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1、一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知关于与之间的一组数据：则与的线性回归方程必过点（ ）A B C D【答案】A考点：线性回归方程的性质.2.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（ ）A6 B8 C5 D7【答案】D【解析】试题分析：这个循环结构是当型循环结构，第一次循环：，；第二次循环：，；第三次循环：，；第四次循环：，；第五次循环：，；第六次循环：，；第七次循环：，输出故选D考点：程序框图.【方法点睛】本题主要考查的是程序框图，属于容易题解题时一定要抓住重要条件“”，否则很容易出现错误对于循环结构的流程
2、框图，主要是根据循环的次数，当循环次数较少时，逐次列出循环过程，当循环次数较多时，寻找其规律；在该题中，在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可3.已知，则与的大小关系是（ ）A B C D无法确定【答案】B考点：不等式比较大小. 4.已知，若，则（ ）A B C.0 D0或【答案】D【解析】试题分析：设，故，即，解得，故或，故选D.考点：复数的运算.5.已知为实数，则“且”是“且”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C.充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C考点：充要条件的判断.6.（ ）A B C. 2 D-2【答案】C
3、【解析】试题分析：，故选C.考点：复数的运算.7.下列命题中若，则函数在取得极值；直线与函数的图象不相切；若（为复数集），且，则的最小值是3；定积分.正确的有（ ）A B C. D【答案】D【解析】试题分析：若，且在的左右附近导数的符号改变，则函数在取得极值，故不正确；若直线与函数的图象相切，则，即，显然不存在，故正确；的几何意义是以为圆心，半径为的圆，的几何意义是圆上一点到点的距离，连接并延长，显然最小值为，故正确；令，则，点的轨迹表示半圆，定积分表示以原点为圆心，为半径的圆面积的，故定积分，故正确故选：D考点：命题的真假的判定与应用.【方法点睛】本题以命题的真假为载体考查函数的极值概念，导
4、数的应用于求切线方程，以及复数的几何意义，定积分的几何意义及求法，是一道中档题函数在某点处取得极值一定要考虑左右两侧导数值符号相反；求出导数，由切线的斜率等于，根据三角函数的值域加以判断即可；表示圆，的几何意义两点的距离，通过其意义可得解；令的轨迹表示半圆，则该积分表示该圆面积的8.将号码分别为1、2、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同.甲从袋中摸出一个球，其号码为，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为.则使不等式成立的事件发生的概率等于（ ）A B C. D【答案】A考点：等可能事件的概率.【方法点睛】本题考查等可能事件的概率，在解题的过程中注意列举出所有的满足条
5、件的事件数时，因为包含的情况比较多，又是一个数字问题，注意做到不重不漏试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有种结果，满足条件的事件是使不等式成立的，即，列举出当时的所有的结果，得到概率9.已知函数的导函数为，且满足，则（ ）A B1 C.-1 D【答案】C考点：（1）导数的乘法与除法法则；（2）导数的加法与减法法则.10.设，那么的值为（ ）A B C. D-1【答案】B【解析】试题分析：时，；时，故选：B考点：二项式定理的应用.第卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共7小题，每题5分，满分35分）11.用18长的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，则该长
6、方体的最大体积是_.【答案】【解析】试题分析：设该长方体的宽是米，由题意知，其长是米，高是米， 则该长方体的体积，由，得到，且当时，；当时，即体积函数在处取得极大值，也是函数在定义域上的最大值所以该长方体体积最大值是故答案为：考点：（1）导数在最值中的应用；（2）棱柱、棱锥、棱台的体积.12.有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若表示取到次品的件数，则_.【答案】考点：离散型随机变量的期望与方差.13.已知函数，则在点处的线方程为_.【答案】【解析】试题分析：，把代入得到切线的斜率，切点为，则所求切线方程为，即为故答案为：考点：利用导数研究曲线上某点处的切线方程.14.已知某电子元件的
7、使用寿命（单位：小时）服从正态分布，那么该电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为_.【答案】【解析】试题分析：某电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布，图象关于对称，该电子元件的使用寿命超过小时的概率为，故答案为：考点：正态分布曲线的特点.15.展开式中的常数项是_.【答案】考点：二项式定理.16.设函数的定义域为，如果存在正实数，对于任意，都有，且恒成立，则称函数为上的“型增函数”，已知函数是定义在上的奇函数，且当时，若为上的“2015型增函数”，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】试题分析：是定义在上的奇函数，且当时，又为上的“型增函数”，（1）当时，由定义有，即，其几何意义为
8、到点小于到点的距离，由于故可知得，当时，若，则有，即，其几何意义表示到点的距离小于到点的距离，由于，故可得，得；若，则有，即，其几何意义表示到到点的距离与到点的距离的和大于，（2）当时，显然成立，当时，由于，故有，必有，解得，综上，对都成立的实数的取值范围是，故答案为：考点：函数奇偶性的性质.【方法点晴】本题考察了函数的奇偶性，考察新定义问题，根据绝对值的几何意义得到不等式是解答本题的关键，本题是一道中档题遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题中主要围绕存在正实数，对于任意，都有，且恒成立，根据题
9、意进行分类讨论.17.已知过点的直线被圆所截得的弦长为8，那么直线的方程为_.【答案】或考点：直线与圆的位置关系.【方法点睛】本题考查了待定系数法求直线方程，考查了直线与圆相交的相交弦长公式，注意不要漏掉，难度中档；当直线与圆相交时，弦长的一半、圆心到直线的距离以及圆的半径构成直角三角形可求出点到直线的距离为，已知直线过某点时，分为斜率存在和斜率不存在时两种情况，当斜率不存在时进行验证，当斜率存在时设为点斜式，利用点到直线的距离可得结果.三、解答题（本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.（本小题满分12分）已知函数.（I）求曲线在点处的切线方程；（II）直线
10、为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标.【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：（I）先求出函数的导函数，再求出函数在处的导数即斜率，易求切线方程；（II）设切点为，则直线的斜率为，从而求得直线的方程，有条件直线过原点可求解切点坐标，进而可得直线的方程试题解析：（I）.所以在点处的切线的斜率，切线的方程为；（II）设切点为，则直线的斜率为，所以直线的方程为：，所以又直线过点，整理，得，的斜率，直线的方程为，切点坐标为.考点：（1）利用导数研究曲线在某点处的切线方程；（2）直线的点斜式方程.19.（本小题满分12分）已知函数，（I）求证：在区间上单调递增；（II）若，函数在区间上的
11、最大值为，求的试题分析式并判断是否有最大值和最小值，请说明理由（参考数据：）【答案】（I）证明见解析；（II）有最小值，没有最大值.试题解析：（I）证明：，设，则，当时，在区间上单调递增.，当时，.在区间上单调递增.（II），的定义域是，且，即.，当变化时，、变化情况如下表：当时，在区间上的最大值是.当时，在区间上的最大值为.即（1）当时，.由（I）知，在上单调递增.又，存在唯一，使得，且当时，单调递减，当时，单调递增.当时，有最小值.（2）当时，在单调递增.又，当时，.在上单调递增.综合（1）（2）及试题分析式可知，有最小值，没有最大值.考点：（1）利用导数研究函数的单调性；（2）导数在最大
12、值、最小值的应用.【方法点睛】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查函数的单调性的运用和零点存在定理的运用，考查分类讨论的思想方法，属于中档题要证在递增，即证在上恒成立，等价于恒成立，令，利用与的关系，得到的单调性得其最小值；判断函数在闭区间内的最值，主要根据在该区间内的单调性，根据导函数的零点与区间端点的关系进行讨论.20.（本小题满分12分）已知命题抛物线的焦点在椭圆上命题直线经过抛物线的焦点，且直线过椭圆的左焦点，是真命题（I）求直线的方程；（II）直线与抛物线相交于、，直线、，分别切抛物线于，求的交点的坐标【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：（）通过将抛物线的焦点代入
13、椭圆得，进而椭圆的左焦点是，计算即得结论；（）不妨假定点在第二象限，通过联立直线与椭圆方程可知、点坐标，利用对抛物线方程求导可知斜率，进而计算可得结论（II）不妨假定点在第二象限，由方程组得，.由得，所以直线的斜率分别是、，的方程分别是，.解两个方程构成的方程组得.考点：直线与圆锥曲线的综合问题.21.（本小题满分14分）已知，其中均为实数（I）求的极值；（II）设，求证：对，恒成立（III）设，若对给定的，在区间上总存在使得成立，求的取值范围【答案】（I）极大值，无极小值；（II）证明见解析；（III）.【解析】试题分析：（I）求出函数的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，然后求解极值；
14、（II）通过，化简，利用函数的单调性，转化原不等式转化，构造函数，利用新函数的导数的单调性，证不等式成立；（III）由（1）得的最大值，求出函数的导数，判断，不满足题意；当时，要使得，的极值点必在区间内，求出的范围，当，利用在上的值域包含于在和上的值域，推出关系式，通过构造函数，通过导数求解函数的最值，然后推出.试题解析：（I），极大值，无极小值；设，则原不等式转化为，即.令，即证，即在，在恒成立，即在，即所证不等式成立.（III）由（I）得在，所以.又，当时，在，不符合题意.当时，要使得，那么由题意知的极值点必在区间内，即.得，且函数在，由题意得在上的值域包含于在和上的值域.内，.下面证时，
15、取，先证，即证.令，在内恒成立.，. 再证，. 考点：（1）利用导数研究函数的极值；（2）导数在最值中的应用.22.如图，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过且于轴垂直的直线与椭圆交于，与抛物线交于两点，且（I）求椭圆的标准方程；（II）设为椭圆上一点，若过点的直线与椭圆相交于不同两点和，且满足（为坐标原点），求实数的取值范围【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：（）由焦点，根据，所以，由此能求出椭圆方程；（）设过的直线为，与椭圆方程联立，得，设，由，得，由此结合题设条件能求出实数的取值范围（II）由题意，直线的斜率存在，设直线的方程为.由消去，得.设，则是方程的两根，所以，即，且，由，得.若，则点与原点重合，与题意不符，故.因为点在椭圆上，所以，.再由得，又，.考点：（1）椭圆的应用；（2）椭圆的简单性质.【方法点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用，综合性较强，计算量较大，属于难题；已知直线上一点讲直线设为点斜式，直线与椭圆相交，联立直线的方程和椭圆的方程构成方程组，运用韦达定理以及设而不求整体代换的思想，根据得到的范围，将向量关系转化为坐标，运用点在椭圆上代入椭圆方程，在该题中容易忽视. - 16 -
2017年西省赣州市寻乌中学高三上学期适应性考试（第二次月考）理数试题
