2017年山东省泰安市新泰一中北校高三（上）第二次月考数学试卷（文科）

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1、2017届山东省泰安市新泰一中北校高三（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1幂函数f（x）=kx的图象过点，则k+=（）AB1CD22以下给出的函数中，以为周期的偶函数是（）Ay=cos2xsin2xBy=tanxCy=sinxcosxD3已知|=1，|=6，（）=2，则向量与向量的夹角是（）ABCD4函数y=（x1）的最小值是（）A2+2B22C2D25已知正项等比数列an满足：a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得=4a1，则+的最小值为（）ABCD不存在6设aR，则“a=1”是“直

2、线l1：ax+2y1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7在圆x2+y22x6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）ABCD8点P（4，2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A（x2）2+（y+1）2=1B（x2）2+（y+1）2=4C（x+4）2+（y2）2=1D（x+2）2+（y1）2=19四棱锥PABCD的底面ABCD为正方形，且PD垂直于底面ABCD，N为PB中点，则三棱锥PANC与四棱锥PABCD的体积比为（）A1：2B1：3C1：4D

3、1：810椭圆（ab0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（）ABCD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.11与直线3x4y+5=0关于x轴对称的直线方程为12长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为13某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是14已知F1、F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF1|=2|PF2|，PF1F2=30，则椭圆的离心率15如果三角形三个顶点分别是

4、O（0，0），A（0，6），B（8，0），则它的内切圆方程为三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2sin2x（0）的最小正周期是（）求函数f（x）的单调递增区间；（）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）的解析式及其在0，上的值域17（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BD、BB1的中点（）求证：EF平面A1B1CD；（）求证：EFAD118（12分）已知数列an中，a1=1，an+1=（nN*）（）求证

5、：+是等比数列，并求an的通项公式an；（）设bn=（3n1）an，记其前n项和为Tn，若不等式2n12n1Tn+n对一切nN*恒成立对一切nN*恒成立，求的取值范围19（12分）已知圆M过C（1，1），D（1，1）两点，且圆心M在x+y2=0上（）求圆M的方程；（）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值20（13分）如图，F1、F2分别是椭圆C：（ab0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，F1AF2=60（）求椭圆C的离心率；（）已知AF1B的面积为40，求a，b 的值21（14分）已知函

6、数f（x）=x3ax23x（1）若f（x）在区间1，+）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=是f（x）的一个极值点，求f（x）在1，a上的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由2017届山东省泰安市新泰一中北校高三（上）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1幂函数f（x）=kx的图象过点，则k+=（）AB1CD2【分析】由函数f（x）=kx是幂函数，根

7、据幂函数的定义可知，其系数k=1，再将点的坐标代入可得值，从而得到幂函数的解析式【解答】解：函数f（x）=kx是幂函数，k=1，幂函数f（x）=x的图象过点，（）=，得=，则k+=1+=故选C【点评】本题考查幂函数的性质及其应用，解题时要认真审题，注意熟练掌握基本概念2（2012大埔县校级一模）以下给出的函数中，以为周期的偶函数是（）Ay=cos2xsin2xBy=tanxCy=sinxcosxD【分析】利用二倍角公式将y=cos2xsin2x化简后发现A符合题意；y=tanx为奇函数，排除B；利用二倍角公式将y=sinxcosx化简后发现其为奇函数，排除C；而的最小正周期为4，排除D【解答】

8、解：y=cos2xsin2x=cos2x，其周期为=，由cos（2x）=cos2x知其为偶函数，A符合题意；y=tanx为奇函数，排除B；y=sinxcosx=sin2x为奇函数，排除C；的最小正周期为=4，排除D故选A【点评】本题主要考查了三角函数的图象和性质，函数奇偶性的定义及其判断方法，三角变换公式的运用等基础知识3（2009重庆）已知|=1，|=6，（）=2，则向量与向量的夹角是（）ABCD【分析】利用向量的运算法则及向量模的平方即是向量的平方求出，再利用向量的数量积公式求出向量的夹角余弦，求出向量夹角【解答】解：=2又，=3即cosa，b=3=16cosa，b，得cosa，b=，a与

9、b的夹角为，故选项为C【点评】本题考查向量的运算律；向量模的性质；利用向量的数量积公式求向量的夹角4（2012春黄冈期末）函数y=（x1）的最小值是（）A2+2B22C2D2【分析】先将函数变形可得y=（x1）+2，再利用基本不等式可得结论【解答】解：y=（x1）+2x1，x10（x1）+2（当且仅当x=+1时，取等号）y=2+2故选A【点评】本题考查函数的最值，考查基本不等式的运用，属于中档题5（2015秋菏泽期末）已知正项等比数列an满足：a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得=4a1，则+的最小值为（）ABCD不存在【分析】an为等比数列，可设首项为a1，公比为q，从而由a7=a6

10、+2a5可以得出公比q=2，而由可以得出m+n=6，从而得到，从而便得到，这样可以看出，根据基本不等式即可得出的最小值【解答】解：设数列an的首项为a1，公比为q，则由a7=a6+2a5得：；q2q2=0；an0；解得q=2；由得：；2m+n2=24；m+n2=4，m+n=6；=，即n=2m时取“=”；的最小值为故选：A【点评】考查等比数列的通项公式，基本不等式用于求最小值，应用a+b求最小值时，需满足ab为定值6（2012浙江）设aR，则“a=1”是“直线l1：ax+2y1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件

11、【分析】运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可【解答】解：当a=1时，直线l1：x+2y1=0与直线l2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，当两条直线平行时，得到，解得a=2，a=1，后者不能推出前者，前者是后者的充分不必要条件故选A【点评】本题考查必要条件充分条件和充要条件的问题，考查两条直线平行时要满足的条件，本题解题的关键是根据两条直线平行列出关系式，不要漏掉截距不等的条件，本题是一个基础题7（2011重庆）在圆x2+y22x6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和

12、BD，则四边形ABCD的面积为（）ABCD【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD的中点，在直角三角形BME中，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，然后利用AC与BD的乘积的一半即可求出四边形ABCD的面积【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x1）2+（y3）2=10，则圆心坐标为（1，3），半径为，根据题意画出图象，如图所示：由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=2，MB=，ME=，所以BD

13、=2BE=2=2，又ACBD，所以四边形ABCD的面积S=ACBD=22=10故选B【点评】此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题学生做题时注意对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半8（2009上海）点P（4，2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A（x2）2+（y+1）2=1B（x2）2+（y+1）2=4C（x+4）2+（y2）2=1D（x+2）2+（y1）2=1【分析】设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程【解答】解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4

14、得（2x4）2+（2y+2）2=4，化简得（x2）2+（y+1）2=1故选A【点评】本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用9（2011长春二模）四棱锥PABCD的底面ABCD为正方形，且PD垂直于底面ABCD，N为PB中点，则三棱锥PANC与四棱锥PABCD的体积比为（）A1：2B1：3C1：4D1：8【分析】由题意通过转化求出两部分几何体的高的比，底面面积的比，即可求出三棱锥PANC与四棱锥PABCD的体积比【解答】解：N为PB中点，VPANC=VBANC，VPANC=VNABC，面积之比为 1：2，高之比为1：2，VNABC：VPABCD=1：4故选C【点评】本题是基础

15、题，考查几何体的体积，计算能力，注意转化思想的应用是本题的关键10（2012江西）椭圆（ab0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（）ABCD【分析】由题意可得，|AF1|=ac，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，由|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列可得到e2=，从而得到答案【解答】解：设该椭圆的半焦距为c，由题意可得，|AF1|=ac，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，（2c）2=（ac）（a+c），=，即e2=，e=，即此椭圆的离心率

16、为故选B【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查等比数列的性质，用a，c分别表示出|AF1|，|F1F2|，|F1B|是关键，属于基础题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.11（2011荔湾区校级模拟）与直线3x4y+5=0关于x轴对称的直线方程为3x+4y+5=0【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于x轴的对称点坐标，代入已知直线方程，即可【解答】解：设所求对称直线的点的坐标（x，y），关于x轴的对称点的坐标（x，y）在已知的直线上，所以所求对称直线方程为：3x+4y+5=0故答案为：3x+4y+5=0【点评】本题是基础题，考查直线关于直线的对称直

17、线方程的求法，考查计算能力，常考题型，注意特殊直线为对称轴的情况，化简解题过程12（2014春醴陵市校级期末）长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为【分析】先建立适当的空间直角坐标系，规定棱长，再求出BC1与AE直线所在的向量坐标，然后根据向量的夹角公式求出夹角的余弦值即可【解答】解：建立坐标系如图，则A（1，0，0），E（0，2，1），B（1，2，0），C1（0，2，2），=（1，0，2），=（1，2，1），cos=故答案为【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，以及空间向量，考查空间想象能力、运算能力和推理论证

18、能力，属于基础题13（2014秋抚顺期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是92【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角梯形的四棱柱，根据图中数据求出它的表面积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，且直四棱柱的高为4，底面直角梯形的上底边长为2，下底边长为5，高为4；所以该四棱柱的表面积为S=2（2+5）4+（2+4+5+）4=92故答案为：92【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的形状特征，是基础题目14（2015秋新泰市校级月考）已知F1、F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足|P

19、F1|=2|PF2|，PF1F2=30，则椭圆的离心率【分析】由已知结合椭圆定义求得|PF1|=，|PF2|=，又PF1F2=30，在F1PF2中，由余弦定理列式求得椭圆的离心率【解答】解：|PF1|+|PF2|=2a，且|PF1|=2|PF2|，|PF1|=，|PF2|=，又PF1F2=30，在F1PF2中，由余弦定理可得：，整理得：，即解得：（舍），或故答案为：【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆定义及余弦定理的应用，是中档题15（2015秋新泰市校级月考）如果三角形三个顶点分别是O（0，0），A（0，6），B（8，0），则它的内切圆方程为（x+2）2+（y2）2=4【分析】利用截距式

20、求得AB的方程为6x8y+48=0设内切圆的圆心为（a，a），且8a0，则半径为|a|=，求得a的值，可得圆心和半径，从而求得它的内切圆方程【解答】解：利用截距式求得AB的方程为+=1，即6x8y+48=0设内切圆的圆心为（a，a），且8a0，则半径为|a|=，解得a=2，故圆心为（2，2），半径为2，故它的内切圆方程是（x+2）2+（y2）2=4，故答案为：（x+2）2+（y2）2=4【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，求圆的标准方程，求出圆心和半径，是解题的关键，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）（2015淄博模

21、拟）已知函数f（x）=2sinxcosx+2sin2x（0）的最小正周期是（）求函数f（x）的单调递增区间；（）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）的解析式及其在0，上的值域【分析】（）利用二倍角三角函数公式和辅助角公式化简，化简函数的解析式，再由三角函数的周期公式求出，求出函数的解析式，利用正弦函数的单调区间公式，即可得到单调递增区间；（II）根据函数图象平移的公式，得出函数g（x）的解析式，求出函数的相位的范围，利用正弦函数的值域求解即可【解答】解：（）由题意，得函数f（x）=2sinxcosx+2sin2x=sin2xcos2

22、x=2sin（2x），函数f（x）0的最小正周期是，=1f（x）=2sin（2x）由+2k2x+2k，kZ，解得，kZ函数f（x）的单调递增区间：，kZ（II）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）=2sin（2x+）+1x0，2x+，当2x+=时，即x=时，函数取得最大值：3当2x+=时，即x=时，函数取得最小值：1y=g（x）在0，上的值域为1，3【点评】本题考查两角和与差的三角函数，辅助角公式的应用，三角函数的单调区间以及三角函数的最值的求法，考查计算能力17（12分）（2012淄博一模）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别

23、是BD、BB1的中点（）求证：EF平面A1B1CD；（）求证：EFAD1【分析】（I）连接B1D，利用E、F分别是BD、BB1的中点，可得EFB1D，从而可得EF平面A1B1CD；（II）证明A1B1AD1，A1DAD1，可得AD1平面A1B1CD，从而可得EFAD1【解答】证明：（I）连接B1DE、F分别是BD、BB1的中点，EFB1DB1D平面A1B1CD，EF平面A1B1CDEF平面A1B1CD；（II）A1B1平面ADD1A1，A1D平面ADD1A1，A1B1AD1，A1DAD1，A1B1A1D=A1，AD1平面A1B1CDEF平面A1B1CDEFAD1【点评】本题考查线面平行，考查线

24、线垂直，解题的关键是掌握线面平行、线面垂直的判定方法，属于中档题18（12分）（2015淄博模拟）已知数列an中，a1=1，an+1=（nN*）（）求证：+是等比数列，并求an的通项公式an；（）设bn=（3n1）an，记其前n项和为Tn，若不等式2n12n1Tn+n对一切nN*恒成立对一切nN*恒成立，求的取值范围【分析】（）由已知得=3（），由此能证明+是以为首项，3为公比的等比数列，从而得到an=（）由bn=（3n1）an=，利用错位相减法能求出Tn=4，由此能求出不等式2n12n1Tn+n对一切nN*恒成立的的取值范围【解答】（）证明：数列an中，a1=1，an+1=（nN*），=3（

25、），又+，+是以为首项，3为公比的等比数列，+=，an=（）解：bn=（3n1）an=，Tn=，=，得=2，Tn=4，不等式2n12n1Tn+n对一切nN*恒成立，对一切nN*恒成立，对一切nN*恒成立，设g（n）=4，则g（n）是递增函数，g（1）=22【点评】本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用19（12分）（2016南安市校级模拟）已知圆M过C（1，1），D（1，1）两点，且圆心M在x+y2=0上（）求圆M的方程；（）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积

26、的最小值【分析】（1）设出圆的标准方程，利用圆M过两点C（1，1）、D（1，1）且圆心M在直线x+y2=0上，建立方程组，即可求圆M的方程；（2）四边形PAMB的面积为S=2，因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，利用点到直线的距离公式，即可求得结论【解答】解：（1）设圆M的方程为：（xa）2+（yb）2=r2（r0），根据题意得，解得：a=b=1，r=2，故所求圆M的方程为：（x1）2+（y1）2=4；（2）由题知，四边形PAMB的面积为S=SPAM+SPBM=（|AM|PA|+|BM|PB|）又|AM|=|BM|=2，|P

27、A|=|PB|，所以S=2|PA|，而|PA|2=|PM|2|AM|2=|PM|24，即S=2因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min=3，所以四边形PAMB面积的最小值为2=2【点评】本题考查圆的标准方程，考查四边形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20（13分）（2012安徽）如图，F1、F2分别是椭圆C：（ab0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，F1AF2=60（）求椭圆C的离心率；（）已知AF1B的面积为40，求a，b 的值【分析】（）直接利用F1A

28、F2=60，求椭圆C的离心率；（）设|BF2|=m，则|BF1|=2am，利用余弦定理以及已知AF1B的面积为40，直接求a，b 的值【解答】解：（）F1AF2=60a=2ce=（）设|BF2|=m，则|BF1|=2am，在三角形BF1F2中，|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|22|BF2|F1F2|cos120（2am）2=m2+a2+amm=AF1B面积S=|BA|F1A|sin60=40a=10，c=5，b=5【点评】本题考查椭圆的简单性质，余弦定理的应用，考查计算能力21（14分）（2015凤凰县校级模拟）已知函数f（x）=x3ax23x（1）若f（x）在区间1，+）上是增函数，

29、求实数a的取值范围；（2）若x=是f（x）的一个极值点，求f（x）在1，a上的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由【分析】（1）求导函数，可得f（x）=3x22ax3，利用f（x）在区间1，+）上是增函数，可得3x22ax30在区间1，+）上恒成立，从而可求实数a的取值范围；（2）依题意x=是f（x）的一个极值点，所以，从而可得f（x）=x34x23x，利用导数确定函数的单调性与极值，从而可求f（x）在1，4上的最大值；（3）函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象

30、恰有3个交点，即方程x34x23x=bx恰有3个不等实根，即方程x24x3b=0有两个非零不等实根，从而可求实数b的取值范围【解答】解：（1）求导函数，可得f（x）=3x22ax3f（x）在区间1，+）上是增函数，f（x）0在区间1，+）上恒成立，即3x22ax30在区间1，+）上恒成立，则必有且f（1）=2a0，a0（2）依题意x=是f（x）的一个极值点，即a=4，f（x）=x34x23x（6分）令f（x）=3x28x3=0，得则当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x1（1，3）3（3，4）4f（x）0+f（x）61812f（x）在1，4上的最大值是f（1）=6（10分）（3）函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，即方程x34x23x=bx恰有3个不等实根（12分）x34x23xbx=0恰有3个不等实根x=0是其中一个根，方程x24x3b=0有两个非零不等实根，b7，且b3（14分）【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查函数图象的交点问题，解题的关键是将函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，转化为方程x34x23x=bx恰有3个不等实根