高中数学苏教版选修21学案：3.2.3 空间的角的计算 Word版含解析

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1、2019-2020学年苏教版数学精品资料3.2.3空间的角的计算1理解空间三种角的概念，能用向量方法求线线、线面、面面的夹角(重点、难点)2二面角的求法(难点)3空间三种角的范围(易错点)基础初探教材整理空间角的向量求法阅读教材P106P108的部分，完成下列问题1两条异面直线所成角的向量求法若异面直线l1，l2的方向向量分别为a，b，l1，l2所成的角为，则cos |cosa，b|.2直线和平面所成角的向量求法设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，a与n的夹角为1，l与所成的角为2，则sin 2|cos_1|.(1)(2)3二面角的向量求法设二面角l的大小为，的法向量分别为n1，n2，则

2、|cos |cosn1，n2|，取锐角还是钝角由图形确定图32191判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等()(2)若向量n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cosn1，n2.()(3)直线的方向向量与平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角()(4)二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角相等或互补()【答案】(1)(2)(3)(4)2若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角为_【解析】由题意得，直线l与平面的法向量所在直线的夹角为60，直线l与平面所成的角为906030.【答

3、案】303异面直线l与m的方向向量分别为a(3,2,1)，b(1,2,0)，则直线l与m所成的角的余弦值为_【解析】ab341，|a|，|b|，cosa，b.【答案】4已知二面角l，的法向量为n(1,2，1)，的法向量为m(1，3,1)，若二面角l为锐角，则其余弦值为_【解析】cosn，m.又因二面角为锐角，所以余弦值为.【答案】质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型求两条异面直线所成的角(1)如图3220，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，ACBC2，AA14，若M，N分别是BB1，CC1的中点，则异面直

4、线AM与A1N所成角的大小为_. 【导学号：09390086】图3220(2)在三棱锥DABC中，DA平面ABC，DA4，ABAC2，ABAC，E为BC中点，F为CD中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为_【精彩点拨】(1)思路一：以，为基向量，表示，求cos，的余弦值；思路二：以，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用坐标求cos，(2)题思路如(1)题【自主解答】(1)法一：，1640，即异面直线AM与A1N所成的角为90.法二：如图所示，建立空间直角坐标系：则A1(2,0,0)，N(0,0,2)，A(2,0,4)，M(0,2,2)，(2,0,2)，(2,2

5、，2)，4040，即，故异面直线A1N与AM所成的角为90.(2)法一：如图所示，()，.441，又易知|，|216449，|3.cos，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为.法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，E(1,1,0)，B(2,0,0)，F(0,1,2)，(1,1,0)，(2,1,2)，211.|，|3，cos，.所以异面直线AE与BF所成角的余弦值为.【答案】(1)90(2)1利用数量积或坐标方法将异面直线所成的角转化为两直线的方向向量所成的角，若求出的两向量的夹角为钝角，则异面直线所成的角应为两向量夹角的补角2向量法求异面直线所成角的步骤(1)建立坐标系(或选

6、取基向量)，求直线方向向量坐标(或用基向量线性表示)；(2)求a，b；(3)利用cos |cosa，b|，求.再练一题1如图3221所示，三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1平面OAB，O1OB60，AOB90，且OBOO12，OA，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小图3221【解】建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，O1(0,1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0,2,0)，(，1，)，(，1，)cos，.异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.求线面角如图3222，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA1

7、3.图3222(1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值【精彩点拨】以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(1)求出和，证明0；(2)求出直线B1C1的方向向量与平面ACD1的法向量【自主解答】 (1)证明：易知，AB，AD，AA1两两垂直如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设ABt，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3

8、,0)因为ACBD，所以t2300，解得t或t(舍去)于是(，3，3)，(，1,0)因为3300，所以，即ACB1D.(2)由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0)设n(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则即令x1，则n(1，)设直线B1C1与平面ACD1所成角为，则sin |cos n，|.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.利用向量法求直线与平面所成角的解题步骤为：(1)根据题设条件、图形特征建立适当的空间直角坐标系；(2)得到相关点的坐标，进而求出相关向量的坐标；(3)利用公式cosa，b，进行计算，其中向量a是直线的方向向量，b可以是平面的法向量，也可以

9、是直线在平面内射影的方向向量；(4)将a，b转化为所求的线面角.向量夹角为锐角或直角时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角或平角时，线面角等于这个夹角减去90.再练一题2如图3223所示，已知直角梯形ABCD，其中ABBC2AD，AS平面ABCD，ADBC，ABBC，且ASAB.求直线SC与底面ABCD的夹角的余弦值图3223【解】由题设条件知，以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(如图所示)设AB1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)(0,0,1)，(1，1,1)显然是底面的法向量，它与已知向量的夹

10、角，故有sin cos .，cos .求二面角如图3224，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值图3224【精彩点拨】(1)先建系求出A1B和C1D的方向向量，再求其余弦值；(2)求出平面ADC1与平面ABA1的法向量，用向量法求余弦值再转化为正弦值【自主解答】(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4) ，C1(0,2,4)，所以(2,0，4)，

11、(1，1，4). 因为cos，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1(x，y，z)，因为(1,1,0)，(0,2,4)，所以n10，n10，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以n1(2，2,1)是平面ADC1的一个法向量取平面AA1B的一个法向量为n2(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为.由|cos |，得sin .因此平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.求二面角的步骤如下：(1)建立空间直角坐标系，确定两平面的法向量；(2)求两法向量的夹角；(3)确定二面角与面面角的关系，要通过观察图形来确定二面角.再练

12、一题3如图3225，在直三棱柱ABCA1B1C1(侧棱和底面垂直的棱柱)中，ABBC，ABBCAA13，线段AC，A1B上分别有一点E，F，且满足2AEEC,2BFFA1.图3225(1)求证：平面A1BC平面A1ABB1；(2)求二面角FBEC的平面角的余弦值【解】(1)证明：BCAB，BCAA1，BC平面A1ABB1.又BC平面A1BC，平面A1BC平面A1ABB1.(2)由(1)知，以点B为坐标原点，以BC，BA，BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系B(0,0,0), A(0,3,0), C(3,0,0), A1(0,3,3)又线段AC，A1B上分别有一点E

13、，F，满足2AEEC,2BFFA1，E(1,2,0), F(0,1,1), (1,2,0)，(0,1,1)平面BEF的法向量n(2，1,1)，此时，平面BEC的法向量n(0,0，1)，设所求二面角的平面角为，则cos .探究共研型夹角的向量求法探究1利用向量法求异面直线所成的角时，需要注意什么？【提示】(1)异面直线所成的角与这两直线的方向向量的夹角范围不同，其中异面直线所成的角的范围是，向量夹角的范围0，(2)应用向量法求两异面的夹角时，若求得余弦值为正数，夹角即为所求；若求得余弦值为负数，则夹角为其补角探究2利用向量法求直线与平面所成的角时，需要注意什么？【提示】(1)直线与平面所成角的范

14、围是，斜线和平面所成角的定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的锐角(2)设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线l与平面所成的角为，a与u的夹角为，则有：当为锐角时，sin cos ，cos sin ；当为钝角时，sin cos ，cos sin .综上所述，sin |cos |或cos sin .探究3两平面的夹角与二面角的平面角有什么不同？【提示】(1)两平面的夹角是两平面相交所成的角中较小的一个，范围是0，二面角的大小是指其两个半平面的张开程度，这可以用其平面角的大小来定义，范围是0.(2)用向量法求二面角的大小时，要注意n1，n2与二面角的平

15、面角的关系是相等的还是互补的，在求出n1，n2后，一定要观察分析图形，看所求二面角是与n1，n2相等的还是互补的一般地，当n1，n2的方向一进一出时，n1，n2；当n1，n2同进同出时，n1，n2如图3226所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABD1C的大小为_图3226【解析】连结DA1，DC1，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则(1,0,1)是平面ABD1的一个法向量，(0,1,1)是平面BCD1的一个法向量，所以cos，所以，60，又二面角ABD1C为钝角，所以二面角ABD1C的大小为120.【答案】120构建体系1已知向量m，n分别是直线l和

16、平面的方向向量和法向量，若cosm，n，则l与所成的角为_【解析】设l与所成的角为，cosm，n，sin |cosm，n|.又直线与平面所成角满足090，30.【答案】302. 若平面的一个法向量为n(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a(2，3,3)，则l与所成角的正弦值为_. 【导学号：09390087】【解析】na8338，|n|3，|a|，cosn，a.又l与所成角记为，即sin |cosn，a|.【答案】3在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中点，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于_【解析】以D为原点，分别以DA

17、，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，F(1,0,0)，D1(0,0,2)，O(1,1,0)，E(0,2,1)，(1,0,2)，(1,1,1)，cos，.【答案】4将正方形ABCD沿对角线折成直二面角，则二面角ABCD的平面角的余弦值是_【解析】取BD中点O，连结AO，CO，则AO平面BCD，建立如图所示的空间直角坐标系设正方形边长为2，则O(0,0,0)，A(0,0，)，B(，0,0)，C(0，0)，所以(，0，)，(，0)设平面ABC的一个法向量为n(x，y，z)则nxz0，nxy0，所以xz，且xy，取n(1,1,1)，又平面BCD的一个法向量为m(0,0,1)，所以cos

18、m，n.故二面角ABCD的平面角的余弦值是.【答案】5如图3227，在几何体ABCDE中，ABC是等腰直角三角形，ABC90，BE和CD都垂直于平面ABC，且BEAB2，CD1，点F是AE的中点求AB与平面BDF所成角的正弦值图3227【解】以点B为原点，BA，BC，BE所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,2,1)，E(0,0,2)，F(1,0,1)，(0,2,1)，(1，2,0)，(2,0,0)设平面BDF的一个法向量为n(2，a，b)n，n，即解得a1，b2，n(2,1，2)又设AB与平面BDF所成的角

19、为，则sin ，即AB与平面BDF所成角的正弦值为.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1已知A(0,1,1)，B(2，1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为_【解析】(2，2，1)，(2，3，3)，cos，直线AB，CD所成角的余弦值为.【答案】2在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值是_. 【导学号：09390088】【解析】依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，M，C(0,1

20、,0)，N.，cos，故异面直线AM与CN所成角的余弦值为.【答案】3已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于_【解析】如图，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1(0,0,1)，平面AEF的法向量为n2(x，y，z)所以A(1,0,0)，E，F，所以，则即取x1，则y1，z3，故n2(1，1,3)，所以cosn1，n2，所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角满足cos ，sin ，所以tan .【答案】4已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12A

21、B，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于_【解析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA12AB2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则(0,1,0)，(1,1,0)，(0,1,2)设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，则n，n，所以有令y2，得平面BDC1的一个法向量为n(2，2,1)设CD与平面BDC1所成的角为，则sin |cosn，|.【答案】5已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的余弦值是_【解析】以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x轴

22、，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(1,0,0)，E，F，D1(0,0,1)所以(1,0,1)，.设平面AEFD1的法向量为n(x，y，z)，则取y1，则n(2,1,2)，而平面ABCD的一个法向量为u(0,0,1)，cosn，u.【答案】6在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱长AA1和BB1的中点，则sinC，_.【解析】建立如图直角坐标系，设正方体的棱长为2.可知C(2，2,1)，(2,2，1)，cosC，sinC，.【答案】7. 如图3228，在四面体ABCD中，AB1，AD2，BC3，CD2，ABCDCB，则二面角ABCD的大小为_图3228【解析】二面角ABCD

23、的大小等于AB与CD所成角的大小.，而22222|cos ，即1214922cos，cos，AB与CD所成角为，即二面角ABCD的大小为.【答案】8在空间四边形OABC中，OBOC，AOBAOC，则cos，的值为_【解析】()|cos |cos |(|)0.cos，0.【答案】0二、解答题9如图3229，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，DABDCB，EAEBAB1，PA，连结CE并延长交AD于F.图3229(1)求证：AD平面CFG；(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值【解】(1)证明：在ABD中，因为E是BD中点，所以EAEBEDAB1，故BA

24、D，ABEAEB，因为DABDCB，所以EABECB，从而有FEDBECAEB，所以FEDFEA，故EFAD，AFFD.因为PGGD，所以FGPA.又PA平面ABCD，所以GFAD，故AD平面CFG.(2)以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C，D(0，0)，P，故，.设平面BCP的一个法向量n1(1，y1，z1)，则解得即n1.设平面DCP的一个法向量n2(1，y2，z2)，则解得即n2.从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为cos .10如图3230，在几何体ABCDE中，DA平面EAB，CBDA，EAAB，M是EC的中点，EADAAB2

25、CB.图3230(1)求证：DMEB；(2)求异面直线AB与CE所成角的余弦值；(3)求二面角MBDA的余弦值【解】以直线AE，AB，AD为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，设CBa，则A(0,0,0)，E(2a,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a，a)，D(0,0,2a)，所以M，(1)证明：，(2a,2a,0)，a(2a)a2a00，即DMEB.(2)(0,2a,0)，(2a，2a，a)，设异面直线AB与CE所成的角为，则cos ，即异面直线AB与CE所成角的余弦值为.(3)DA平面EAB，AD平面DAB，平面DAB平面EAB.EA平面EAB，平面EAB平面DABAB，

26、EAAB.EA平面DAB.(2a,0,0)是平面DAB的一个法向量设平面MBD的一个法向量为n(x，y，z)，(0，2a,2a)，则即令za，则n，设二面角MBDA的平面角为，则cos .即二面角MBDA的余弦值为.能力提升1如图3231，在三棱锥VABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且ACBC2，VDC.当时，则异面直线AC与VD所成角的余弦值是_图3231【解析】由于ACBC2，D是AB的中点，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)当时，在RtVCD中，CD，故V(0,0，)所以(2,0,0)

27、，(1,1，)，所以cos，所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为.【答案】2如图3232，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为_. 【导学号：09390089】图3232【解析】不妨令CB1，则CACC12.可得O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，(0,2，1)，(2,2,1)，cos，0.与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.【答案】3在三棱锥OABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OAOBOC，M是AB边的中点，则O

28、M与平面ABC所成角的正切值是_【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，设OAOBOC1，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，M，故(1，1,0)，(1,0,1)，.设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则由得令x1，得n(1,1,1)故cosn，所以OM与平面ABC所成角的正弦值为，其正切值为.【答案】4如图3233，PA平面ABC，ACBC，BC，PAAC1，求二面角APBC的余弦值图3233【解】建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，取PB的中点D，连结DC，则DCPB，作AEPB于E.则向量与的夹角的大小为二面角APBC的大小A(1,0,0)，B(0，0)，C(0,0,0)，P(1,0,1)，又D为PB的中点，D.在RtPAB中，E，.又|，|1，cos，即二面角APBC的余弦值为.