高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件课件 北师大版选修11

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1、1.2 充分条件与必要条件1.充分条件与必要条件 名师点拨1.充分条件是某一个结论成立应具备的条件,当命题具备此条件时,就可以得出此结论;或要使此结论成立,只要具备此条件就足够了,当命题不具备此条件时,结论也有可能成立.2.必要条件是在充分条件的基础上得出的,真命题的条件是结论成立的充分条件,但不一定是结论成立的必要条件;假命题的条件不是结论成立的充分条件,但有可能是结论成立的必要条件.3.以下几种说法是等价的:pq;p是q的充分条件;q是p的必要条件;q的充分条件是p;p的必要条件是q.【做一做1】 用“充分条件”和“必要条件”填空:(1)“a0,b0”是“a+b0”的.(2)“tan =1

2、”是“=”的.(3)若p是q的充分条件,q是r的充分条件,则p是r的.答案:(1)充分条件(2)必要条件(3)充分条件2.充要条件 名师点拨1.p是q的充要条件意味着“p成立,则q一定成立;p不成立,则q一定不成立”.2.要判断p是不是q的充要条件,需要进行两次判断:一是看p能否推出q,二是看q能否推出p,若p能推出q,q也能推出p,则可以说p是q的充要条件,否则,不能说p是q的充要条件.3.对充分条件和必要条件的进一步划分:【做一做2】 下列各项中,p是q的充要条件的是()解析:A项中,p是q的充分不必要条件;C项中,p是q的充分不必要条件;D项中,p是q的必要不充分条件,只有B项符合.答案

3、:B思考辨析思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)如果p是q的充分条件,那么命题“若p,则q”不一定为真.()(2)如果p是q的充分条件,那么q就是p的必要条件.()(3)如果p是q的必要条件,那么p是唯一的.()(4)如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.()(5)若p是q的充要条件,则命题p和q是两个相互等价的命题.()答案:(1)(2)(3)(4)(5)探究一探究二思维辨析【例1】 指出下列各题中,p是q的什么条件?(用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件作答)分析先判断pq,qp是否成立,再结合充分条件、必要条件

4、、充要条件的定义得出结论.探究一探究二思维辨析探究一探究二思维辨析探究一探究二思维辨析反思感悟充分条件、必要条件、充要条件的两种基本判断方法(1)定义法:确定谁是条件,谁是结论.尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则为充分条件,否则就不是充分条件.尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则为必要条件,否则就不是必要条件.(2)命题判断法:如果命题“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件.如果命题“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件.探究一探究二思维辨析变式训练变式训练1用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空:(1

5、)“x2=4”是“x=-2”的条件;(2)“函数f(x)=cos(2x+)是偶函数”是“=k(kZ)”的条件;(4)“lg(x-y)0”是“x-y0”的条件.探究一探究二思维辨析解析:(1)当x=-2时,一定有x2=4,但当x2=4时,不一定有x=-2,所以“x2=4”是“x=-2”的必要不充分条件;(2)若函数f(x)=cos(2x+)是偶函数,则有=k(kZ),当=k(kZ)时,函数f(x)=cos(2x+)一定是偶函数,所以“函数f(x)=cos(2x+)是偶函数”是“=k(kZ)”的充要条件答案:(1)必要不充分(2)充要(3)既不充分也不必要(4)充分不必要探究一探究二思维辨析【例2

6、】 设a,b,c为ABC的三边,求证:方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是A=90.分析第一步,分清条件与结论:“p是q的充要条件”中p是条件,q是结论;“p的充要条件是q”中,p是结论,q是条件.本题中条件是“A=90”,结论是“方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根”;第二步,根据要求确定解题步骤,分别证明“充分性”与“必要性”.探究一探究二思维辨析证明(1)(充分性)因为A=90,所以a2=b2+c2,方程x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2-c2=0,即(x+a+c)(x+a-c)=0,所以两根分别为x1=-a-c,x2=

7、-a+c.同理x2+2cx-b2=0可化为x2+2cx-a2+c2=0,即(x+a+c)(x+c-a)=0,所以两根分别为x1=-a-c,x2=a-c.故两个方程有公共根-a-c.探究一探究二思维辨析(2)(必要性)设两个方程有公共根,则2+2a+b2=0,2+2c-b2=0,显然0.两式相加得2+(a+c)=0.所以=-(a+c).代入x2+2ax+b2=0可得a2=b2+c2,所以A=90.综上所述,方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是A=90.反思感悟充要条件的证明策略(1)要证p为q的充要条件(p的充要条件为q),需要从充分性和必要性两个方向进行,即证

8、明两个命题“若p,则q”为真且“若q,则p”为真,但必须分清条件和结论分别是什么.(2)在证明的过程中也可以用集合的思想来证明,证明p与q的解集是相同的,证明前必须分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些条件推证得到哪些结论.探究一探究二思维辨析变式训练变式训练2在ABC中,求证A,B,C成等差数列的充要条件是B=60.证明(充分性)在ABC中,A+B+C=180.B=60,A+C=120.A+C=2B.A,B,C成等差数列.探究一探究二思维辨析(必要性)A,B,C成等差数列,A+C=2B.又A+B+C=180,3B=180.B=60.故A,B,C成等差数列的充要条件是B=60.探究一探究二思维辨

9、析考虑不周致误【典例】 “直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍”是“直线l的斜率等于-2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件易错分析本题常见的错解有两个,一个是由于对充分条件、必要条件的定义理解不透,导致判断结论错误;另一个是由于对问题中的相关数学知识“截距”“斜率”等理解不深,考虑不全面导致判断结果出错,这是主要错误所在.探究一探究二思维辨析解析:若直线l的斜率等于-2,则直线l在y轴上的截距一定是它在x轴上的截距的2倍;但当直线l在y轴上的截距是它在x轴上的截距的2倍时,其斜率不一定等于-2.因为直线l可以经过原点,此时斜率可以为任意值.所

10、以“直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍”是“直线l的斜率等于-2”的必要不充分条件.故选B.答案:B纠错心得本题以直线的斜率和截距等概念为载体考查了充分条件与必要条件的推理判断.解题关键是正确理解直线在坐标轴上的截距的概念,同时要对零截距的直线有所认识,当直线经过原点时,它在两坐标轴上的截距均为零,这时可以认为直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,所以在进行充分条件与必要条件的推理判断时,一定考虑周全,避免出错.探究一探究二思维辨析A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A 1 2 3 4 51.对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a

11、0),下列结论正确的是()=b2-4ac0是函数f(x)有零点的充要条件;=b2-4ac=0是函数f(x)有零点的充分条件;=b2-4ac0是函数f(x)有零点的必要条件;=b2-4ac0是函数f(x)没有零点的充要条件.A.B.C.D.1 2 3 4 5解析:答案:D1 2 3 4 5A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:B1 2 3 4 5A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:B1 2 3 4 5答案:充要 1 2 3 4 55.求证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac0.证明(充分性)因为ac0,故一元二次方程一定有两个不等实根,设为x1,x2,则x1x2=0,所以一元二次方程的两根异号.即一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根.(必要性)由于一元二次方程有一个正根和一个负根,设为x1,x2,则由根与系数的关系,得x1x2=0,即ac0.综上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac0.