2017年湖南师大附中高三（上）月考（三）数学（理）试题（解析版）

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1、2017届湖南师大附中高三（上）月考（三）数学（理）试题一、选择题1已知集合，则（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：因,则,故应选C.【考点】不等式的解法与集合的运算.2将直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：因直线绕原点逆时针旋转后,其斜率,故直线方程为,再向右平移个单位可得,故应选A.【考点】直线的点斜式方程及直线的位置关系的运用.3已知命题：，；命题：，则下列命题为真命题的是（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：因命题是假命题,故是真命题,而命题是真命题,故是真命题,所以应选C.【考点】命题的真假与判

2、定.4某工厂生产某种产品的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）有如下几组样本数据：34562.5344.5据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：因,经检验直线经过点,故应选C.【考点】回归方程及运用.5已知，则的值为（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：因,故,则,故应选B.【考点】诱导公式及余弦二倍角公式的运用.6等比数列中，则数列的前8项和等于（ ）A6 B5 C4 D3【答案】C【解析】试题分析：因,故,故应选C.【考点】等比数列通项的性质及运用

3、.7已知，则的最小值为（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：因,故应选D.【考点】基本不等式的灵活运用.8已知与为单位向量，且，向量满足，则的范围为（ ）A BC D【答案】B【解析】试题分析：因,故,设,则将两边平方并整理可得,即,解之得,故应选B.【考点】向量的数量积公式及二次不等式的解法.9已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以，为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：设关于直线的对称点为,则,解之得,即,因是定值,故当最小时椭圆的离心率最大.由于（当且仅当共线时取等号）,即,则,故应选A.【考点】椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系

4、及运用.【易错点晴】本题是一道考查直线与椭圆的位置关系及最值等问题的综合性问题.解答时先建立方程组求关于直线的对称点为,然后通过运用转化化归的数学思想将问题转化为求“当最小时椭圆的离心率最大”的问题然后借助（当且仅当共线时取等号）求出,使得问题获解.10已知偶函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式中成立的是（ ）A BC D【答案】D【解析】试题分析：令,因,故由题设可得,即函数在上单调递增且是偶函数.又因,故,即,所以,故应选D.【考点】导数在研究函数的单调性方面的运用.【易错点晴】本题将导数的知识和函数的单调性及不等式的解法等知识有机地结合起来,综合考查学生的数学思想和数学

5、方法及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时,先将巧妙地构造函数,再运用求导法则求得,故由题设可得,即函数在上单调递增且是偶函数.再运用检验的方法逐一验证四个答案的真伪,从而使得问题获解.11定义，已知实数，满足，设，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：画出不等式组表示的区域如图,当时,即时,则,结合图形可知当动直线过点时, 取最大值；当动直线过点时, 取最小值.当时,即时,则,结合图形可知当动直线过点时, 取最大值；当动直线过点时, 取最小值,故的取值范围是,应选A.【考点】不等式组表示的区域及线性规划的知识及运用.【易错点晴】本题考查的是线性约束条件与数形结

6、合的数学思想的综合问题,解答时先构建平面直角坐标系,再分类画出满足题设条件的不等式组，表示的平面区域,然后再依据题设条件将目标函数变为和,进而结合图形根据其经过定点的情形分别求出其最大值和最小值,最终求其公共部分确定出的取值范围是,从而使得问题获解.12将圆的一组等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录（）个点的颜色，称为该圆的一个“阶色序”，当且仅当两个阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的阶色序若某国的任意两个“阶色序”均不相同，则称该圆为“阶魅力圆”“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为（ ）A4 B6 C8 D10【答案】C【解析】试题分析：因“阶色

7、序”中每个点的颜色有两种选择,故“阶色序”共有种,一方面,个点可以构成个“阶色序”,故“阶魅力圆”中的等分点的个数不多于个；另一方面,若,则必须包含全部共个“阶色序”,不妨从开始按逆时针确定其它各点颜色,显然符合条件.故“阶魅力圆”中最多可有个等分点,故应选C.【考点】定义的新信息的迁移及综合运用.二、填空题13如图，点的坐标为，点的坐标为，函数，若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 【答案】【解析】试题分析：因与轴的面积为,故阴影部分的面积为,而,故由几何概型的计算公式得,应填答案.【考点】定积分及几何概型的计算公式的运用14若，则 【答案】【解析】试题分析：令可得,令可得，以

8、上两式两边相减可得,即,故应填答案.【考点】赋值法及运用15对于数列，若对任意，都有成立，则称数列为“减差数列”设，若数列，（，）是“减差数列”，则实数的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：由题设可得,即,解之得,故应填答案.【考点】“减差数列”的定义及运用【易错点晴】本题新定义了一个新概念和信息“减差数列”,然后借助这个新概念精心设置了一道求参数的取值范围问题.求解时充分借助“减差数列”的定义与题设条件,巧妙建构不等式，然后通过解该不等式求得，从而使得问题简捷巧妙地获解.16如图，一块均匀的正三角形的钢板的质量为，在它的顶点处分别受力，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是，且要提起这

9、块钢板，均要大于，则的最小值为 【答案】【解析】试题分析：建立如图所示的空间直角坐标系,设,则,故,设,则,故,由于,因此在中运用余弦定理可得,解之得,故,应填答案.【考点】向量的几何运算及在实际生活中运用【易错点晴】本题考查的是空间向量的有关概念及在实际生活中的运用与计算问题,求解时充分借助题设中提供的有效信息,凭借几何体的几何特征,巧妙地将问题转化为空间向量的几何运算问题.求解时依据空间向量的有关知识和余弦定理先求出及模的大小,再运用余弦定理构设方程,然后通过解方程求出,进而求得,从而使得问题获解.三、解答题17在中，角，所对的边分别为，且，（1）求的值；（2）若，求的面积【答案】（1）；

10、（2）.【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用正弦定理求解；（2）借助题设运用余弦定理及三角形的面积公式求解.试题解析：（1）由正弦定理可得：，所以，（2）由余弦定理得，即，又，所以，解得或（舍去）所以【考点】正弦定理余弦定理及三角形的面积公式等知识的综合运用.18为了参加师大附中第30届田径运动会的开幕式，高三年级某6个班联合到集市购买了6根竹竿，作为班期的旗杆之用，它们的长度分别为3.8,4.3,3.6,4.5,4.0,4.1（单位：米）（1）若从中随机抽取两根竹竿，求长度之差不超过0.5米的概率；（2）若长度不小于4米的竹竿价格为每根10元，长度小于4米的竹竿价格为每根元从这6根竹竿中

11、随机抽取两根，若期望这两根竹竿的价格之和为18元，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用古典概型的计算公式求解；（2）借助题设运用数学期望的计算公式建立方程求解.试题解析：（1）因为6根竹竿的长度从小到大依次为3.6,3.8,4.0,4.1,4.3,4.5，其中长度之差超过0.5米的两根竹竿长可能是3.6和4.3,3.6和4.5,3.8和4.5，所以，故所求的概率为（2）设任取两根竹竿的价格之和为，则的可能取值为，20，其中，所以令，得【考点】古典概型的计算公式及数学期望公式的综合运用.19已知正三棱柱中，点为的中点，点在线段上（1）当时，求证：；（2）是否存在

12、点，使二面角等于？若存在，求的长；若不存在，请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）存在点，且.【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用线面垂直的性质定理推证；（2）借助题设运用空间向量的数量积公式建立方程求解.试题解析：（1）证明：连接，因为为正三棱柱，所以为正三角形，又因为为的中点，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，所以因为，所以，所以在中，在中，所以，即，又，所以平面，平面，所以（2）假设存在点满足条件，设，取的中点，连接，则平面，所以，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则即令，得，同理，平面的一个法向量为，则即取，得，所以，解得，故存在点，

13、当时，二面角等于【考点】线面垂直的性质定理及空间向量的数量积公式的综合运用.20如图，抛物线：与双曲线：（，）有公共焦点，点是曲线，在在第一象限的交点，且（1）求双曲线的方程；（2）以为圆心的圆与双曲线的一条渐进线相切，圆已知点，过点作互相垂直分别与圆、圆相交的直线和，设被圆解得的弦长为，被圆截得的弦长为试探索是否为定值？请说明理由【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用双曲线的定义求解；（2）借助题设运用直线与圆的位置关系探求.试题解析：（1）抛物线：的焦点为，双曲线的焦点为，设在抛物线：上，且，由抛物线的定义得，又点在双曲线上，由双曲线定义得，所以，双曲线的方程为：

14、（2）为定值.下面给出说明：设圆的方程为，双曲线的渐近线方程为圆与渐近线相切，圆的半径为，故圆：依题意、的斜率存在且均不为零，所以设的方程为，即，设的方程为，即，点到直线的距离，点到直线的距离，直线被圆截得的弦长，直线被圆截得的弦长，故为定值【考点】双曲线的标准方程及直线与圆的位置关系等知识的综合运用.【易错点晴】本题是一道考查直线与双曲线的位置关系的综合性问题.解答本题的第一问时,直接依据题设条件和抛物线的定义和双曲线的定义分析推证,最终求出双曲线的标准方程为；第二问的求解过程中,先设的方程为，然后再借助其与双曲线的渐近线方程为的位置关系圆与渐近线相切，求出圆的半径为,进而求得的值,从而使得

15、问题获解.21设函数（，）的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数若函数满足下列条件：；对一切实数，不等式恒成立（1）求函数的表达式；（2）设函数（）的两个极值点，（）恰为的零点当时，求的最小值【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用导数及二次函数的有关知识求解；（2）借助题设构设函数运用导数的有关知识探求.试题解析：（1）由已知可得，函数为偶函数，即恒成立，所以又，又对一切实数，不等式恒成立，恒成立，（2）由（1）得，（），由题意得又，解得，（）为的零点，两式相减得，又，从而，设（），则（）记为，在上单调递减，故的最小值为【考点】二次函数导数的有关知识的综合运用.【

16、易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问求解时借助二次函数的判别式及函数的奇偶性等知识建立方程和不等式获解；第二问则借助题设条件构造函数,再运用导数等知识进行分析推证,从而使得问题获解.22选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为（1）将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）在同一坐标系下，曲线，是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由【答案】（1），；（2

17、）.【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用极坐标与直角坐标的关系及参数方程与直角坐标方程的互化求解；（2）借助题设运用圆与圆的位置关系求解.试题解析：（1）由（为参数）得，曲线的普通方程为，有，即为所求曲线的直角坐标方程（2）圆的圆心坐标，圆的圆心坐标为，所以两圆相交设相交弦长为，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段，即所求公共弦的长为【考点】极坐标与直角坐标之间的关系和参数方程与直角坐标之间的互化关系的综合运用.23选修4-5：不等式选讲设对于任意实数，不等式恒成立（1）求实数的取值范围；（2）当取最大值时，解关于的不等式：【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用绝对值不等式的几何意义求解；（2）借助题设运用分类整合思想建立不等式组求解.试题解析：（1）可以看做数轴上的点到点和点的距离之和，（2）由（1）得的最大值为8，原不等式等价于，有或从而或，原不等式的解集为【考点】绝对值不等式的几何意义与分类整合思想的综合运用.