高二数学选修 极限四则运算(1)
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1、 如果如果 ,那么,那么aannlimbbnnlimbababannnnnnnlimlimlim)0(limlimlimbbababannnnnnn1、请同学们回顾一下数列极限的运算法则、请同学们回顾一下数列极限的运算法则:bababannnnnnnlimlim)(limaCaCaCnnnnlimlim注:使用极限四则运算法则的前提注:使用极限四则运算法则的前提是各部分极限必须存在。是各部分极限必须存在。特别地,如果特别地,如果C是常数,那么是常数,那么也就是说:如果两个数列都有极限,那么由如果两个数列都有极限,那么由这两个数列的各对应项的和、差、积、商组这两个数列的各对应项的和、差、积、商组
2、成的数列的极限,分别等于这两个数列的极成的数列的极限,分别等于这两个数列的极限的和、差、积、商(各项作为除数的数列限的和、差、积、商(各项作为除数的数列的极限不能为的极限不能为0)。)。问题1:函数, 你能否直接看出函数值的变化趋势?,xxxxxf时当1,12)(22问题2:如果不能看出函数值的变化趋势,那么怎样才能把问题转化为已知能求的函数极限?转化的数学方法与依据是什么? 为了解决这些问题,我们有必要给出函数极限的运算法则:为了解决这些问题,我们有必要给出函数极限的运算法则:函数的极限与数列的极限有类似的四则运算法则,即函数的极限与数列的极限有类似的四则运算法则,即2、 函数极限运算法则函
3、数极限运算法则baxgxfxgxfbaxgxfxgxfxxxxxxxxxxxx)(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim000000bxgxx)(lim0axfxx)(lim0如果如果,那么那么).0()(lim)(lim)()(lim000bbaxgxfxgxfxxxxxx0时xx也就是说:如果两个函数都有极限,那如果两个函数都有极限,那么由这两个函数的各对应项的和、差、么由这两个函数的各对应项的和、差、积、商组成的函数的极限,分别等于这积、商组成的函数的极限,分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商(各两个函数的极限的和、差、积、商(各项作为除数的函数的极限不能为
4、项作为除数的函数的极限不能为0)。)。注:使用极限四则运算法则的前提注:使用极限四则运算法则的前提是各部分极限必须存在。是各部分极限必须存在。由由 不难得到:不难得到:)(lim)(lim00 xfCxCfxxxx)()(lim)(lim*00Nnxfxfnxxnxx注意:使用极限运算法则的前提是注意:使用极限运算法则的前提是各部分极限存在!各部分极限存在!(C为常数)为常数))(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx由上面的运算法则可知:由上面的运算法则可知:;lim,)lim(lim00000nnxxnnxxnxxxxxxx即)(*Nn请同学们记清函数极限的运算
5、法则请同学们记清函数极限的运算法则 利用函数极限的运算法则,我们可以根据利用函数极限的运算法则,我们可以根据已知的几个简单函数的极限,求出较复杂的已知的几个简单函数的极限,求出较复杂的函数的极限。函数的极限。函数极限运算法则函数极限运算法则baxgxfxgxfbaxgxfxgxfxxxxxxxxxxxx)(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim000000bxgxx)(lim0axfxx)(lim0如果如果,那么那么).0()(lim)(lim)()(lim000bbaxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim00 xfCxCfxxxx)()(lim)(lim*
6、00Nnxfxfnxxnxx(C为常数)为常数)下面举例说明如何求函数的极限下面举例说明如何求函数的极限例1 求).3(lim22xxx解:xxxx3limlim222)3(lim22xxxxxxx222lim3)lim(102322)(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim00 xfCxCfxxxxnnxxxx00lim观察图象.1212lim22321xxxxx求例1212lim2321xxxxx解:解:) 12(lim) 12(lim23121xxxxxx1lim2limlim1limlim2lim121311121xxxxxxxxxx21
7、1211112232).0()(lim)(lim)()(lim000bbaxgxfxgxfxxxxxx观察图象观察图象 通过例通过例1、例、例2同学们会发现:同学们会发现:函数函数f(x)在在 处有定义处有定义求这类函数在某一点求这类函数在某一点x=x0处的极限值时,只要把处的极限值时,只要把x=x0 代入函数解代入函数解析式中,就得到极限值。如:析式中,就得到极限值。如:.1212lim2321xxxxx求2112111122321212lim2321xxxxx0 xx 解:解:总结提高总结提高:)3(lim22xxx.1212lim2321xxxxx(1)(2)分析:当分析:当 分母的极限
8、是分母的极限是0,不能直接运用上面的极限运算法则。不能直接运用上面的极限运算法则。因为当因为当 时函数的极限只与时函数的极限只与x无限趋近于无限趋近于4的函数值有关,与的函数值有关,与x=4时时的函数值无关,因此可以先将分子、的函数值无关,因此可以先将分子、分母约去公因式分母约去公因式x-4以后再求函数的极以后再求函数的极限。限。4x4x.416lim24xxx例3 求观察图象观察图象例3 求.416lim24xxx416lim24xxx)4()4)(4(lim4xxxx4limlim)4(lim444xxxxx844解:解:).0()(lim)(lim)()(lim000bbaxgxfxgx
9、fxxxxxx例4 求 .121lim221xxxx解:) 12)(1() 1)(1(lim1xxxxx.121lim221xxxx121lim1xxx321211)12(lim)1(lim11xxxx).0()(lim)(lim)()(lim000bbaxgxfxgxfxxxxxx观察图象观察图象总结与提高总结与提高: 通过例通过例3、例、例4同学们会发现:同学们会发现:函数函数f(x)在在 处无定义处无定义求这类函数在某一点求这类函数在某一点x=x0处的极限值时,必须通过代数变形转化处的极限值时,必须通过代数变形转化为第一种类型。为第一种类型。0 xx .416lim24xxx如:求如:求
10、)4()4)(4(lim4xxxx4limlim)4(lim444xxxxx.416lim24xxx.121lim221xxxx例例3 求求例例426lim)4(22xxxx练习:练习: 求下列函数的极限求下列函数的极限1214lim) 1 (22xxxx265lim) 3(222xxxxx)2)(3()2)(1(lim)2(22xxxxx1214lim)1 (22xxxx531214lim22xxxx12212422解:解:)2)(3()2)(1(lim)2(22xxxxx解:)2)(3()2)(1(lim22xxxxx) 2)(3(lim) 2)(1(lim222xxxxxx) 1(lim
11、)3(lim)2(lim) 1(lim22222xxxxxxxx3264) 22)(32() 22)(12(2(3)265lim222xxxxx) 1)(2()3)(2(lim2xxxxx13lim2xxx311232(4)26lim22xxxx2)2)(3(lim2xxxx5)3(lim2xx小结:小结:(1)概述极限的运算法则。)概述极限的运算法则。(2)本节课学习了两类计算函数极限)本节课学习了两类计算函数极限的方法的方法。作业:作业:(3)P91 2通过各例求极限的过程可以看出,通过各例求极限的过程可以看出,在求有理函数的极限时,最后总在求有理函数的极限时,最后总是归结为求下列极限:是归结为求下列极限:)( ,lim);( ,lim*000NkxxCCCkkxxxx是常数1、已知、已知思考:2、求求265lim22xxxxx., 221lim221的值求实数axxaxx例5 已知., 221lim221的值求实数axxaxx221lim221xxaxx22111122a6a解解:
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