2013中考数学压轴题函数梯形问题13

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1、2013中考数学压轴题函数梯形问题(二)例3 如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y ，点C的坐标为(4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在x轴上 (1) 写出点M的坐标； (2) 当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围； 当梯形CMQP的两底的长度之比为12时，求t的值图1动感体验请打开几何画板文件名“10杭州24”，拖动点Q在抛物线上运动，从t随x变化的图像可以看到，t是x的二次函数，抛物线的开口向下还可以感受到，PQCM12只有一种情况，此时Q在y

2、轴上；CMPQ12有两种情况思路点拨1第（1）题求点M的坐标以后，RtOCM的两条直角边的比为12，这是本题的基本背景图2第（2）题中，不变的关系是由平行得到的等角的正切值相等，根据数形结合，列关于t与x的比例式，从而得到t关于x的函数关系 3探求自变量x的取值范围，要考虑梯形不存在的情况，排除平行四边形的情况4梯形的两底的长度之比为12，要分两种情况讨论把两底的长度比转化为QH与MO的长度比满分解答(1)因为ABOC 4，A、B关于y轴对称，所以点A的横坐标为2将x2代入y，得y2所以点M的坐标为（0，2）(2) 如图2，过点Q作QH x轴，设垂足为H，则HQy，HPx t 因为CM/PQ，

3、所以QPHMCO因此tanQPHtanMCO，即所以整理，得如图3，当P与C重合时，解方程，得如图4，当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x 2因此自变量x的取值范围是，且x 2的所有实数 图2 图3 图4因为sinQPHsinMCO，所以，即当时，解方程，得（如图5）此时当时，解方程，得如图6，当时，；如图6，当时， 图5 图6 图7考点伸展本题情境下，以Q为圆心、QM为半径的动圆与x轴有怎样的位置关系呢？设点Q的坐标为，那么而点Q到x轴的距离为因此圆Q的半径QM等于圆心Q到x轴的距离，圆Q与x轴相切例 4 已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A的坐标为(4,0)

4、，点C的坐标为，直线与边BC相交于点D(1)求点D的坐标；(2)抛物线经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；(3)在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由图1动感体验请打开几何画板文件名“10奉贤24”，分别双击按钮“MO/AD”、“MA/OD”和“MD/OA”，可以体验到，在“MO/AD”和“MA/OD”两种情况下，根据两直线平行，内错角相等，可以判定直角三角形相似；在“MD/OA”情况下，根据对称性可以直接得到点M的坐标思路点拨1用待定系数法求抛物线的解析式，设交点式比较简便2过AOD的三个顶点分别画对边

5、的平行线与抛物线相交，可以确定存在三个梯形3用抛物线的解析式可以表示点M的坐标满分解答(1)因为BC/x轴，点D在BC上，C(0,2)，所以点D的纵坐标为2把y2代入，求得x3所以点D的坐标为(3,2)(2)由于抛物线与x轴交于点O、A(4,0)，设抛物线的解析式为yax(x4)，代入D (3,2)，得所求的二次函数解析式为(3) 设点M的坐标为如图2，当OM/DA时，作MNx轴，DQx轴，垂足分别为N、Q由tanMONtanDAQ，得因为x0时点M与O重合，因此，解得x7此时点M的坐标为（7，14）如图3，当AM/OD时，由tanMANtanDOQ，得因为x4时点M与A重合，因此，解得x1此

6、时点M的坐标为如图4，当DM/OA时，点M与点D关于抛物线的对称轴对称，此时点M的坐标为（1，2） 图2 图3 图4考点伸展第（3）题的、用几何法进行计算，依据是两直线平行，内错角的正切相等如果用代数法进行，计算过程比较麻烦以为例，先求出直线AD的解析式，再求出直线OM的解析式，最后解由直线OM和抛物线的解析式组成的二元二次方程组2013中考数学压轴题函数平行四边形问题(三)例 5 如图1，等边ABC的边长为4，E是边BC上的动点，EHAC于H，过E作EFAC，交线段AB于点F，在线段AC上取点P，使PEEB设ECx（0x2）（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；

7、（2）Q是线段AC上的动点，当四边形EFPQ是平行四边形时，求平行四边形EFPQ的面积（用含的代数式表示）；（3）当（2）中 的平行四边形EFPQ面积最大值时，以E为圆心，r为半径作圆，根据E与此时平行四边形EFPQ四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围图1动感体验 请打开几何画板文件名“09福州21”，拖动点E在BC上运动，观察面积随x变化的图象，可以体验到，当E是BC的中点时，平行四边形EFPQ的面积最大，此时四边形EFPQ是菱形拖动点M在BC的垂直平分线上运动可以改变E的大小，可以体验到，E与平行四边形EFPQ四条边交点的总个数可能为2，4，6，3，0思路点拨1如何用含有x的式子表示平

8、行四边形的边PQ，第（1）题作了暗示2通过计算，求出平行四边形面积最大时的x值，准确、规范地画出此时的图形是解第（3）题的关键，此时点E是BC的中点，图形充满了特殊性3画出两个同心圆可以帮助探究、理解第（3）题：过点H的圆，过点C的圆满分解答（1）BE、PE、BF三条线段中任选两条（2）如图2，在RtCEH中，C60，ECx，所以因为PQFEBE4x，所以（3）因为，所以当x2时，平行四边形EFPQ的面积最大此时E、F、P分别为ABC的三边BC、AB、AC的中点，且C、Q重合，四边形EFPQ是边长为2的菱形（如图3） 图2 图3过点E点作EDFP于D，则EDEH如图4，当E与平行四边形EFPQ

9、的四条边交点的总个数是2个时，0r；如图5，当E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是4个时，r； 如图6，当E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是6个时，r2；如图7，当E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是3个时，r2时；如图8，当E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是0个时，r2时 图4 图5 图6 图7 图8考点伸展本题中E是边BC上的动点，设ECx，如果没有限定0x2，那么平行四边形EFPQ的面积是如何随x的变化而变化的？事实上，当x2时，点P就不存在了，平行四边形EFPQ也就不存在了因此平行四边形EFPQ的面积随x的增大而增大例6 如图1，抛物线与x轴相交于A

10、、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF/DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？设BCF的面积为S，求S与m的函数关系图1动感体验 请打开几何画板文件名“09江西24”，拖动点P在BC上运动，可以体验到，四边形PEDF可以成为平行四边形观察BCF的形状和S随m变化的图象，可以体验到，S是m的二次函数，当P是BC的中点时，S取得最大值思路点拨1数形结合，用函数的解析式表

11、示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长2当四边形PEDF为平行四边形时，根据DE=FP列关于m的方程3把BCF分割为两个共底FP的三角形，高的和等于OB满分解答（1）A（1，0），B（3，0），C（0，3）抛物线的对称轴是x1（2）直线BC的解析式为yx3把x1代入yx3，得y2所以点E的坐标为（1，2）把x1代入，得y4所以点D的坐标为（1，4）因此DE=2因为PF/DE，点P的横坐标为m，设点P的坐标为，点F的坐标为，因此当四边形PEDF是平行四边形时，DE=FP于是得到解得，（与点E重合，舍去）因此，当m=2时，四边形PEDF是平行四边形时设直线PF与x轴交于点M，那么OM+BM=OB

12、=3因此m的变化范围是0m3 图2 图3考点伸展在本题条件下，四边形PEDF可能是等腰梯形吗？如果可能，求m的值；如果不可能，请说明理由如图4，如果四边形PEDF是等腰梯形，那么DG=EH，因此于是解得（与点CE重合，舍去），（与点E重合，舍去）因此四边形PEDF不可能成为等腰梯形图4例 7 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点（1）求点A、B、C的坐标（2）当CBD为等腰三角形时，求点的坐标（3）在直线AB上是否存在点E，使得以点E、D、O、A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出的值；如果不存在，请说明理由图1动感体验

13、请打开几何画板文件名“08太原29”，拖动点D可以在直线AC上运动分别双击按钮“BCBD”，“CBCD”和“DBDC”，可以准确显示CBD为等腰三角形双击按钮“平行四边形”，可以体验到，以点E、D、O、A为顶点的平行四边形有三个思路点拨1数形结合，由两条直线的解析式组成的方程组的解，就是点A的坐标2分类讨论等腰三角形CBD，按照顶角的顶点分三种情况讨论3在计算点D的坐标时，构造以C为顶点的直角三角形，灵活运用三边比3454画平行四边形时，是点E决定点D的位置：过点O作AC的平行线交AB于E，由OE与AD平行且相等得到点D的两个位置，这样就容易得到三个平行四边形满分解答（1）在中，当时，所以点的

14、坐标为在中，当时，所以点的坐标为（4，0）解方程组 得，所以点的坐标为（2）因为点D在直线上，设点D的坐标为当CBD为等腰三角形时，有以下三种情况：如图2，当DBDC时，设底边BC上的高为DM在RtCDM中，所以这时点D的坐标为如图3，当CDCB5时，点D恰好落在y轴上，此时点D的坐标为（0，3）根据对称性，点D关于点C对称的点D的坐标为（8，3）如图4，当BCBD时，设BC、DC边上的高分别为DM、BN在RtBCN中，BC5，所以CN4，因此DC8在RtDCM中，DC8，所以，这时点D的坐标为综上所述，当CBD为等腰三角形时，点D的坐标为、（0，3）、（8，3）或 图2 图3 图4（3）如图

15、5，以点E、D、O、A为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情形：当四边形AEOD为平行四边形时，当四边形ADEO为平行四边形时，图52013中考数学压轴题函数面积问题(一)例 1 如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线(x0)交于点B(2，1)过点(p1)作x轴的平行线分别交曲线(x0)和(x0)于M、N两点（1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点P在直线y2上，求证：PMBPNA；（3）是否存在实数p，使得SAMN4SAMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由图1动感体验请打开几何画板文件名“11南通28”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，当直线MN经过（

16、0，2）点时，图形中的三角形都是等腰直角三角形；AMN和AMP是两个同高的三角形，MN4MP存在两种情况思路点拨1第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中2第（3）题把SAMN4SAMP转化为MN4MP，按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论满分解答（1）因为点B(2，1)在双曲线上，所以m2设直线l的解析式为，代入点A(1，0)和点B(2，1)，得 解得 所以直线l的解析式为（2）由点(p1)的坐标可知，点P在直线上x轴的上方如图2，当y2时，点P的坐标为(3，2)此时点M的坐标为(1，2)，点N的坐标为(1，2)由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三点的位置关系，可知PMB为等

17、腰直角三角形由P(3，2)、N(1，2)、A(1，0)三点的位置关系，可知PNA为等腰直角三角形所以PMBPNA图2 图3 图4（3）AMN和AMP是两个同高的三角形，底边MN和MP在同一条直线上当SAMN4SAMP时，MN4MP如图3，当M在NP上时，xMxN4(xPxM)因此解得或（此时点P在x轴下方，舍去）此时如图4，当M在NP的延长线上时，xMxN4(xMxP)因此解得或（此时点P在x轴下方，舍去）此时考点伸展在本题情景下，AMN能否成为直角三角形？情形一，如图5，AMN90，此时点M的坐标为（1，2），点P的坐标为（3，2）情形二，如图6，MAN90，此时斜边MN上的中线等于斜边的一

18、半不存在ANM90的情况图5 图6例2 如图1，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，CBOA，OC4，BC3，OA5，点D在边OC上，CD3，过点D作DB的垂线DE，交x轴于点E （1）求点E的坐标；（2）二次函数yx2bxc的图像经过点B和点E求二次函数的解析式和它的对称轴；如果点M在它的对称轴上且位于x轴上方，满足SCEM2SABM，求点M的坐标图1动感体验请打开几何画板文件名“11松江24”，拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察面积比的度量值，可以体验到，有两个时刻，面积的比值等于2思路点拨1这三道题目步步为赢，错一道题目，

19、就要影响下一道的计算2点M在抛物线的对称轴上且位于x轴上方，要分两种情况讨论，分别为点M在线段FB和FB的延长线上因为用点M的纵坐标表示ABM的底边长，因点M的位置不同而不同满分解答（1）因为BCOA，所以BCCD因为CDCB3，所以BCD是等腰直角三角形因此BCD45又因为BCCD，所以ODE45所以ODE是等腰直角三角形，OEOD1所以点E的坐标是（1，0）（2）因为抛物线yx2bxc经过点B（3，4）和点E（1，0），所以 解得所以二次函数的解析式为yx26x5，抛物线的对称轴为直线x3如图2，如图3，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，点M的坐标为（3，t）（）如图2，当点M位于线段BF上时，解方程，得此时点M的坐标为（3，）（）如图3，当点M位于线段FB延长线上时，解方程，得此时点M的坐标为（3，8）图2 图3考点伸展对于图2，还有几个典型结论：此时，C、M、A三点在同一条直线上；CEM的周长最小可以求得直线AC的解析式为，当x3时，因此点M（3，）在直线AC上因为点A、E关于抛物线的对称轴对称，所以MEMCMAMC当A、M、C三点共线时，MEMC最小，CEM的周长最小当四边形AODE为平行四边形时，考点伸展如图5，第（3）题这样解：在ABC中，已知BC5，BC边上的高为，解得AB，AC由，得，所以由，得，所以结合图5，可以计算出，或