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1、【导与练】（新课标）20xx届高三数学一轮复习 第8篇 第2节 圆与方程课时训练 理【选题明细表】知识点、方法题号圆的方程2直线与圆的位置关系1、6、8、9、10、13、15、16圆与圆的位置关系3、4、14与圆有关的最值问题5、7、12与圆有关的轨迹问题11、15一、选择题1.对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是(C)(A)相离(B)相切(C)相交但直线不过圆心(D)相交且直线过圆心解析:直线y=kx+1恒过定点(0,1),且定点(0,1)在圆x2+y2=2内,故直线y=kx+1一定与圆相交.又圆心(0,0)不满足方程y=kx+1,直线与圆相交但不过圆心.2.(
2、20xx合肥模拟)已知圆x2+y2-2x+my-4=0上两点M、N关于直线2x+y=0对称,则圆的半径为(B)(A)9(B)3(C)23(D)2解析:由题意知,圆心(1,-m2)在直线2x+y=0上,2-12m=0,解得m=4;圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=9,圆的半径为3.3.(20xx青岛模拟)过点P(2,3)向圆x2+y2=1作两条切线PA、PB,则弦AB所在直线的方程为(B)(A)2x-3y-1=0(B)2x+3y-1=0(C)3x+2y-1=0(D)3x-2y-1=0解析:以PO为直径的圆(x-1)2+(y-32)2=134与圆x2+y2=1的公共弦即为所求,直线方程为2x+
3、3y-1=0.4.(20xx高考安徽卷)直线x+2y-5+5=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为(C)(A)1(B)2(C)4(D)46解析:直线与圆相交问题必考虑圆心到直线的距离,圆半径及半弦长组成的直角三角形.由x2+y2-2x-4y=0得(x-1)2+(y-2)2=5,所以圆心为(1,2),半径为5,又圆心到直线的距离为|1+4-5+5|5=1,所以半弦长为2,弦长为4.故选C.5.(20xx银川模拟)过圆x2+y2=1上一点作圆的切线与x轴,y轴的正半轴交于A,B两点,则|AB|的最小值为(C)(A)2(B)3(C)2(D)3解析:设圆上的点为(x0,y0),其中x00,y0
4、0,则切线方程为x0x+y0y=1.分别令x=0,y=0得A(1x0,0),B(0,1y0),则|AB|=(1x0)2+(1y0)2=1x0y01x02+y022=2.当且仅当x0=y0时,等号成立.6.(20xx高考山东卷)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A、B,则直线AB的方程为(A)(A)2x+y-3=0(B)2x-y-3=0(C)4x-y-3=0(D)4x+y-3=0解析:由图知切点A(1,1),圆心坐标C(1,0),所以kCM=1-03-1=12.易证CMAB,所以kAB=-2.直线AB的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0.7.(20xx高
5、考北京卷)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m0).若圆C上存在点P,使得APB=90,则m的最大值为(B)(A)7(B)6(C)5(D)4解析:由题意知以AB为直径的圆与圆C有公共点,且|OC|=5,于是m-151+m即4m6.故选B.8.在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为(B)(A)52(B)102(C)152(D)202解析:圆的方程化为标准形式为(x-1)2+(y-3)2=10,由圆的性质可知最长弦AC=210,最短弦BD恰以E(0,1)为中点,设点F为其圆心,坐标为(1
6、,3).故EF=5,BD=210-(5)2=25,S四边形ABCD=12ACBD=102.9.(20xx高考福建卷)已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1,平面区域:x+y-70,x-y+30,y0.若圆心C,且圆C与x轴相切,则a2+b2的最大值为(C)(A)5(B)29(C)37(D)49解析:作出不等式组x+y-70,x-y+30,y0表示的平面区域(如图阴影部分所示,含边界),圆C:(x-a)2+(y-b)2=1的圆心坐标为(a,b),半径为1.由圆C与x轴相切,得b=1.解方程组x+y-7=0,y=1,得x=6,y=1,即直线x+y-7=0与直线y=1的交点坐标为(6,1),设此点
7、为P.又点C,则当点C与P重合时,a取得最大值,所以,a2+b2的最大值为62+12=37.二、填空题10.(20xx高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长为.解析:由题意可得,圆心为(2,-1),r=2,圆心到直线的距离d=|2-2-3|12+22=355,所以弦长为2r2-d2=24-95=2555.答案:255511.(20xx 浙江省瑞安十校联考)点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是.解析:设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ的中点为M(x,y),则x=4+x02,y=-2+y02,解得x0=2
8、x-4,y0=2y+2,又因为点Q在圆x2+y2=4上,所以x02+y02=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,即(x-2)2+(y+1)2=1.答案:(x-2)2+(y+1)2=112.已知x,y满足x2+y2=1,则y-2x-1的最小值为.解析:y-2x-1表示圆上的点P(x,y)与点Q(1,2)连线的斜率,所以y-2x-1的最小值是当直线PQ与圆相切时的斜率.设直线PQ的方程为y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0,由|2-k|k2+1=1得k=34,结合图形可知y-2x-134,最小值为34.答案:3413.已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点,且|OA+OB
9、|=|OA-OB|,其中O为坐标原点,则实数a的值为.解析:如图,作平行四边形OADB,则OA+OB=OD,OA-OB=BA,|OD|=|BA|.又|OA|=|OB|,四边形OADB为正方形.a=2.答案:214.在平面内,与点A(1,2)距离为1,与点B(3,1)距离为2的直线共有条.解析:与点A距离为1的直线是以A为圆心,1为半径的圆的切线,同理与点B距离为2的直线是以B为圆心,2为半径的圆的切线,即所求直线为两圆的公切线,由于|AB|=5,所以两圆相交,公切线有2条.答案:2三、解答题15.已知圆C:x2+(y-2)2=5,直线l:mx-y+1=0.(1)求证:对mR,直线l与圆C总有两
10、个不同交点;(2)若圆C与直线相交于点A和点B,求弦AB的中点M的轨迹方程.(1)证明:法一直线方程与圆的方程联立,消去y得(m2+1)x2-2mx-4=0,=4m2+16(m2+1)=20m2+160,对mR,直线l与圆C总有两个不同交点.法二直线l:mx-y+1=0恒过定点(0,1),且点(0,1)在圆C:x2+(y-2)2=5内部,对mR,直线l与圆C总有两个不同交点.(2)解:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),由方程(m2+1)x2-2mx-4=0,得x1+x2=2mm2+1,x=mm2+1.当x=0时m=0,点M(0,1),当x0时,由mx-y+1=0,得m=y-1
11、x,代入x=mm2+1,得x(y-1x)2+1=y-1x ,化简得x2+(y-32)2=14.经验证(0,1)也符合,弦AB的中点M的轨迹方程为x2+(y-32)2=14.16.已知直线l:mx-(m2+1)y=4m(mR)和圆C:x2+y2-8x+4y+16=0,是否存在实数m,使得直线l将圆C分割成弧长的比值为12的两段圆弧,若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.解:直线l的方程可化为y=mm2+1x-4mm2+1,此时l的斜率k=mm2+1,因为|m|12(m2+1),所以|k|=|m|m2+1|12,当且仅当|m|=1时等号成立,所以斜率k的取值范围是-12,12.又y=mm2+1(x-4),即l的方程为y=k(x-4),其中|k|12,圆C的圆心为C(4,-2),半径r=2;圆心C到直线l的距离d=21+k2,由|k|12,得2d451,即rdr2,从而l与圆C相交,且直线l截圆C所得的弦所对的圆心角小于23,所以l不能将圆C分割成弧长的比值为12的两段弧.
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