2017年河南省三门峡市灵宝一中高三上学期第一次月清数学试卷（理科）（解析版）

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1、2016-2017学年河南省三门峡市灵宝一中高三（上）第一次月清数学试卷（理科）一、选择题（本题12小题，每小题5分，共60分每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中）1若集合A=x|x|1，xR，B=y|y=2x2，xR，则（RA）B=（）Ax|1x1Bx|x0Cx|0x1D2若=1bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a+bi|=（）ABCD13不等式ln2x+lnx0的解集是 （）A（e1，1）B（1，e）C（0，1）D（0，e1）4方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是（）A0a1Ba1Ca1D0a1或a05设点P是ABC内一点（不包括边界），且=m+

2、n（m、nR），则m2+（n2）2的取值范围是（）A（1，）B（1，5）C（，5）D（，）6由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为（）AB2ln3C4+ln3D4ln37在ABC中，已知（sinBcosB）（sinCcosC）=4cosBcosC，且AB+AC=4，则BC长度的取值范围为（）A（0，2B2，4）C2，+）D（2，+）8已知f（x）是R上的偶函数，若将f（x）的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，若f（2）=1，则f（1）+f（2）+f（3）+fA0B1C1D1004.59点M（a，b）在函数的图象上，点N与点M关于y轴对称且在直线xy+3=0上，

3、则函数f（x）=abx2+（a+b）x1在区间2，2）上（）A既没有最大值也没有最小值B最小值为3，无最大值C最小值为3，最大值为9D最小值为，无最大值10给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（）A1B2C3D411设a+b=2，b0，当+取得最小值时，a的值为（）A3B2C1D112已知函数f（x）=sinxcosx+3，若f（lga）=4，则f（lg）的值等于（）A1B2C3D4二、填空题（本题4小题，每小题5分，共20分）13如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积14已知函数f（x）=|x|1，关于x的方程f2（x

4、）|f（x）|+k=0，若方程恰有8个不同的实根，则实数k的取值范围是15设f（x）=x3+x（xR）当时f（msin）+f（1m）0恒成立，则m的取值范围是16设点P（x，y）满足：，则的取值范围是三解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的答题区域内.）17已知等差数列an满足a3=7，a5+a7=26，数列an的前n项和Sn（）求an及Sn；（）令bn=（nN*），求数列bn的前n项和Tn18设数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=2Sn+n+1（nN*），（）求数列an的通项公式；（）若bn=，数列bn的前项和为Tn，nN*

5、证明：Tn219如图所示，一科学考察船从港口O出发，沿北偏东角的射线OZ方向航行，而在离港口a（a为正常数）海里的北偏东角的A处有一个供给科考船物资的小岛，其中tan=，cos=现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O正东m（ma）海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科考船，该船沿BA方向全速追赶科考船，并在C处相遇经测算当两船运行的航向与海岸线OB围成的三角形OBC的面积最小时，这种补给最适宜（1）求S关于m的函数关系式S（m）；（2）应征调m为何值处的船只，补给最适宜20已知向量=（sinA，cosA），=（cosB，sinB），=sin2C且A、B、C分别为ABC的三边a，b，c所对的角

6、（1）求角C的大小；（2）若sinA，sinC，sinB成等比数列，且=18，求c的值21已知函数f（x）=exln（x+m）1在x=0处取得极值（）求函数f（x）的最小值；（）已知ab0，证明：eab1ln22已知函数f（x）=（1）求f（x）在1，e（e为自然对数的底数）上的最大值；（2）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？2016-2017学年河南省三门峡市灵宝一中高三（上）第一次月清数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题12小题，每小题5分，共60分每小题只有一个选项符合题意，请将正

7、确答案填入答题卷中）1若集合A=x|x|1，xR，B=y|y=2x2，xR，则（RA）B=（）Ax|1x1Bx|x0Cx|0x1D【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出集合A，B，然后求解集合的补集以及交集即可【解答】解：集合A=x|x|1，xR=x|x1或x1，RA=x|1x1B=y|y=2x2，xR=y|y0，则（RA）B=x|0x1故选：C2若=1bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a+bi|=（）ABCD1【考点】复数求模；复数代数形式的乘除运算【分析】首先进行复数的乘法运算，根据多项式乘以单项式的法则进行运算，然后两个复数进行比较，根据两个复数相等的充要条件，得到要求的b

8、的值【解答】解：a=2，b=1故选A3不等式ln2x+lnx0的解集是 （）A（e1，1）B（1，e）C（0，1）D（0，e1）【考点】其他不等式的解法；指、对数不等式的解法【分析】令lnx=t，则t2+t0，再由二次不等式的解法和对数函数的单调性，即可得到解集【解答】解：令lnx=t，则t2+t0，则1t0，即1lnx0，解得x1则解集为（e1，1）故选A4方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是（）A0a1Ba1Ca1D0a1或a0【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系【分析】首先，对二次项系数分为0和不为0两种情况讨论，然后在二次项系数不为0时，分两根一正一负和两根均为

9、负值两种情况，最后将两种情况综合在一起找到a所满足的条件a1，再利用上述过程可逆，就可以下结论充要条件是a1【解答】解：a0时，显然方程没有等于零的根若方程有两异号实根，则由两根之积小于0可得 a0；若方程有两个负的实根，则必有，故 0a1若a=0时，可得x=也适合题意综上知，若方程至少有一个负实根，则a1反之，若a1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一负的实根的充要条件是a1故选 C5设点P是ABC内一点（不包括边界），且=m+n（m、nR），则m2+（n2）2的取值范围是（）A（1，）B（1，5）C（，5）D（，）【考点】双曲线的简单性质【分析】根据题

10、意可得m、n满足的不等式组，在mon坐标系内作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划，结合两点间的距离是即可得到结论【解答】解：点P在ABC内部， =m+n，在直角坐标系mon内，m2+（n2）2表示平面区域内的点（m，n）到点（0，2）的距离的平方数形结合知（0，2）到（0，1）的距离最小，到（1，0）的距离最大最小距离为1，最大距离为=m2+（n2）2的取值范围是 （1，5），故选B6由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为（）AB2ln3C4+ln3D4ln3【考点】定积分在求面积中的应用【分析】由题意利用定积分的几何意义知，欲求由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成

11、的平面图形的面积曲边梯形ABD的面积与直角三角形BCD的面积，再计算定积分即可求得【解答】解：根据利用定积分的几何意义，得：由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积：S=（3）dx+=（3xlnx）+2=3ln31+2=4ln3故选D7在ABC中，已知（sinBcosB）（sinCcosC）=4cosBcosC，且AB+AC=4，则BC长度的取值范围为（）A（0，2B2，4）C2，+）D（2，+）【考点】余弦定理【分析】先根据已知条件结合两角和与差的计算公式整理得到B+C=，A=，再集合余弦定理以及二次函数的最值和三角形三边关系即可得到结论【解答】解：由已知：（sinBcosB

12、）（sinCcosC）=4cosBcosC，可得：（sinBcosC+cosBsinC）=3（cosBcosCsinBsinC），sin（B+C）=3cos（B+C）tan（B+C）=；因为：0B+C；所以：B+C=，A=，由：AB+AC=4，得：AB=4AC，故：BC2=AB2+AC22ACABcosA=（4AC）2+AC2（4AC）AC=3（AC2）2+44；当且仅当AC=2时上式取等号，所以：BC2，又因为：BCAC+AB=4，则BC的取值范围是：2，4）故选：B8已知f（x）是R上的偶函数，若将f（x）的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，若f（2）=1，则f（1）+f（2

13、）+f（3）+fA0B1C1D1004.5【考点】偶函数；奇函数；函数的值【分析】法一：由题意f（x）是R上的偶函数，f（x1）是R上的奇函数，由此可以得出函数的周期为4，再由f（2）=1求出f（2）=1，由奇函数的性质得出f（1）=0，从而可得f（1）=0，求出一个周期上的四个函数的和，即可求出f（1）+f（2）+f（3）+f是R上的偶函数，f（x1）是R上的奇函数，f（x）=f（x），f（x1）=f（x1），f（x1）=f（x+1），由得f（x+1）=f（x1）恒成立，f（x1）=f（x3）由得f（x+1）=f（x3）恒成立，函数的周期是4，下研究函数一个周期上的函数的值由于f（x）的图象

14、向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象即f（01）=0，即f（1）=0，由偶函数知f（1）=0，由周期性知f（3）=0由f（2）=1得f（2）=1，由f（x+1）=f（x1），知f（0）=1，故f（4）=1故有f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0f（1）+f（2）+f（3）+f=f（1）=0 故选A9点M（a，b）在函数的图象上，点N与点M关于y轴对称且在直线xy+3=0上，则函数f（x）=abx2+（a+b）x1在区间2，2）上（）A既没有最大值也没有最小值B最小值为3，无最大值C最小值为3，最大值为9D最小值为，无最大值【考点】函数的最值及其几何意义【分析】本题应先根据对称性建立

15、关于a，b的方程，解出a，b的值，代入函数的表达式，利用函数的表达式研究函数在区间2，2）上的单调性，用单调性判断出函数在区间上的最大值与最小值【解答】解：点M（a，b）在函数的图象上，故有b=点N与点M关于y轴对称，故点N（a，b），又点N在直线xy+3=0上，故ab+3=0 由得ab=1，a+b=3函数f（x）=x2+3x1其对称轴为x=2，2）故函数f（x）在2，2）上的最大值为不存在，最小值为f（）=故应选 D10给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（）A1B2C3D4【考点】选择结构【分析】由已知的流程图，我们易得这是一个计算并输出分段函数

16、函数值的程序，我们根据条件，分x2，2x5，x5三种情况分别讨论，满足输入的x值与输出的y值相等的情况，即可得到答案【解答】解：当x2时，由x2=x得：x=0，1满足条件；当2x5时，由2x3=x得：x=3，满足条件；当x5时，由=x得：x=1，不满足条件，故这样的x值有3个故选C11设a+b=2，b0，当+取得最小值时，a的值为（）A3B2C1D1【考点】基本不等式【分析】由题意：a+b=2，b0，转化为：，分a0和a0讨论，那么： +=，利用基本不等式的性质求解【解答】解：由题意：a+b=2，b0，转化为：，当a0时，那么： +=当且仅当a=，b=时取等号当a0时，那么： +=当且仅当a=

17、2，b=4时取等号故选：B12已知函数f（x）=sinxcosx+3，若f（lga）=4，则f（lg）的值等于（）A1B2C3D4【考点】函数的值【分析】知道lg=lga，f（x）+f（x）=6即可得出答案【解答】解：lg=lga，而f（x）+f（x）=sinxcosx+3=sinxcosx+3sinxcosx+3=6，4+f（lg）=6，f（lg）=2故选：B二、填空题（本题4小题，每小题5分，共20分）13如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积2【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个对角线长为2的正方形，四棱锥的一条侧棱和底

18、面垂直，且四棱锥的顶点距离最远的底面的顶点长是，做出垂直的棱长和底面面积，求出体积【解答】解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个对角线长为2的正方形，四棱锥的一条侧棱和底面垂直，且四棱锥的顶点距离最远的底面的顶点长是，与底面垂直的棱长是=3，四棱锥底面的面积是四棱锥的体积是故答案为：214已知函数f（x）=|x|1，关于x的方程f2（x）|f（x）|+k=0，若方程恰有8个不同的实根，则实数k的取值范围是（0，）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】关于x的方程f2（x）|f（x）|+k=0恰有8个不同的实根，即函数g（x）=f2（x）+|f（x）|图象与直线y=k有8个交点

19、，画出图象可得【解答】解：关于x的方程（|x|1）2|x|1|+k=0可化为（x1）2（x1）+k=0（x1）（1）或（x1）2（1x）+k=0（0x1）（2）或（x+1）2+（x+1）+k=0（1x0）（3）或（x+1）2（x+1）+k=0（x1）函数g（x）=f2（x）+|f（x）|图象，如图所示，由图象知实数k的取值范围为（0，），故答案为（0，）15设f（x）=x3+x（xR）当时f（msin）+f（1m）0恒成立，则m的取值范围是m1【考点】函数恒成立问题【分析】根据函数的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，利用不等式恒成立即可得到结论【解答】解：f（x）是奇函数且为增函数，由f（ms

20、in）+f（1m）0得f（msin）f（1m）=f（m1），则msinm1，当=0时，不等式等价为0m1，此时m1，当0时，sin0，此时不等式等价为m，1，m1，故答案为：m116设点P（x，y）满足：，则的取值范围是【考点】简单线性规划的应用【分析】由线性约束条件画出可行域，然后求出的取值范围，然后令 =t，t，2，而 =t在，2上单调递增，从而求出的取值范围【解答】解：根据线性约束条件画出可行域，得在直线x+y=3与直线y=x+1的交点C（1，2）处，取最大值为2在点B（2，1）处取最小值为 的取值范围为，2令 =t，t，2则 =t在，2上单调递增的取值范围 故答案为：三解答题（本大题共

21、6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的答题区域内.）17已知等差数列an满足a3=7，a5+a7=26，数列an的前n项和Sn（）求an及Sn；（）令bn=（nN*），求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和【分析】（I）设等差数列an的公差为d，由a3=7，a5+a7=26，可得，解出利用等差数列的前n项和公式即可得出；（）bn=，利用“裂项求和”即可得出【解答】解：（I）设等差数列an的公差为d，a3=7，a5+a7=26，解得a1=3，d=2an=3+2（n1）=2n+1数列an的前n项和Sn=n2+2n（）

22、bn=，数列bn的前n项和Tn=+=18设数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=2Sn+n+1（nN*），（）求数列an的通项公式；（）若bn=，数列bn的前项和为Tn，nN*证明：Tn2【考点】数列递推式；数列的求和；数列与不等式的综合【分析】（）由，得当n2时，Sn=2Sn1+n，两式相减得，an+1=2an+1，构造等比数列an+1并求其通项公式，再求出数列an的通项公式（）bn=，利用错位相消法求和【解答】解：（）当n2时，Sn=2Sn1+n，两式相减得，an+1=2an+1，两边加上1得出an+1+1=2（an+1），又S2=2S1+1，a1=S1=1，a2=3，a2+1

23、=2（a1+1）所以数列an+1是公比为2的等比数列，首项a1+1=2，数列an+1的通项公式为an+1=22n1=2n，an=2n1 （）an=2n1，bn=Tn=Tn=两式相减得Tn=Tn=2（）=2219如图所示，一科学考察船从港口O出发，沿北偏东角的射线OZ方向航行，而在离港口a（a为正常数）海里的北偏东角的A处有一个供给科考船物资的小岛，其中tan=，cos=现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O正东m（ma）海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科考船，该船沿BA方向全速追赶科考船，并在C处相遇经测算当两船运行的航向与海岸线OB围成的三角形OBC的面积最小时，这种补给最适宜（1）求

24、S关于m的函数关系式S（m）；（2）应征调m为何值处的船只，补给最适宜【考点】基本不等式在最值问题中的应用；在实际问题中建立三角函数模型【分析】先以O为原点，正北方向为轴建立直角坐标系（1）先求出直线OZ的方程，然后根据的正余弦值和OA的距离求出A的坐标，进而可以得到直线AB的方程，然后再与直线OZ的方程联立求出C点的坐标，根据三角形的面积公式可得到答案（2）根据（1）中S（m）的关系式，进行变形整理，然后利用基本不等式求出最小值【解答】解：以O为原点，正北方向为轴建立直角坐标系，直线OZ的方程为y=3x，（1）设A（x0，y0），cos=，sin=，则x0=asin=3a，y0=acos=2

25、a，A（3a，2a）又B（m，0），则直线AB的方程为y= （xm） 由、解得，C（，），S（m）=SOBC=|OB|yc|=m=（ma）（2）S（m）=a（ma）+a当且仅当ma=，即m=时，等号成立，故当m=海里时，补给最适宜20已知向量=（sinA，cosA），=（cosB，sinB），=sin2C且A、B、C分别为ABC的三边a，b，c所对的角（1）求角C的大小；（2）若sinA，sinC，sinB成等比数列，且=18，求c的值【考点】平面向量数量积的运算；等比数列的通项公式；正弦定理【分析】（1）由=sin2C，结合向量的数量积的坐标表示及两角和的正弦公式可求cosC，进而可求C（2

26、）由已知可得，sin2C=sinAsinB，结合正弦定理可得c2=ab，再由向量的数量积的定义可求ab，进而可求c【解答】解：（1）=sin2CsinAcosB+sinBcosA=sin2Csin（A+B）=sinC=sin2C=2sinCcosCsinC0cosC=C（0，）（2）sinA，sinB，sinB成等比数列，sin2C=sinAsinB由正弦定理可得c2=ab=18，=18，ab=36c2=36，c=621已知函数f（x）=exln（x+m）1在x=0处取得极值（）求函数f（x）的最小值；（）已知ab0，证明：eab1ln【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数在某点取得极

27、值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）求导函数，根据函数f（x）=exln（x+m）1在x=0处取得极值，可得f（x）=0，从而可求m=1，进而可确定函数的单调性，从而可求函数f（x）的最小值；（）构造函数G（x）=exb1ln，G（x）=exb，可得当xb0时，G（x）0，所以G（x）单调递增，根据 G（b）=1=，即可证得结论【解答】证明：（）求导函数，因为函数f（x）=exln（x+m）1在x=0处取得极值，所以f（x）=0，m=1所以，函数的定义域为（1，+） 1x0时，f（x）0；x0时，f（x）0；x=0是函数的极小值点，也是最小值点 函数f（x）的最小值为f（0）=0

28、（）构造函数G（x）=exb1ln，G（x）=exb当xb0时，G（x）0，所以G（x）单调递增又因为 G（b）=1=0ba，G（a）G（b）0eab1ln0即 22已知函数f（x）=（1）求f（x）在1，e（e为自然对数的底数）上的最大值；（2）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？【考点】函数与方程的综合运用；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（I）由知，当1x1时，令f（x）=0得，当x变化时，f（x），f（x）的变化情况列表知f（x）在1，1）上的最大值为2当1x2时，f（x）=alnx当a0时

29、，f（x）0，f（x）最大值为0；当a0时，f（x）在1，e上单调递增当a2时，f（x）在区间1，e上的最大值为2；当a2时，f（x）在区间1，e上的最大值为a（II）假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧设P（t，f（t）（t0），则Q（t，t3+t2），显然t1由此入手能得到对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上存在两点P、Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上【解答】解：（）因为f（x）=1当1x1时，f（x）=x（3x2），解f（x）0得0x：解f（x）0得1x0或x1f（x）在（1，0）和（，1）上单减，在（0，）

30、上单增，从而f（x）在x=处取得极大值f）=又f（1）=2，f（1）=0，f（x）在1，1）上的最大值为2当1xe时，f（x）=alnx，当a0时，f（x）0；当a0时，f（x）在1，e单调递增；f（x）在1，e上的最大值为a当a2时，f（x）在1，e上的最大值为a；当a2时，f（x）在1，e上的最大值为2（）假设曲线y=f（x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧，不妨设P（t，f（t）（t0），则Q（t，t3+t2），且t1POQ是以O为直角顶点的直角三角形=0，即t2+f（t）（t3+t2）=0（*）是否存在P，Q等价于方程（*）是否有解若0t1，则f（x）=t3+t2，代入方程（*）得：t2+（t3+t2）（t3+t2）=0，即：t4t2+1=0，而此方程无实数解，当t1时，f（t）=alnt，代入方程（*）得：t2+alnt（t3+t2）=0，即：设h（x）=（x+1）lnx（x1），则h（x）=lnx+10在1，+）恒成立h（x）在1，+）上单调递增，从而h（x）h（1）=0，则h（x）的值域为0，+）当a0时，方=（t+1）lnt有解，即方程（*）有解对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上总存在两点P，Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上2016年11月6日