2022年考研数学常见题型解题思路

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1、第一章函数、极限、连续解题思路L1派o的一个去心邻域U,在该邻域内f(x)有界；2 .若limf(x)=8,则f(x)在x=x()任一个令R域内03 .闭区间上的连续函数必定为有界函数.如果f(x)Xf+8解题思路L22派nnnf8i=l1 .根据数列的特点，先求出数列的和，再求极限；2 .利用定积分的定义求极限：若x二ai可表示ni=l1 （i，（I）-iiIT-ir，i=ln81=11E11-1X二b,而b不是或的函数，此n4+11行1二1时一般用夹逼准则求极限题型1.3.1分段函霰的双限廿L利用等价无穷小量替换求极限；ft限最有效的方法）：用洛必达法则求未定式的极限时注意，使用洛必达法则

2、之前应先化简（可采用等价无穷小量替换化简；如果有非零极限值的乘积因子，可以先将该因子的极限求出）；3.利用泰勒公式求极限：虽然洛必达法则是求未定式极限的一个重要而简便的方法，但有些极限用洛必达法则计算却十分复杂，用泰勒公式求解则很简单.页码:5/92题型1.3.3OO8型未定式“8-8”型未定式的极服常用下列三种方法求解极限的式子中合有字母时常采用该方法解决）解题思路L3.4X(1XXx-*0x-800式化为“08”，再化为“或”行TXT解题思路1.5.2X解已知两个无穷小量比较的结果，确定参数的一般方法：L先利用无穷小量比较的定义将已知条件转化为极限的逆间题，再利用极限逆问题确定参数；2 .

3、利用带皮亚诺余项的泰勒公式.求分段函数在分段点处的导数解题思路2.1.2X数一，一般有以下三种方法：dXL在方程的两边同时对x求导，可得到一个含有y的方程，从中解出y即可，利用此法时要注意：x是自变量，y是x的函数，y的函数是x的复合函数；xyyF(x,y)对x和y的偏导数；3 .利用一阶微分形式的不变性，在方程两端求微分,题型2.2.2求由参数方程确定的函数的求由参数方程确定的函数的导数方法：页码：10/92d2yd()d1。二.tfxit-次it-本A解题思路2.2.3X仅积分限含参变量的变量积分，其导数一般应用下面的公式求解4f(t)dt=f巾/一f及及妙求曲线在某点的切线方程的斜率的方

4、法:00X=P(0)COS0y=P(O)sin0。解题思路2.41X1求出f(x)的定义域和f(x)；12n3.用上述点将定义域划分成若干个部分区间，在每性题型2.4.2研究函数的极值函数的极大值和极小值统称为函数的极值。讨论函数的极值或求函数的极值通常有两种方法：解题思路2.4.3X00(1)求lim,若该极限值是非零的常数XX-*+8八a；求limf(x)-ax,若此极限存在且极限+8值为b；直线y=ax+b就是曲线y=f(x)的c；求limf(x)-ex,若此极限存在且极限值X-+8为d；直线y=cx+d就是曲线y=f(x)的一条(n)页码：15/921.找a,b的一个子区间x,x,使1

5、21212解题思路2.5.2派对证明在（a,b）内至少存在使得某个关于的等式成立的问题的一般思路为：1 .在（a,b）内找一个点c；2 .分别在区间a,c和c,b上使用拉格朗日中值定理或柯西中值定理，得到一个关于自的关系式和一个关于n的关系式（此时n）;3 .将上面得到的两个关系式作某种运算，从而得出结论.1.利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式。此法解题的一般思路为：f(b) -f(a)b -a的形式；(2)若在(1)中其一端出现的形式,值定理；若在中其一端出现黑;黑(3)根据中值定理中得到的自的关系式及自的取值范围，推出所证不等式.(3)求F(X)在所讨论范国内的某个端点的函数值或

6、极服值，从而推出不等式.3.利用最大值或最小值证明不等式，此时解题的一般思路为：页码：18/924.利用泰勒公式证明不等式。此法解题的一般思路为：(1)将函数f8在适当的点X展开成比f(x)的最高阶导数低一阶的泰勒公式；(2)根据已知条件所给的最高阶导数的取值范围，对展开式进行放缩.题型3.1不同类型函数乘积的不定积分求不同类型函数相乘的不定积分一般思路：1 .一般用分部积分法来求解；2 .有时需联合使用分部积分法与换元积分法.页码19/92题型3.2积分值符号的确定或积分值大确定积分值符号这类型，其解题方法一般有：1 .利用分部积分法，将定积分转化为被积函数在积分区间上定号的定积分的情形：2

7、 .利用换元积分法，将所给定积分表示成被积函数大于零与被积函数小于零的两个积分的和，然后通过变量代换比较正、负部分积分的绝对值的大小.解题思路3.3.1解题思路3.3.2X解题思路331.找a,b的一个子区间1，x,使12求平面图形面积的步骤：1.求出曲线的交点，画出草图；2,确定积分变量，由交点确定积分上下限；解题思路3.6.2XQ所得截面积(1)求出垂直于x轴的平面截立体A(x)(axrb)的表达式，画出草图；(2)应用公式A(x)dx(ab)计算.题型3.6.3变力沿直线做功解题思路3.6.3X题型3.7无穷区间上反常积分的计算在计算反常积分时，一般是将其转化为定积分，然后求极限，解题思

8、路为：1.判定类型（无穷区间上的反常积分，有界区间上无界函数的反常积分），对既有无穷区间上的反常积分，又有有界区间上无界函数的反常积分的混合型，一定要先进行分解，使其单个积分为只有一个瑕点的有界区间上无界函数的反常积分和一个积分限为无穷的无穿区间上的反常积3.按定义求出各反常积分值，从而得到所求的反常积分值。题型4.L1平面的方程2 .若题设所求平面过一个点，一般用点法式方程；3 .若题设所求平面满足三个条件，一般用一般式方程.求空间直线的方程时一般用点向式方程，关键在于题型4.2点、线、面的关系解题思路4.2X|Ax+By+Cz+D(1=|o七oAx+By+Cz+D=0为平面方程2.求点到直

9、线的距离方法利用点到平面的距离公式页码：26/92点M(X,y,Z)到直线x；x=y-y=zg的垂直距0000m-H-p-离为ijkx-xy-yz-z1J010np/22页码：27/922.平面yOz坐标面上的曲线G:f(y,Vx?+z)=02求复合函数的偏导数与全微分:(2)对某个自变量求偏导时，要经过一切与其有关的中间变量而归结到自变量；题型5.2求隐函数的偏导数解题思路5.2派由方程F（x,y,z）=0确定的隐函数z=z（x,y）,其偏1 .方程两边同时对自变量x（或y）求偏导数，可得到一个含有_（更）的方程，从中鲤J2 .由多元隐函数求偏导数公式Zxyz3 .利用一阶微分形式的不变性，

10、方程两求微分，解题型5.3求多个关系式确定的函数的偏1 .对已知条件中所给的所有关系式都求全微分，建立一个方程组；2 .根据所求结论解方程组即可.一般思路为：派解题思路5.4.2最小值，常用方法有两种：解题思路为:2.求f(xf(x,y),M = max f(X , y ), f( ) !(X ,y ), fq,y ), M ( 应用题中最值的解题步骤为:1 .建立日标函数，确定相应的定义城，如果有约束条件也应同时写出;2 .求出驻点（有约束条件时可用拉格朗日乘数法求出驻点）；3 .如果驻点唯一，且由实际意义知问题存在最大（或最小）值，则该驻点即为最大（或最小）值，如果存在多个驻点，且由实际意

11、义知问题既存在最大值，又存在最小值，此时比较各驻点处的函数值，最大的为最大值，最小的为最小值.解题思路6.1.1X3.根据图形写出另一种次序下的二次积分,换求初等函数的二次积分的一般思路为:1.画出区域D的草图；积分3 .利用分段线将化筒后得到的二重积分的积分域D4 .对各分段域上的二重积分，选择适当坐标计算.解题思路6.3派1.球坐标与直角坐标系的关系：x=rsin(pcos0,y=rsin(psin0,z=rcos(p；23.球坐标系下三次积分的先后次序一般为I=JdOjdyff(rsin(pcos0,rsincpsin0,cos(p)r2sin(pdr5（甲,0）rr2（p,0）,（pJ

12、O）cp（p2（0）,a0PDDJf（rsin（pcos0,rsin（psin0,rcos（p）rdr2题型6.4利用化简方法计算对弧的曲1 .利用对弧的曲线积分的方法的对称性（或将积分曲线的方程代入被积函数来化简）；2 .计算曲线积分.计算对坐标的积分路径为平面闭曲线的方法：2.借助格林公式用二重积分计算，在使用格林公式时，一定要检验格林公式的条件是否满足.页码：38/922.添加曲线段使非封闭积分曲线变成封闭积分曲线,再利用格林公式化为二重积分计算.解题思路6.5.31 .如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y)成立；2 .函数u(x,y)是P(x,y)dx+Q(x,y)dy

13、的一个原函数.利用化简方法计算对面积的曲面积分的一般思路：1 .利用对面积的曲面积分的对称性(或者是将积分曲面的方程代入被积函数化简)；2 .计算对面积的曲面积分.1 .将积分曲面的方程用单值函数表示(不妨设积分曲面的单值函数表达形式为y=h(x,z)页码：40/922 .根据积分曲面单值函数的表达形式，求出积分曲面在相应坐标面上的投影区域D(在上述表达形式下，需向xOz平面投影，得投影域D)；3 .根据积分曲面单值函数的表达形式，求出相应的面积元素ds(在上述表达形式下，面积元素ds=/I+%；(x,z)2+h(x,z)dxdz)；4 .转化为对面积的曲面积分计算；闭曲面(1需与原曲面有相同

14、的方向),然后解题思路6.7.2X1 .直接化为二重积分计算（不能用高斯公式时）；2 .借助高斯公式用三重积分计算（一定要检验高斯公式的条件是否满足）.页码：42/921 .首先考查limu（若不为零，则级数发散；若（3）若一般项中含有形如n（a为实数）的因式，通d解题思路7.1.2X判别交错级数(ttI)u(u0或nnr()n=l2 .判定通项取绝对值所成的正项级数的敛散性，若收敛，则原级数绝对收敛；3 .将通项拆成两项，若以此两项分别作通项的级数都收敛，则原级数收敛；若一收敛另一发散，则原级数发散；4 .将级数并项，若并项后的级数发散，则原级数发散.n很困难的交错级数.题型7.1.3任意项

15、级数敛散性的判定解题思路7.1.3Xn件收敛性。解题的一般思路为:三|un|是否收敛，若收敛，则级数nU绝对收n=i解题思路7.2X题型7.3收敛半径、收敛区间、收敛域解题思路7.3XlimIL 8an+l-a n=1 ),则=1 (或 nr1,01oox+oo(4) F(x+0)=F(x),即F(x)是右连续的性质：k=l页码：82/92当X为连续型，概率密度6(x)(-00x+oo)J+oo00(JX(2(x)dxoo解题思路工IX1 .对于由已知事件或随机变量给出的二维随机变量的分布，关键是将新的随机变量的取值转化为已知事件或随机变量的取值；2 .随机变量的独立性，主要是离散型和连续型的

16、情形，一般均按定义判别.题型3.2联合分布与边缘分布解联合分布和边缘分布类型的题，利用联合分布的(iii.iijij对x的边缘分布，即X的分布：FY(y)=P(Yy)=PX+oo,YDy)=F(+oo,y)()PX=x,Y=y(X,Y)在条件( )x下Y的条件分布律i()，iP-P(X=跖Y度度y|x)=解题思路3.5Xg(x) UyFy(y)=P(YQy)=P(g(X)y)YY一般说来，对非单调函数或抽象函数宜用定义法.解题思路3.6X对于由已知事件或随机变量区合出的二维随机变量的分布，关键是将新的随机变量的取值转化为已知事件或随机变量的取值.这类题型主要是求期望，其常用方法有：(1)对分布

17、律或密度已知的情形，直接按定义计算，对由试验给出的随机变量，先求分布，再按定义计皙(2)利用期望的性质以及常分布的期望进行计算；解题思路4.2X这类题型主要是求随机变量间的相关系，常用定义和相关系数的性质进行计算.解题思路5.1X和方差的位置不弄错是不难求解的.既然统计量是随机变量，于是也可对它求数学期望、方差等，但为了使计算简便，熟记几个常用统计量第七章参数估计解题思路7.1派两个未知参数时，例如2n2- ii=lX 241,0 未知,i=l,i=1,2,1,111T1题型7.2区间估计第八蕈假设检验假设检验的问题一般可按下列步骤进行：(1)根据具体间题作出假设；(2)选取相应的检验统计量；(3)写出拒绝域或接受域；(4)将已知数据代入统计量进行计算即可作出判断.