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1、曲阜市高中数学优质课比赛参评教案 曲阜第一中学2.5.1 平面几何中的向量方法孔凡代曲阜师范大学附属中小学2.5.1 平面几何中的向量方法 教学目标知识与技能:运用向量的有关知识,解决平面几何中线段的长度、夹角等问题.过程与方法:通过应用举例,让学生体会用平面向量解决平面几何问题的两种方法选择基向量法和建系坐标法,感悟到平面向量解决平面几何问题的优越性,培养学生的向量运算能力、推理论证能力.情感、态度与价值观：通过本节学习，让学生体验向量在解决平面几何问题中的工具作用，增强学生的探究意识，培养创新精神、学习兴趣.重点与难点重点:用向量知识解决平面几何问题.难点:选择恰当的方法,将几何问题转化为
2、向量问题解决.教学方法 探究教学准备教师准备：多媒体课件学生准备：复习平面向量的线性运算和数量积运算，向量加减法的三角形法则、平行四边形法则，向量平行(共线)、垂直的判定方法，向量数量积的运算律，向量模、夹角公式.思维导图 情景设置，引入探究的问题自主探索引导学生解决例1归纳平面几何中向量方法的具体步骤设定问题引出例2引导学生解决例2巩固练习小结，回扣开头情景问题教学过程设计问题1：复习引入设计意图 回顾复习学过的知识方法,为用向量解决平面几何问题做好准备.ABCD 问题2：例1 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图,你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗?设计意图
3、 通过本题,让学生体会用向量法解决平面几何问题的优越性,以及解题的一般步骤,训练学生利用向量知识解决平面几何问题的能力及探究发现问题的能力.解析:设则. (1)同理. (2)(1)+(2)得即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.问题3：用向量方法解决几何问题的一般步骤是什么？设计意图 学生通过对解题过程及解题思想的回顾，对利用平面向量解决平面几何问题进行总结，培养学生分析及总结问题的能力.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角
4、等问题.(3)把运算结果“翻译”成几何关系.问题4：如图，平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE交AC于R，试用向量法证明方法研究AR与AC之间的长度关系.问题5：如图，平行四边形ABCD中，点F是CD的中点，BF交AC于T，试用向量法研究TC与AC的关系.ABCDEFRT设计意图 建立例1与例2的联系，减小例2的难度，为解决例6做一个铺垫，从而提高学生的类比猜想的能力和独立探究问题的能力. 问题6如图, 中,点分别是边的中点,分别与交于两点,你能发现之间的关系吗?设计意图 通过本题教学,进一步让学生领悟用向量解决平面几何问题的基本方法以基向量为基础,对向量从两个不同角度表达出来,再根据
5、向量相等列出“向量方程”来解决问题的方法,学会分析问题,解决问题的思考方法.解析:设则设,又设，,即,不共线,解得.同理 .于是 问题7已知直角三角形的两直角边长为4和6，试用向量方法求两直角边中线所成钝角的余弦值.设计意图 体会把几何问题转化为向量问题的基本方法,培养灵活的思维能力.问题8如何用坐标法解决问题7设计意图 进一步介绍向量法解决几何问题的方法坐标法，培养学生灵活的思维能力.归纳小结设计意图 帮助学生总结知识，归纳方法，完成知识的构建.作业布置，教科书习题2.5A组第1、2题.设计意图 巩固所学知识，规范解题步骤. 教学设计说明1本小节主要是例题教学,要让学生体会思路的形成过程,体
6、会数学思想方法的运用.教学中,教师创设问题情境,引导学生发现解题方法,展示思路的形成过程,总结解题规律.指导学生搞好解题后的反思,从而提高学生综合运用知识分析和解决问题的能力. 2本节教学过程一方面坚持以学生为主体，教师为主导，通过学生的自主探究与合作交流，体验知识发生、发展过程，注意知识与方法的落实.另一方面注重培养学生的问题意识，在教学中启发引导学生提出问题，并鼓励在学生自主活动中，尝试自己提出问题.3本节教学以问题为主线，新课标提出了“以学生的发展为本”的理念，学生的发展离不开丰富的问题及其解决数学的基础知识和基本技能的掌握，数学思想方法、数学素养的获得，数学思维能力（包括几何直观能力、分析概括能力、逻辑推理能力、运算能力）的提高，应用意识和创新意识的发展等，无不与问题和问题解决密切相关以问题为中心组织课堂教学符合认知心理学的规律和高中学生的学习特点，有利于改善教与学的方式，使学生主动地学习本节课通过营造宽松和谐的问题环境，精心创设问题，形成一个问题链，学生在解决问题的过程中能力得到提升.
平面几何中的向量方法
