【最新教材】新人教A版必修五学案：1.2.3解三角形应用举例四

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1、新教材适用高中必修数学1.2.4解三角形应用举例（四）本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h、h、h，那么它们如何用已知边和角表示？生：h=bsinC=csinB h=csinA=asi

2、nC h=asinB=bsinaA师：根据以前学过的三角形面积公式S=ah,应用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=absinC，大家能推出其它的几个公式吗？生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB一、【学习目标】1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；2、让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验。【教学效果】：教学目标的给出有利于学生从整体上把握课堂.二、【教学学内容和要求及教学过程】阅读

3、教材第1618页内容，然后回答问题（三角形的面积公式和恒等变形）【范例讲解】例1、在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm）（1）已知a=14 cm, c=24 cm, B=150;（2）已知B=60, C=45, b=4 cm;（3）已知三边的长分别为a=3 cm,b=4 cm, c=6 cm分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。解：略例2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的

4、三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm）？思考：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，cosB= =0.7532sinB=0.6578 应用S=acsinB S 681270.65782840.38(m)答：这个区域的面积是2840.38m。变式练习1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。答案：a=6,S=9;a=12,S=18

5、例3、在ABC中，求证：（1）（2）+=2（bccosA+cacosB+abcosC）分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，用正弦定理来证明证明：（1）根据正弦定理，可设 = = = k 显然 k0，所以 左边=右边（2）根据余弦定理的推论， 右边=2(bc+ca+ab) =(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c) =a+b+c=左边变式练习2：判断满足sinC =条件的三角形形状提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边” （解略）直角三角形【教学效果】：运用正弦定理、余弦定理解决恒等变形问题.三、【作业】1、必做题：教材p24复习参考

6、题；2、选做题：总结本节知识点到作业本上.四、【小结】利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。五、【教学反思】要让学生学会学习、学会自学很重要.应用题的讲解教师只讲思路，学生理解，这样学生会学得更好。1.3.1小结与复习一、选择题：1、ABC中,a=1,b=, A=30,则B等于（ ） A60 B60或120C30或150 D1202、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ） Aa=1,b=2 ,c=3 Ba=1,b= ,A=30 Ca=1,b=2,A

7、=100 Cb=c=1, B=453、在锐角三角形ABC中，有（ ） AcosAsinB且cosBsinA BcosAsinB且cosBsinB且cosBsinA DcosAsinA4、若(a+b+c)(b+ca)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ABC是（ ） A直角三角形 B等边三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形5、设A、B、C为三角形的三内角,且方程(sinBsinA)x2+(sinAsinC)x +(sinCsinB)=0有等根，那么角B（ ） AB60 BB60 CB60 DB 606、满足A=45,c= ,a=2的ABC的个数记为m,则a m的值为（ ）A4 B

8、2 C1 D不定AB7、如图：D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点仰角分别是, (),则A点离地面的高度AB等于（ ）D CA B C D 8、两灯塔A,B与海洋观察站C的距离都等于a(km), 灯塔A在C北偏东30,B在C南 偏东60,则A,B之间的相距（ ） Aa (km) Ba(km) Ca(km) D2a (km)二、填空题：9、A为ABC的一个内角,且sinA+cosA=, 则ABC是_三角形.10、在ABC中，A=60, c:b=8:5,内切圆的面积为12,则外接圆的半径为_.11、在ABC中，若SABC= (a2+b2c2),那么角C=_.12、在ABC

9、中，a =5,b = 4,cos(AB)=,则cosC=_.三、解答题：13、已知a3，c2，B150，求边b的长及S14、已知ABC三个内角A、B、C满足A+C=2B, + = , 求的值.15、二次方程ax2bx+c=0,其中a、b、c是一钝角三角形的三边,且以b为最长. 证明方程有两个不等实根； 证明两个实根,都是正数； 若a=c,试求|的变化范围.16、海岛O上有一座海拨1000米的山,山顶上设有一个观察站A,上午11时,测得一轮船在岛北60东C处,俯角30,11时10分,又测得该船在岛的北60西B处,俯角60. 这船的速度每小时多少千米？ 如果船的航速不变,它何时到达岛的正西方向？此时所在点E离岛多少千米？ 参考答案一、BDBBDAAC 二、（9）钝角 （10） （11） （12）三、13b7，S（14）分析：再代入三角式解得A或C. 解：.由已知条件化为：设.代入上式得：.化简整理得. （15）（其中方程有两个不相等的实根. 两实根、都是正数.a=c时，.（16）分析：这是一个立体的图形，要注意画图和空间的简单感觉. 解：如图：所示. OB=OA (千米)，（千米）则（千米）（千米/小时）由余弦定理得：再由正弦定理，得OE=1.5（千米），（分钟）.答：船的速度为千米/小时；如果船的航速不变，它5分钟到达岛的正西方向，此时所在点E离岛1.5千米.