高考数学一轮复习 8.5 圆锥曲线的综合应用课件 文 新人教A版

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1、第八章第八章 8.5圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的综合应用高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科) 一、定值、最值、取值范围问题 8.5圆锥曲线的综合应用知识诠释思维发散第八章第八章 8.5圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的综合应用高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)1.在圆锥曲线中,还有一类曲线系方程,对其参数取不同值时,曲线本身的性质不变;或形态发生某些变化,但其某些固有的共同性质始终保持着,这就是我们所指的定值问题.2.当参数取不同值时,相关几何量达到最大或最小,这就是我们指的最值问题.通常有两类:一类是有关长度和面积的最值问题;一类是圆锥曲线中有关的几何元素

2、的最值问题.曲线遵循某种条件时,参数有相应的允许取值范围,即我们指的参变数取值范围问题.求解时有以下两种方法:第八章第八章 8.5圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的综合应用高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)(1)代数法:引入参变量,通过圆锥曲线的性质,及曲线与曲线的交点理论、韦达定理、方程思想等,用变量表示(计算)最值、范围问题,再用函数思想、不等式方法得到最值、范围;(2)几何法:若问题的条件和结论能明显地体现曲线几何特征,则利用图形性质来解决最值与取值范围问题.二、对称、存在性问题,与圆锥曲线有关的证明问题它涉及线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法,以第八章第八章 8

3、.5圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的综合应用高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)及定点、定值问题的判断方法.三、实际应用题涉及与圆锥曲线有关的应用问题,解决的关键是建立坐标系,合理选择曲线模型,然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断,解题的一般思想是:第八章第八章 8.5圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的综合应用高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)四、与其他知识的综合圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块命题. 第八章第八章 8.5圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的综合应用高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)1.斜率

4、为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A、B两点,则|AB|的最大值为( )(A)2. (B). (C) . (D) .【解析】设直线l与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由 消去y得5x2+8tx+4(t2-1)=0,24x4 554 1058 1052244,xyyxt第八章第八章 8.5圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的综合应用高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)则有x1+x2=-t,x1x2= .|AB|= |x1-x2|= = ,又=(8t)2-454(t2-1)=80-16t20,-t0,b0)的一条渐近线的倾斜角为,离心率为e,则 的最小值为( )223

5、 2222xa22yb32aeb(A) . (B) . (C)2 . (D)2 .2 632 3336第八章第八章 8.5圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的综合应用高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)【分析】(1)由于直线l1:x=-1刚好是抛物线y2=4x的准线,所以可以将点P到直线l1的距离转化为到抛物线焦点的距离,然后数形结合,利用平面几何知识求解;(2)由双曲线中的a,b,离心率与渐近线斜率的关系,可求得离心率e,消去b,转化为一元函数最值问题求解.第八章第八章 8.5圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的综合应用高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)的距离,过点

6、F作直线l2垂线,交抛物线于点P,此即为所求最小值点,故P到两直线的距离之和的最小值为 =2 ,故选A.(2)由题意知tan=,即b= a,e= = =2,所以 = + 2 = ,当且仅当 = 即a= 时取等号.22|103|1123ba3ca22aba22( 3 )aaa2aeb3a23a233aa2 633a23a2【解析】(1)将P点到直线l1:x=-1的距离转化为P到焦点F(1,0)【答案】(1)A (2)A第八章第八章 8.5圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的综合应用高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)【点评】在圆锥曲线中经常遇到求最值、取值范围问题,这类问题在题目中往

7、往没有给出不等关系,需要我们去寻找.求圆锥曲线的最值与范围问题是高考考查的一类重要问题,求解时常用两种方法:一是几何法,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙;二是代数法,将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数),然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及均值不等式法等,求解最大或最小值.第八章第八章 8.5圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的综合应用高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)变式训练1 抛物线y2=12x上的点到直线3x-y+5=0的最小距离为( )(A) . (B) . (C) . (D) .

8、【解析】(代数法)设抛物线y2=12x上的任一点为(,y),则它到直线3x-y+5=0的距离d= = (-1)2+4 = ,即所求最小距离为 .1052 105557 55212y2|35|1210yy1102y4102 1052 105第八章第八章 8.5圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的综合应用高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)(几何法)设与直线3x-y+5=0平行的抛物线的切线方程为直线为3x-y+t=0,代入抛物线方程得y2-4y+4t=0,由=16-16t=0,解得t=1,从而切线方程为3x-y+1=0.直线3x-y+5=0与直线3x-y+1=0的距离就是所求最小距离

9、,即为 = .【答案】B22|5 1|312 105第八章第八章 8.5圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的综合应用高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)题型2定值、定点、对称问题例2已知椭圆C的焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点,离心率等于 .(1)求椭圆C的方程;(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.若 =1 , =2 ,求证:1+2为定值.142 55MAAFMBBF第八章第八章 8.5圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的综合应用高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)【分析】根据椭圆的性质与方程之间的关系,求得椭圆的方程

10、,设出点A,B,M的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(0,y0),然后通过MA=1 , =2 ,用参数1,2,y0表示出A、B的坐标,代入椭圆方程整理并比较,可以发现1,2是一个一元二次方程的两个根,再用根与系数间的关系即可求解.AFMBBF第八章第八章 8.5圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的综合应用高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)【解析】(1)设椭圆C的方程为+=1 (ab0),则由题意得b=1. = ,即 = ,所以a2=5. 22xa22yb222aba2 55211a2 55故椭圆C的方程为+y2=1. 25x第八章第八章 8.5圆锥曲线的综合应用圆锥曲线

11、的综合应用高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)(2)设点A,B,M的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(0,y0).易知点F的坐标为(2,0). =1 ,(x1,y1-y0)=1(2-x1,-y1),则x1= ,y1= .将点A的坐标代入到椭圆方程中,得( )2+( )2=1,化简得+101+5-5=0.MAAF1121011y151121011y2120y同理,由 =2 得 +102+5-5 =0,所以1,2是方程x2+10 x+5-5=0的两个根,1+2=-10.MBBF2220y20y第八章第八章 8.5圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的综合应用高考第一轮复习用书高

12、考第一轮复习用书数学数学(文科文科)【点评】在解决圆锥曲线的定点与定值问题时,应灵活应用已知条件,巧设变量,在变形过程中要注意各变量之间的关系,善于捕捉题目的信息,注意消元思想在解题中的应用.第八章第八章 8.5圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的综合应用高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)变式训练2已知椭圆C:3x2+4y2=12,试确定m的取值范围,使得对于直线l:y=4x+m,椭圆C上有不同的两点关于这条直线对称.【解析】设存在两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于l对称,中点为M(x,y),则 得 =- =- =-,221122223412,3412,xyxy1212y

13、yxx12123()4()xxyy34xy14第八章第八章 8.5圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的综合应用高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)y=3x.联立y=4x+m,解得x=-m,y=-3m.M在椭圆内部, + 1,即- mb0),则e2= =1-=,所以=,即a=2b.设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,3232722xa22yb22ca222aba22ba3422ba14第八章第八章 8.5圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的综合应用高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)则d2=x2+(y-)2=a2(1-)+y2-3y+ =-3(y+)2+4b2+3.所

14、以当y=-时,d2有最大值,从而d也有最大值.所以4b2+3=( )2,由此解得b2=1,a2=4.于是所求椭圆的方程为+y2=1.3222yb941212724x第八章第八章 8.5圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的综合应用高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)【剖析】尽管上面解法的最后结果是正确的,但这种解法却是错误的.结果正确只是碰巧而已.由当y=-时,d2有最大值,这步推理是错误的,没有考虑y的取值范围.事实上,由于点(x,y)在椭圆上,所以有-byb,因此在求d2的最大值时,应分类讨论.12第八章第八章 8.5圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的综合应用高考第一轮复习用书高考第一

15、轮复习用书数学数学(文科文科)则e2= =1-=,所以=,即a=2b.设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则d2=x2+(y-)2=a2(1-)+y2-3y+ =-3(y+)2+4b2+3.若bb0),22xa22yb第八章第八章 8.5圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的综合应用高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)于是( )2=(b+)2,从而解得b= -,与bb0)的焦距为2.以O为圆心,a为半径作圆.过点(,0)所作圆的两条切线互相垂直,其中c2=a2-b2,则椭圆的离心率e为( ) (A). (B). (C). (D).22xa22yb2ac22233332第八章第八章

16、 8.5圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的综合应用高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)所以四边形MPOQ是正方形.又因为c=1,所以()2=2a2.整理得a= .故e= = .【答案】A21a21222【解析】设点M(,0),两个切点分别为P,Q.因为|MP|=|MQ|,MPMQ,2ac第八章第八章 8.5圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的综合应用高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)4.(视角拓展)已知椭圆+=1(ab0),A(2,0)为长轴上的一个端点,弦BC过椭圆的中心O,且 =0,| - |=2| - |,则椭圆的焦距为( )(A). (B).(C). (D)

17、以上答案都不对.22xa22ybACBCOCOBBCBA2 634 334 63第八章第八章 8.5圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的综合应用高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)由| - |=2| - |,得2| |=2| | |=| |,则C(1,1),代入椭圆方程得+=1.又a=2,b2=,c2=4-=,c= ,2c= .【答案】COCOBBCBAOCACOCAC21a21b4343832 634 63【解析】 =0ACBCC=90.ACBC第八章第八章 8.5圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的综合应用高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)5.(高度提升)已知A、

18、B为椭圆C: + =1的长轴的两个端点,P是椭圆C上的动点,且APB的最大值是,则实数m的值是( ) (A)1. (B). (C). (D).【解析】由椭圆知识得,当点P位于短轴的端点时,APB取得最大值,根据题意则有tan = m=.21xm2ym2312131431mm12【答案】B第八章第八章 8.5圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的综合应用高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)6.(基础再现)设点F为椭圆+=1的左焦点,点P是椭圆上的动点,则使|取得最小值时点P的坐标为 .【解析】由条件,可得c2=a2-b2=4,故左焦点F的坐标为(-2,0),设P(x,y)为椭圆上的动点

19、,由于椭圆方程为+=1,故-4x4.216x212yFP216x212y二、填空题(本大题共4小题,每小题7分)第八章第八章 8.5圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的综合应用高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)由二次函数性质可知,当x=-4时,| |2取得最小值4.所以| |的最小值为2,此时点P坐标为(-4,0).【答案】(-4,0)FPFP因为 =(x+2,y),所以| |2=(x+2)2+y2=(x+2)2+12(1-)=x2+4x+16=(x+8)2,x-4,4.FPFP216x1414第八章第八章 8.5圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的综合应用高考第一轮复习用书高考第一轮复

20、习用书数学数学(文科文科)7.(视角拓展)已知直线x=t与双曲线-=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于A,B两点,若原点在以AB为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是 .【解析】由题意可得A(t,t),B(t,-t),要使原点在以AB为直径的圆外,只需原点到直线AB的距离|t|大于半径|t|即可,于是ba,e= = ,故1e0,得v=8,故 =(6,8).| 2|,0,ABOAAB OA22100,430,uvuv6,8uv6,8.uv OBOAABAB【解析】(1)设 =(u,v),AB第八章第八章 8.5圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的综合应用高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(

21、文科文科)由(1)得直线OB的方程为x-2y=0,则 又P、Q在抛物线上,化简可得 1212121220,222,xxyyyyxx 121222,52,2xxaax xa (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2)为抛物线上关于直线OB对称的两点.即x1,x2为方程x2+x+ =0的两个相异实根,于是由=-4 0,得a.2a2522aa24a2522aa32第八章第八章 8.5圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的综合应用高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)12.(能力综合)已知椭圆+y2=1的左顶点为A,过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点.(1)当直线AM的斜率为1

22、时,求点M的坐标;(2)当直线AM的斜率变化时,直线MN是否过x轴上的一定点,若过定点,请给出证明,并求出该定点;若不过定点,请说明理由.24x第八章第八章 8.5圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的综合应用高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)代入椭圆方程并化简得:5x2+16x+12=0,解之得x1=-2,x2=-,所以M点的横坐标为-,即M(-,).(2)设直线AM的斜率为k,则AM:y=k(x+2),则 化简得:(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0.6565654522(2),1,4yk xxy【解析】(1)直线AM的斜率为1时,直线AM:y=x+2,第八章第八章 8.5圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的综合应用高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)此方程有一根为-2,xM= ,同理可得xN= .由(1)知若存在定点,则此点必为P(-,0).kMP= = = ,222814kk22284kk6565MMyx222228(2)14286145kkkkk2544kk同理可计算得kPN= .直线MN过x轴上的一定点P(-,0).2544kk65