数列证明题型总结(教师版)附答案

《数列证明题型总结(教师版)附答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列证明题型总结(教师版)附答案（23页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 一、解答题 :1在数列中，a11,an12an2n.()设bn，证明:数列是等差数列；(）求数列的前n项的和Sn。【答案】(）因为bn1bn1所以数列bn为等差数列()因为bnb1(n1)1n所以ann2n1所以Sn120221n2n12Sn121222n2n两式相减得Sn(n1)2n12在数列an中,a1，an1an。(）设bn2nan，证明:数列bn是等差数列;(）求数列an的前n项和Sn。【答案】()由an1an，得2n1an12nan1bn1bn1，则bn是首项b11，公差为1的等差数列故bnn，an.(）Sn123（n1)nSn123(n1）n两式相减，得：Sn1Sn23数列an的

2、各项均为正数，前n项和为Sn，且满足4Sn(an1)2（nN）（）证明：数列an是等差数列，并求出其通项公式an；（）设bnan2an（nN）,求数列bn的前n项和Tn。【答案】()n1时,4a1(a11)2a2a110，即a11n2时，4an4Sn4Sn1（an1）2（an11）2aa2an2an1aa2an2an10（anan1)（anan1)20an0anan12故数列an是首项为a11,公差为d2的等差数列，且an2n1（nN)（）由()知bnan2an(2n1）22n1Tnb1b2bn(121)（323）（2n1)22n113(2n1)(212322n1)n2n24数列an的各项均为

3、正数,前n项和为Sn，且满足2an1（nN*)（)证明：数列an是等差数列，并求出其通项公式an;（)设bnan2n（nN），求数列bn的前n项和Tn。【答案】（)由2an1(nN）可以得到4Sn（an1）2（nN*) n1时，4a1(a11）2a2a110，即a11n2时,4an4Sn4Sn1(an1）2(an11）2aa2an2an1aa2an2an10（anan1）(anan1)20an0anan12故数列an是首项为a11，公差为d2的等差数列，且an2n1（nN*）(）由()知bnan2n（2n1)2nTn(121)（322）（2n3)2n1（2n1）2n则2Tn(122)(323)

4、（2n3)2n（2n1）2n1两式相减得：Tn(121)(222)(22n)(2n1）2n122(2n1)2n1(32n)2n16Tn（2n3)2n16(或Tn（4n6)2n6)5已知数列an，其前n项和为Snn2n（nN)(）求a1,a2；()求数列an的通项公式,并证明数列an是等差数列；()如果数列bn满足anlog2bn，请证明数列bn是等比数列，并求其前n项和Tn。【答案】(）a1S15，a1a2S222213,解得a28.()当n2时，anSnSn1n2(n1）2n(n1）（2n1)3n2.又a15满足an3n2，an3n2（nN*）anan13n23（n1）23(n2，nN*）,

5、数列an是以5为首项,3为公差的等差数列（）由已知得bn2an（nN*），2an1an238(nN），又b12a132，数列bn是以32为首项，8为公比的等比数列Tn(8n1)6已知函数f（x），数列an满足：a1,an1f(an）()求证：数列为等差数列，并求数列an的通项公式；（）记Sna1a2a2a3anan1，求证：Sn。【答案】证明：（）an1f(an），即，则成等差数列，所以（n1）（n1），则an。()anan18，Sna1a2a2a3anan188。7已知数列an的前三项依次为2，8，24,且an2an1是等比数列（）证明是等差数列；（)试求数列an的前n项和Sn的公式【答案】

6、（）a22a14，a32a28,an2an1是以2为公比的等比数列an2an142n22n。等式两边同除以2n，得1，是等差数列(）根据()可知(n1)1n,ann2n。Sn12222323n2n，2Sn122223(n1）2nn2n1.得：Sn222232nn2n1n2n12n12n2n1，Sn(n1）2n12.8已知数列an的各项为正数，前n项和为Sn，且满足：Sn(nN)（）证明：数列S是等差数列；（)设TnSSSS,求Tn.【答案】(）证明：当n1时，a1S1，又Sn（nN*），S1，解得S11.当n2时，anSnSn1,Sn,即SnSn1，化简得SS1，S是以S1为首项,1为公差的等

7、差数列()由（)知Sn，TnSSS，即Tn12(n1)n。得Tn1（n1)n.得Tnnn1n1,Tn2.9数列an满足a11,an11(nN），记Snaaa。（)证明：是等差数列；（）对任意的nN，如果S2n1Sn恒成立，求正整数m的最小值【答案】(）证明:4（n1)44n3，即是等差数列（）令g(n）S2n1Sn。g(n1)g（n）0，g（n)在nN上单调递减,g（n)maxg（1）.恒成立m，又mN，正整数m的最小值为10。10已知数列an是首项a1，公比为的等比数列,设bn15log3ant，常数tN.(）求证：bn为等差数列；(）设数列cn满足cnanbn，是否存在正整数k，使ck1，

8、ck,ck2成等比数列？若存在,求k，t的值；若不存在,请说明理由【答案】（）证明：an3，bn1bn15log35,bn是首项为b1t5，公差为5的等差数列（)cn(5nt)3，令5ntx，则cnx，cn1(x5）3,cn2（x10)3,若ccn1cn2，则（x3）2(x5）3（x10)3，化简得2x215x500，解得x10或(舍），进而求得n1,t5，综上，存在n1,t5适合题意11在数列 an中，a11，an12an2n1.（）设bnan1an2，(nN），证明：数列bn是等比数列;(）求数列an的通项an。【答案】()由已知an12an2n1得an22an12n3，得an2an12a

9、n12an2设an2an1c2(an1anc）展开与上式对比，得c2因此，有an2an122（an1an2)由bnan1an2，得bn12bn,由a11，a22a135，得b1a2a126,故数列bn是首项为6，公比为2的等比数列(）由()知，bn62n132n则an1anbn232n2,所以ana1（a2a1）（a3a2）（anan1）1（3212）（3222）（32n12）13（222232n1）2（n1）an32n2n3,当n1时，a1321213651，故a1也满足上式故数列an的通项为an32n2n3（nN*）12在数列an中，a1，anan1（nN且n2）（）证明：an是等比数列；

10、（）求数列an的通项公式；（）设Sn为数列的前n项和,求证Sn。【答案】()由已知，得是等比数列（）设Anan，则A1a11，且q则An（)n，an，可得an(）Sn（）（)()13已知数列an满足a12,an12ann1(nN）（）证明：数列ann是等比数列，并求出数列an的通项公式；()数列bn满足：bn（nN*)，求数列bn的前n项和Sn.【答案】（)证法一：由an12ann1可得an1（n1）2（ann)，又a12,则a111，数列ann是以a111为首项，且公比为2的等比数列，则ann12n1，an2n1n.证法二:2，又a12，则a111,数列ann是以a111为首项,且公比为2的

11、等比数列,则ann12n1，an2n1n。()bn，bnSnb1b2bn2（）2n()nSn（）22()3(n1)（)nn(）n1由，得Sn()2（）3（)nn(）n1n（）n11(n2）(）n1，Sn2(n2）（）n.14在数列an中,a11,2nan1(n1）an，nN*.（）设 bn,证明：数列bn是等比数列；（)求数列an的前n项和Sn。【答案】()因为，所以bn是首项为1，公比为的等比数列（）由(）可知，即an，Sn1,上式两边乘以，得Sn，两式相减，得Sn1,Sn2，所以Sn415设数列an的前n项和为Sn,且Sn（1)an，其中1，0。(）证明：数列an是等比数列；(）设数列an

12、的公比qf（),数列bn满足b1，bnf(bn1）（nN，n2),求数列bn的通项公式【答案】(）由Sn(1)anSn1（1)an1（n2)，相减得：ananan1，（n2)，数列an是等比数列()f(），bn1，是首项为2，公差为1的等差数列;2(n1)n1,bn.16在等差数列an中，a1030，a2050.（）求数列an的通项an；(）令bn2an10，证明：数列bn为等比数列；（）求数列nbn的前n项和Tn。【答案】()由ana1（n1)d，a1030,a2050,得方程组，解得a112，d2.an12(n1）22n10.（）由(）得bn2an1022n101022n4n，4bn是首项

13、是4,公比q4的等比数列（）由nbnn4n得：Tn14242n4n4Tn142（n1）4nn4n1相减可得：3Tn4424nn4n1n4n1Tn17已知an是等差数列,其前n项和为Sn，已知a311,S9153，（）求数列an的通项公式；（）设anlog2bn,证明bn是等比数列，并求其前n项和Tn.【答案】（） 解得:d3，a15, an3n2 （）bn2an，2an1an238,bn是公比为8的等比数列又b12a132, Tn（8n1)18在数列an中,a13，an2an1n2（n2，且nN*)()求a2，a3的值；()证明:数列ann是等比数列，并求an的通项公式;（)求数列an的前n项

14、和Sn。【答案】（）a13，an2an1n2（n2，且nN)，a22a1226，a32a23213。（）证明：2，数列ann是首项为a114，公比为2的等比数列ann42n12n1,即an2n1n，an的通项公式为an2n1n（nN*)（)an的通项公式为an2n1n(nN*)，Sn(2223242n1）(123n）2n2。19已知数列an满足a12，an13an2（nN）()求证：数列an1是等比数列;（）求数列an的通项公式【答案】（)证明：由an13an2得an113（an1）,从而3，即数列an1是首项为3,公比为3的等比数列()由（)知，an133n13nan3n1。20已知数列an

15、满足a12，an14an2n1，Sn为an的前n项和（)设bnan2n，证明数列bn是等比数列，并求数列an的通项公式；（)设Tn，n1，2，3，证明:i。【答案】()因为bn1an12n1(4an2n1)2n14（an2n）4bn，且b1a124,所以bn是以4为首项，以q4为公比的等比数列所以bnb1qn14n，所以an4n2n.（)Sna1a2an(4424n)（2222n)（4n1)2(2n1）（2n1)232n12（2n11）（2n12)（2n11）（2n1)，所以Tn，因此i的n的最小值【答案】（)证明：b1S1320，Sn1SnSn3n，即Sn12Sn3n，20，所以bn是等比数

16、列（)由（）知bn2n,则cn，Tn，Tn，n2 011，即nmin2 012。25已知数列an满足：a11，an1（nN）()求证:数列是等比数列；（）若1，且数列bn是单调递增数列，求实数的取值范围【答案】（）证明:1，12，120，所以数列是等比数列（）12n，an，12n，bn12n(n),bn2n1(n1)（n2)，b1适合，所以bn2n1（n1）(nN*），由bn1bn得2n1（n1）2n（n）,2 010的n的最小值【答案】（）an13an2an1（n2)，（an1an)2(anan1)（n2)a12，a24,a2a120，anan10，故数列an1an是首项为2,公比为2的等比

17、数列，an1an（a2a1）2n12n，an(anan1）（an1an2)（an2an3）(a2a1)a12n12n22n321222n（n2)又a12满足上式,an2n(nN*）()由()知bn222，Sn2n2n2n22n2。由Sn2 010得：2n22 010，即n1 006，因为n为正整数,所以n的最小值为1 006.27已知数列an的前n项和为Sn，满足Sn+2n=2an（I）证明：数列an+2是等比数列,并求数列an的通项公式an;（）若数列bn满足bn=log2(an+2）,求数列的前n项和Tn【答案】（I)证明：由Sn+2n=2an，得Sn=2an2n,当nN时,Sn=2an2

18、n，当n=1时，S1=2a12，则a1=2，当n2时，Sn1=2an12（n1）,得an=2an2an12，即an=2an1+2，an+2=2（an1+2），an+2是以a1+2为首项,以2为公比的等比数列,（)解:，bn=n（n+1）,=1+=1=【解析】考点： 数列的求和；等比数列的通项公式专题： 综合题分析： （I)由Sn+2n=2an，得Sn=2an2n，由此利用构造法能够证明数列an+2是等比数列，并求出数列an的通项公式an(）由，得，由此利用错位相减法能够求出数列的前n项和Tn28数列an中，a11，当n2时，其前n项的和Sn满足San(Sn1)（）证明:数列是等差数列；（）设b

19、nlog2,数列bn的前n项和为Tn，求满足Tn6的最小正整数n。【答案】（）San（Sn1）,S（SnSn1)(Sn1)(n2），SnSn1Sn1Sn，即1，是1为首项，1为公差的等差数列（）由（)知Sn,bnlog2，Tnlog2log26，（n2）（n1）128,nN*，n10，所以满足Tn6的最小正整数为1029已知数列an的首项a1=,，其中nN+（）求证：数列为等比数列；（)记Sn=，若Sn100，求最大的正整数n【答案】（）证明:，N+）,数列为等比数列（)解:由（）可求得=，若Sn100,则n+1,nmax=99【解析】考点:数列递推式；数列的求和专题:综合题;等差数列与等比数列分析:（）利用数列递推式,变形可得，从而可证数列为等比数列；()确定数列的通项，利用等比数列的求和公式求和，即可求最大的正整数n30在数列an中，a12，an14an3n1，nN.(）证明数列ann是等比数列；（）设数列an的前n项和Sn,求Sn14Sn的最大值【答案】（)证明:由题设an14an3n1，得an1（n1）4(ann)，nN。又a111，所以数列ann是首项为1，且公比为4的等比数列()由（）可知ann4n1,于是数列an的通项公式为an4n1n。所以数列an的前n项和Sn。Sn14Sn4(3n2n4)，故n1,最大0. 23 / 23