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1、函数对称性的探讨摘要：函数是高等数学教学的主线，是数学的核心内容，也是 整个高等数学的基础。关键词：函数的对称性，不同函数的对称性，应用函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在 于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解 决，对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称 性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的 性质。一、 函数自身的对称性定理1.函数y二f (x)的图像关于点a (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a x) = 2b证明：(必要性)设点p(x ,y)是y二f (x)图像上任一点，t点p( x ,y)关于点
2、a (a ,b)的对称点p (2a x, 2b y)也在y二 f (x)图像上，二 2b y = f (2a x)即 y + f (2a x)=2b 故 f (x) + f (2a x) = 2b，必要性得证。(充分性)设点p(xO,yO)是y二f (x)图像上任一点，贝S y0 = f (x0) t f (x) + f (2a x) =2bf (x0) + f (2a x0) =2b，即2by0 = f (2a x0)。故点p (2a x0, 2by0)也在y二f (x) 图像上，而点p与 点p 关于点a (a ,b)对称，充分性得征。推论：函数y二f (x)的图像关于原点o对称的充要条件是
3、f (x)+ f ( x) = 0定理2.函数y二f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (a +x) = f (a x)即 f (x) = f (2a x)(证明略)推论：函数y二f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x)=f ( x)定理3.若函数y二f (x) 图像同时关于点a (a ,c)和点b (b ,c)成中心对称(b),则y二f (x) 是周期函数，且2| a b|是其一个周期。 若函数y二f (x)图像同时关于直线x = a和直线x = b成轴对称 (b),则y二f (x) 是周期函数，且2| a b|是其一个 周期。 若函数y二f (x) 图像既关于点
4、a (a ,c) 成中心对称又关于 直线x =b成轴对称(a b),则y二f (x) 是周期函数，且4| a b|是其一个周期。的证明留给读者，以下给出的证明：.函数y二f (x)图像既关于点a (a ,c) 成中心对称，二f (x) + f (2a x) =2c ,用 2bx 代 x 得：f (2b x) + f 2a (2b x) =2c (*)b)+ x = 2c f 4(a b) + x代b) + x,故y二f (x)是周期函数,又t函数y二f (x)图像直线x =b成轴对称，f (2b x) = f (x)代入(*)得：f (x) = 2c f 2(a b) + x(* )，用 2
5、(a b) x 代 x 得 f 2 (a入(* )得：f (x) = f 4(a且4| a b|是其一个周期。不同函数对称性定理4.函数y二f (x) 与y二2b f (2a x)的图像关于点a (a ,b)成中心对称。定理5.函数y二f (x)与y二f (2a x)的图像关于直线x = a成轴对称。函数y二f (x)与a x = f (a y)的图像关于直线 x +y = a成轴对称。函数y = f (x) 与x a = f (y + a) 的图像 关于直线x y = a成轴对称。定理4与定理5中的证明留给读者，现证定理5中的设点p(x0 ,y0)是y二f (x)图像上任一点，贝S y0 = f (x0)。记点p( x ,y)关于直线x y = a的轴对称点为p (x1, y1 )，则 x1 = a + y0 , y1 = x0 a，二 x0 = a + y1 , y0= x1 a 代入 y0 = f (x0) 之中得 x1 a = f (a + y1)点 p (x1, y1 )在函数xa = f (y + a) 的图像上。同理可证：函数x a = f (y + a) 的图像上任一点关于直线x y = a的轴对称点也在函数y二f (x) 的图像上。故定理5中的 成立。推论：函数y二f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y成轴对称。
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