江苏省邳州市第二中学高二数学 1.2《应用举例》课件

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1、 解三角形问题是三角学的基本问题之一。解三角形问题是三角学的基本问题之一。什么是三角学？三角学来自希腊文什么是三角学？三角学来自希腊文“三角形三角形”和和“测量测量”。最初的理解是解三角形的计算，。最初的理解是解三角形的计算，后来，三角学才被看作包括三角函数和解三角后来，三角学才被看作包括三角函数和解三角形两部分内容的一门数学分学科。形两部分内容的一门数学分学科。 解三角形的方法在度量工件、测量距离和解三角形的方法在度量工件、测量距离和高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用，高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用，在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角在物理学中，有关向量的计算也要用到解

2、三角形的方法。形的方法。 我国古代很早就有测量方面的知识，公元我国古代很早就有测量方面的知识，公元一世纪的一世纪的周髀算经周髀算经里，已有关于平面测量里，已有关于平面测量的记载，公元三世纪，的记载，公元三世纪， 我国数学家刘徽在计我国数学家刘徽在计算圆内接正六边形、正十二边形的边长时，就算圆内接正六边形、正十二边形的边长时，就已经取得了某些特殊角的正弦已经取得了某些特殊角的正弦正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理RCcBbAa2sinsinsin（R为三角形的外接圆半径）为三角形的外接圆半径）CabbacBcaacbAbccbacos2cos2cos2222222222abcbaCcabacBbc

3、acbA2cos2cos2cos222222222ABCacb例例1海上有海上有A、B两个小岛相距两个小岛相距10海里，从海里，从A岛望岛望C岛和岛和B岛成岛成60的视角，从的视角，从B岛望岛望C岛和岛和A岛成岛成75的视角，那么的视角，那么B岛和岛和C岛岛间的间的距离是距离是 。ACB10海里海里6075答：答：23.1265 海里海里解：应用正弦定理，解：应用正弦定理，C=45 BC/sin60=10/sin45BC=10sin60 /sin45知道它有多远吗？知道它有多远吗？例例2.为了开凿隧道为了开凿隧道,要测量隧道口要测量隧道口D,E间的距离间的距离,为为此在山的一侧选取适当的点此在

4、山的一侧选取适当的点C(如图如图),测得测得CA=482m,CB=631.5m,ACB=56018,又测得又测得A,B两点到隧道口的距离两点到隧道口的距离AD=80.12m, BE=40.24m (A,D,E,B在一直线上在一直线上).计算隧道计算隧道DE的长的长ABCDE 由余弦定理可解由余弦定理可解AB长。进而求长。进而求DE。析：析：思思1：能否直接解三角形：能否直接解三角形ABC？2：能否保证：能否保证A、D、E、B在一直线上？在一直线上？知道它有多宽吗？知道它有多宽吗？解斜三角形理论解斜三角形理论在实地测量中的在实地测量中的应用应用ABCD知道它有多长吗？知道它有多长吗？练习练习1、

5、一艘船以、一艘船以32.2n mile / hr的速度向正的速度向正北航行。在北航行。在A处看灯塔处看灯塔S在船的北偏东在船的北偏东20o的的方向，方向，30min后航行到后航行到B处，在处，在B处看灯塔处看灯塔在船的北偏东在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？艘船可以继续沿正北方向航行吗？北方向航行答：此船可以继续沿正向航行此船可以继续沿正北方则的距离为到直线设点，由正弦定理得，中，解：在milenhmilenSBhhABSmilenABSBSSBAASB5.6)

6、(06.765sin,)(787.745sin20sin1.1645sin20sin45115练习练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点B与车厢支点与车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为62020，AC长为长为1.40m，计算，计算BC的长（精确到的长（精确到0.01m0.01m） 0260 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 已知已知ABC中中AB1.95

7、m，AC1.40m， 夹角夹角CAB6620，求，求BC解：由余弦定理，得解：由余弦定理，得571. 3 0266cos40. 195. 1240. 195. 1 cos2 22222AACABACABBC)(89. 1m BC答：顶杆答：顶杆BCBC约长约长1.89m。 CAB 解斜三角形应用举例解斜三角形应用举例小结小结实际问题实际问题抽象概括抽象概括示意图示意图构造三角形构造三角形演算演算解三角形解三角形实际问题的解实际问题的解还原说明还原说明注意合理性！注意合理性！教室AB围墙试试看试试看！。，试求云的高度，试求云的高度的仰角为的仰角为湖中的象）湖中的象），而湖中云之影（云在，而湖中云

8、之影（云在角为角为处，测得云的仰处，测得云的仰米的米的在离湖面高为在离湖面高为HAhb ba a知道它有多高吗！知道它有多高吗！例例6，试求云的高度。，试求云的高度。的仰角为的仰角为湖中的象）湖中的象），而湖中云之影（云在，而湖中云之影（云在角为角为处，测得云的仰处，测得云的仰米的米的在离湖面高为在离湖面高为10A知道它有多高吗！知道它有多高吗！例例6 5 .43 5 .46 如何在平地上如何在平地上测量位于山上的灯测量位于山上的灯塔顶部离地面的高塔顶部离地面的高度？度？知道它有多高吗？知道它有多高吗？例例7：例例8 AB是底部是底部B不可到达的一个建筑物，不可到达的一个建筑物，A为建筑物为建

9、筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法的方法分析：由于建筑物的底部分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。由解接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能直角三角形的知识，只要能测出一点测出一点C到建筑物的顶部到建筑物的顶部A的距离的距离CA,并测出由点并测出由点C观察观察A的仰角，就可以计算的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应该设出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出法借助解三角形的知识测出CA的长的长。)sin(sinbabaAChahAChAEAB)sin(sinsinsinbab

10、aa解：选择一条水平基线解：选择一条水平基线HG,使使H,G,B三点在同一条直线上。由三点在同一条直线上。由在在H,G两点用测角仪器测得两点用测角仪器测得A的的仰角分别是仰角分别是，CD=a,测角仪测角仪器的高是器的高是h.那么，在那么，在ACD中，中，根据正弦定理可得根据正弦定理可得例例8 AB是底部是底部B不可到达的一个建筑物，不可到达的一个建筑物，A为建筑物为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法的方法例例9 在山顶铁塔上在山顶铁塔上B处测得地面上处测得地面上一点一点A的俯角的俯角5440，在塔底，在塔底C处测得处测得A处的俯角处的俯角501。已

11、知铁塔已知铁塔BC部分的高为部分的高为27.3m，求出山高求出山高CD(精确到精确到1m)分析：根据已知条件，应该设分析：根据已知条件，应该设法计算出法计算出AB或或AC的长的长解：在解：在ABC中，中，BCA=90+, ABC=90-, BAC=-, BAD=.根据正弦定理，根据正弦定理，)90sin()sin(bbaABBC)(177)1504054sin(4054sin150cos3 .27)sin(sincossin,mBCBADABBDABDRtbaab得解CD=BD-BC177-27.3=150(m)答：山的高度约为答：山的高度约为150米。米。)sin(cos)sin()90si

12、n(babbabBCBCAB所以，例例10 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得处时测得公路南侧远处一山顶公路南侧远处一山顶D在东偏南在东偏南15的方向上，行驶的方向上，行驶5km后到后到达达B处，测得此山顶在东偏南处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角的方向上，仰角8，求此山，求此山的高度的高度CD.分析：要测出高分析：要测出高CD,只要只要测出高所在的直角三角形测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以长。根据已知条件，可以计算出计算出BC的长。的长。例例10 一辆汽车在一条水平的公路上向

13、正东行驶，到一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得处时测得公路南侧远处一山顶公路南侧远处一山顶D在东偏南在东偏南15的方向上，行驶的方向上，行驶5km后到后到达达B处，测得此山顶在东偏南处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角的方向上，仰角8，求此山，求此山的高度的高度CD.解：在解：在ABC中，中，A=15, C=25-15=10.根据正弦定理，根据正弦定理，CABABCsinsin).(4524. 710sin15sin5sinsinkmCAABBCCD=BCtanDBCBCtan81047(m)答：山的高度约为答：山的高度约为1047米。米。例例11 一艘海轮从一艘海轮从A出

14、发，沿北偏东出发，沿北偏东75的方向航行的方向航行67.5n mile后到达海岛后到达海岛B,然后从然后从B出发，沿北偏东出发，沿北偏东32的方向航行的方向航行54.0n mile后到达海岛后到达海岛C.如果下次航行直接从如果下次航行直接从A出发到达出发到达C,此船应该此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1,距距离精确到离精确到0.01n mile）?解：在解：在ABC中，中，ABC1807532137，根据余弦定理，根据余弦定理，15.113137cos0 .545 .6720 .545 .67cos22222ABCBCAB

15、BCABAC,3255. 015.113137sin0 .54sinsinsinsinACABCBCCABABCACCABBC根据正弦定理，所以，所以，CAB=19.0,75CAB=56.0.答：此船应该沿北偏东答：此船应该沿北偏东56.0的方向航行，需要航行的方向航行，需要航行113.15n mile.例例12 在在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积中，根据下列条件，求三角形的面积S(精确到精确到0.1cm)(1)已知已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;)(9 .905 .148sin8 .145 .2321,sin21) 1 (2cmSBcaS得应用解：(2)已知已

16、知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;).(0 . 47 .62sin5 .51sin8 .65sin16. 321,5 .51)8 .657 .62(180)(180,sinsinsin21sin21,sinsin,sinsin)2(222cmSCBABACbAbcSBCbcCcBb根据正弦定理，（3）已知三边的长分别为）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.).(4 .5116384. 04 .417 .3821,sin216384. 07697. 01cos1sin7679. 04 .417 .3823 .274 .417 .382cos322

17、2222222cmSBcaSBBcabacB得应用，得）根据余弦定理的推论（例例13 在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m，这个区域的面积是多少（精确到，这个区域的面积是多少（精确到0.1cm）?解：设解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，根据余弦定理的推论，.38.2840).(38.28406578. 06812721,sin21.6578. 07532. 01sin,7532. 068127288681272cos222222222mmSBcaSBcabacB答：这个区域的面积是得应用).coscoscos(22sinsinsin114222222222CabBcaAbccbaCBAcbaABC）（；）（中，求证：在例 练习练习3 3 任一任一 中，求证：中，求证： ABC 0)sin(sin)sin(sin)sin(sin BAcACbCBa 练习练习4在在ABC中，若中，若B=60,2b=a+c,试判断试判断ABC的形状。的形状。