个三角形可行域为一个三角形 ABC 及其内部及其内部，其中其中 A(0，2)，B(3，0)，C(1，3)，直线直线 z2x5y 过点过点 B 时取最小值时取最小值 6，选选 B.答案：答案：B3某某公司招收男职员公司招收男职员 x 名名，女职员女职员 y 名名，x 和和 y 需满足约束条需满足约束条件件5x11y22，2x

3、3y9，2x11，xN*，yN*，则则 z10 x10y 的最大值是的最大值是()A80B85C90D95解析解析： 该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分 由由于于x，yN*，计算区域内与计算区域内与112，92 最近的点为最近的点为(5，4)，故当故当 x5，y4时时，z 取得最大值为取得最大值为 90.答案：答案：C4(2016浙江卷浙江卷)在平面上在平面上，过点过点 P 作直线作直线 l 的垂直所得的垂足的垂直所得的垂足称为点称为点 P 在直线在直线 l 的投影由区域的投影由区域x20，xy0，x3y40中的点在直线中的点在直线 xy2

4、0 上的投影构成的线段记为上的投影构成的线段记为 AB，则则|AB|()A2 2B4C3 2D6解析：解析：如图如图，PQR 为线性区域为线性区域，区域内的点在直线区域内的点在直线 xy2 0 上 的 投 影 构 成 了 线 段上 的 投 影 构 成 了 线 段 RQ ， 即即 AB ， 而而 RQ PQ ， 由由x3y40，xy0得得 Q(1，1)，由由x2，xy0得得 R(2，2)，|AB|QR| （12）2（12）23 2.故选故选 C.答案：答案：C5 已知已知 x， y 满足满足x1，xy4，xbyc0，目标函数目标函数 z2xy 的最大值的最大值为为7，最小值为最小值为 1，则则

5、b，c 的值分别为的值分别为()A1，4B1，3C2，1D1，2解析：解析：由题意知由题意知，直线直线 xbxc0 经过直线经过直线 2xy7 与直与直线线xy4 的交点的交点，且经过直线且经过直线 2xy1 和直线和直线 x1 的交点的交点，即经过即经过点点(3，1)和点和点(1，1)，所以所以3bc0，1bc0，解得解得b1，c2.答案：答案：D二、填空题二、填空题6若实数若实数 x，y 满足满足xy10，xy0，x0，则则 z3x2y的最小值是的最小值是_解析：解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，设设 tx2y，则则 y12xt2，当当 x0，

6、y0 时时，tmin0，z3x2y的最小值为的最小值为 1.答案：答案：17已知已知 x，y 满足约束条件满足约束条件x1，xy10，2xy20.则则 x2y2的最小值是的最小值是_解析：解析：画出满足条件的可行域画出满足条件的可行域(如图如图)，根据根据x2y2表示可行域表示可行域内一点到原点的距离内一点到原点的距离，可知可知 x2y2的最小值是的最小值是|AO|2.由由x1，xy10，得得 A(1，2)，所以，所以|AO|25.答案：答案：58若点若点 P(m，n)在由不等式组在由不等式组xy70，x2y50，2xy10所确定的区域内所确定的区域内，则则 nm 的最大值为的最大值为_解析解

7、析：作出可行域作出可行域，如图中的阴影部分所示如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标可行域的顶点坐标分别为分别为(1，3)，(2，5)，(3，4)，设目标函数为设目标函数为 zyx.则则 yxz，其纵截距为其纵截距为 z，由由图易知点图易知点 P 的坐标为的坐标为(2，5)时时，nm 的最大值的最大值为为3.答案：答案：3三、解答题三、解答题9已知已知 f(x)(3a1)xba，x0，1，若若 f(x)1 恒成立恒成立，求求 ab 的最大值的最大值解：解：因为因为 f(x)1 在在0，1上恒成立上恒成立，所以所以f（0）1，f（1）1，即即ba10，2ab20，将将 a，b 对应为平面对应为平

8、面 aOb 上的点上的点(a，b)，则其表示的则其表示的平面区域如图所示平面区域如图所示，其中其中 A13，43 ，求求 ab 的最大值转化为在约束条件下的最大值转化为在约束条件下，目标函目标函数数 zab 的最值的线性的规划问题的最值的线性的规划问题，作直线作直线 ab0，并且平移使并且平移使它通过可行域内的它通过可行域内的 A 点点，此时此时 zab 取得的最大值为取得的最大值为53.10预算用预算用 2 000 元购买单价为元购买单价为 50 元的桌子和元的桌子和 20 元的椅子元的椅子，希希望使桌子和椅子的总数尽可能地多望使桌子和椅子的总数尽可能地多， 但椅子数不少于桌子数但椅子数不少

9、于桌子数， 且不多且不多于桌子数的于桌子数的 1.5 倍倍，问桌子、椅子各买多少才行？问桌子、椅子各买多少才行？解：解：设桌子、椅子分别买设桌子、椅子分别买 x 张、张、y 把把，目标函数目标函数 zxy，把 所 给 的 条 件 表 示 成 不 等 式 组把 所 给 的 条 件 表 示 成 不 等 式 组 ， 即 约 束 条 件 为即 约 束 条 件 为50 x20y2 000，yx，y1.5x，x0，xN*，y0，yN*.由由50 x20y2 000，yx解得解得x2007，y2007，所以所以 A 点的坐标为点的坐标为2007，2007.由由50 x20y2 000，y1.5x解得解得x2

10、5，y752，所以所以 B 点的坐标为点的坐标为25，752 .所以满足条件的可行域是以所以满足条件的可行域是以 A2007，2007，B25，752 ，O(0，0)为顶点的三角形区域为顶点的三角形区域(如图如图)由图形可知由图形可知，目标函数目标函数 zxy 在可行域内的最优解为在可行域内的最优解为 x25，y37.所以买桌子所以买桌子 25 张张，椅子椅子 37 把才行把才行B 级级能力提升能力提升1已知已知 x，y 满足约束条件满足约束条件xy10，2xy30，当目标函数当目标函数 zaxby(a0，b0)在该约束条件下取到最小值在该约束条件下取到最小值 25时时，a2b2的最小值的最小

11、值为为()A5B4C. 5D2解析：解析：法一法一：线性：线性约束条件所表示的可行域如图所示约束条件所表示的可行域如图所示由由xy10，2xy30，解得解得x2，y1，所以所以 zaxby 在在 A(2，1)处取得最小值处取得最小值，故故 2ab2 5，a2b2a2(2 52a)2( 5a4)244.法二法二：画出满：画出满足约束条件的可行域知足约束条件的可行域知，当目标函数过直线，当目标函数过直线 xy10 与与 2xy30 的交点的交点(2，1)时取得最小值时取得最小值，所以有所以有 2ab2 5.又因为又因为 a2b2是原点是原点(0， 0)到点到点(a， b)的距离的平方的距离的平方，

12、 故当故当 a2b2为原点到直线为原点到直线 2ab2 50 的距离时最小的距离时最小，所以所以 a2b2的最小值的最小值是是|2 5|22122，所以所以 a2b2的最小的最小值是值是 4，故选故选 B.答案：答案：B2当实数当实数 x，y 满足满足x2y40，xy10，x1时时，1axy4 恒成立恒成立，则实数则实数 a 的取值范围是的取值范围是_解析解析：画可行域如图所示画可行域如图所示，设目标函数设目标函数 zaxy，即即 yaxz，要使要使 1z4 恒成立恒成立，则则 a0，数形结合知数形结合知，满足满足12a14，1a4即可即可，解得解得 1a32.所以所以 a 的取值范围是的取值

13、范围是 1a32.答案：答案：1，323若若 x，y 满足约束条件满足约束条件xy1，xy1，2xy2.(1)求目标函数求目标函数 z12xy12的最值；的最值；(2)若目标函数若目标函数 zax2y 仅在点仅在点(1，0)处取得最小值处取得最小值，求求 a 的取的取值范围值范围解：解：(1)作出可行域如图所示作出可行域如图所示，可求得可求得 A(3，4)，B(0，1)，C(1，0)，平移初始直线平移初始直线 y12x，过过 A(3，4)时时 z 取得最小值取得最小值2，过过 C(1，0)时时，z 取得最大值取得最大值 1.所以所以 z 的最大值为的最大值为 1，最小值为最小值为2.(2)由由 ax2yz， 得得 ya2xz2， 因为直线因为直线 ax2yz 仅在点仅在点(1，0)处取得最小值处取得最小值，由图象可知由图象可知1a22，解得解得4a2.故所求故所求 a的取值范围为的取值范围为(4，2)