232离散型随机变量的方差讲解

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1、SCH南极数学同步教学设计人教A版选修2-3第二章随机变量及其分布232离散型随机变量的方差（教学设计）教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。过程与方法：了解方差公式“D(a+b)=a2D”，以及“若(n，p)，则D=np(1p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美,体现数学的文化功能与人文价值。教学重点：离散型随机变量的方差、标准差.教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题.教学过程：一、复习回顾：1、.数学期望:一般地，若离散型随机变量的

2、概率分布为x1x2xnPp1p2pn则称Ex1p1x2p2xnpn为的数学期望，简称期望2、数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3、平均数、均值:在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令p1p2pn，则有p1p2pn1，E(x1x2xn)1，所以的数学期望又称为平均数、均值nn4、期望的一个性质:E(ab)aEb5、若B（n,p）（二项分布），则E=np。6、若X服从两点分布，则E(X)=p二、师生互动，新课讲解：问题：要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数X1的分布列为X15678910P0.030

3、.090.200.310.270.10第二名同学击中目标靶的环数X2的分布列为X156789P0.010.050.200.410.331SCH南极数学同步教学设计人教A版选修2-3第二章随机变量及其分布应派哪位同学参赛？画出分布列，求出它们的期望值相等。1、方差：设离散型随机变量X的概率分布为Xx1x2xnPp1p2pn则：(xiE(X)2描述职xi(i=1,2,3，)相对于均值E(X)的偏离程度，而：nE(X)2piD(X)(xii1为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E（X）的平均偏离程度，我们称D（X）为随机变量X的方差，并称其算术平方根D(X)（或用(X)）为随机变量X的

4、标准差。2、方差的性质：（1）若X服从两点分布，则D（X）=p(1-p)（2）若B(n，p)（二项分布），则Dnp(1-p)（3）D(ab)a2D；3、其它：随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛例题选讲：例1（课本P66例4）随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.解：抛掷散子所得点数X的分布列为123456P111111666666从而EX1121314151613.5;6666662SCH

5、南极数学同步教学设计人教A版选修2-3第二章随机变量及其分布DX(13.5)21(23.5)21(33.5)21(43.5)216666(53.5)21(63.5)212.9266XDX1.71.变式训练1：甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平解：E180.290.6100.29D1(89)20.2(99)20.6+（10-9）20.20.4；同理有E29,D20.8由上可知，E1E2，D1D2所以，在射击之前，可以预

6、测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些点评：本题中，1和2所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同E1E2=9，这时就通过D1=0.4和D2=0.8来比较1和2的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况例2（课本P67例5）有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1/元1200140016001800获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X2/元1000140018002000获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意

7、选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得EX1=12000.4+14000.3+16000.2+18000.1=1400,DX1=(1200-1400)20.4+(1400-1400)20.3(1600-1400)20.2+(1800-1400)20.1=40000;3SCH南极数学同步教学设计人教A版选修2-3第二章随机变量及其分布EX210000.4+14000.3+18000.2+22000.1=1400,DX2=(1000-1400)20.4+(1400-1400)0.3+(1800-1400)20.2+(2200-1400)20.l=160000.因为EX1=EX2,D

8、X1DX2，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位变式训练2（1）：有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为，求E，D分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即B（200，1%），从而可用公式：E=np，D

9、=npq(这里q=1-p)直接进行计算解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以B（200，1%）因为E=np，D=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，所以，E=2001%=2,D=2001%99%=1.98变式训练2（2）：设B(n、p)且E=12D=4，求n、p解：由二次分布的期望与方差性质可知E=npD=np（1p）np12n182p)4np(1p3课堂练习（课本P68练习NO：1；2）三、课堂小结，巩固反思：1）求离散型随机变量的方差、标准差的步骤：理解的意义，写出可能取的全部值；求取各个值的概率，写出分布列；根据分布列，由期望的定义求出E；根据

10、方差、标准差的定义求出D、.若B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可（2）对于两个随机变量1和2，在E1和E2相等或很接近时，比较D1和D2，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要四、课时必记：4SCH南极数学同步教学设计人教A版选修2-3第二章随机变量及其分布1、离散型随机变量X的方差：nD(X)(xiE(X)2piD(X)为随机变量X的标准差。i12、方差的性质：（1）若X服从两点分布，则D（X）=p(1-p)（2）若B(n，p)（二项分布），则Dnp(1-p)（3）D(ab)a2D；五、分层作业：A组：1、已知Bn,p,E8,D1.6，则n,p的值分别是

11、（D）A100和0.08；B20和0.4；C10和0.2；D10和0.8B 2、（课本P68习题2.3A组NO：1）3、（课本P68习题2.3A组NO：5）组：1.某学校为高二年级开展第二外语选修课,要求每位同学最多可以选报两门课程.已知有75%的同学选报法语课,有60%的同学选报日语课.假设每个人对课程的选报是相互独立的,且各人的选报相互之间没有影响.(1)任选1名同学,求其选报过第二外语的概率.(2)任选3名同学,记为3人中选报过第二外语的人数,求的分布列、期望和方差.【解析】设事件A:选报法语课;事件B:选报日语课.由题设知,事件A与B相互独立,且P(A)=0.75,P(B)=0.6.方

12、法一:任选1名同学,该同学一门课程都没选报的概率是P1=P()=P()P()=0.250.4=0.1.所以该人选报过第二外语的概率是5SCH南极数学同步教学设计人教A版选修2-3第二章随机变量及其分布P2=1-P1=1-0.1=0.9.方法二:任选1名同学,该同学只选报一门课程的概率是P3=P(A)+P(B)=0.750.4+0.250.6=0.45,该人选报两门课程的概率是P4=P(AB)=0.750.6=0.45.所以该同学选报过第二外语的概率是P5=P3+P4=0.45+0.45=0.9.(2)因为每个人的选报是相互独立的,所以3人中选报过第二外语的人数服从二项分布B(3,0.9),P(

13、=k)=0.9k0.13-k,k=0,1,2,3,即的分布列是0123P0.0010.0270.2430.729的期望是E()=10.027+20.243+30.729=2.7(或的期望是E()=30.9=2.7),的方差是D()=30.9(1-0.9)=0.27.2、把4个球随机地投入4个盒子中去,设表示空盒子的个数,求E(),D().【解析】每个球投入到每个盒子的可能性是相等的.总的投球方法数为44,空盒子的个数可能为0个,此时投球方法数为=4!,所以P(=0)=;空盒子的个数为1时,此时投球方法数为,所以P(=1)=.同样可分析P(=2)=,P(=3)=.所以的分布列为0123P6SCH南极数学同步教学设计人教A版选修2-3第二章随机变量及其分布所以E()=,D()=.C组：设事件A发生的概率为p，证明事件A在一次试验中发生次数的方差不超过1/4分析：这是一道纯数学问题要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列求出方差D=P(1-P)后，我们知道D是关于P(P0)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论证明：因为所有可能取的值为0，1且P（=0）=1-p,P(=1)=p,所以，E=0(1-p)+1p=p2则D=（0-p）2(1-p)+(1-p)2p=p(1-p)p(1p)1247