2017年山西大学附中高三上学期10月模块诊断数学(理)

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1、山西大学附中20162017学年高三第一学期10月(总第三次)模块诊断数学试题(理科)考试时间:120分钟 满分:150分 考查内容:高中全部 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合,且,则集合可能是( ) A B C D2.复数 的共轭复数在复平面上对应的点在( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.已知平面向量满足,且,则向量与夹角的余弦值为( )A B C D4.已知命题:,命题:“”是“”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( )A B C D5.执行如图所示的程序框图,若输入的值为5, 则

2、输出的值为( )A 9 B10 C11 D12 6.已知数列中,为其前项和,的值为( )A B C D第5题图7.为了得到,只需将作如下变换( )A 向右平移个单位 B向右平移个单位 C向左平移个单位 D向右平移个单位8.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为( )A B C D9.若为不等式组,表示的平面区域,则当从连续变化到时,动直线扫过中的那部分区域的面积为( )A B C D10. 在四面体中,二面角的余弦值是,则该四面体外接球的表面积是( )A B C D11. 已知函数,则关于的方程实根个数不可能为( )A个 B个 C个 D 个12. 已知,若在区间上有且只

3、有一个极值点,则的取值范围为( )A B C D二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13. 的展开式中项的系数为 14. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为,双曲线的左顶点为,若双曲线一条渐近线与直线垂直,则实数 15. 如图,为测量出山高,选择和另一座山的山顶为测量观测点,从点测得点的仰角点的仰角以及,从点测得,已知山高,则山高 16. 设函数,对任意,不等式恒成立,则正数的取值范围是 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分12分)已知顶点在单位圆上的中,角、所对的边分别为、,且.(1)求角的大小;(2)若,求

4、的面积.18.(本小题满分12分)某产品按行业生产标准分成个等级,等级系数依次,其中为标准,为标准.已知甲厂执行标准生产该产品,产品的零售价为元/件; 乙厂执行标准生产该产品,产品的零售价为元/件,假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.(1)已知甲厂产品的等级系数的概率分布列如下所示:且的数学期望,求的值;(2)为分析乙厂产品的等级系数,从该厂生产的产品中随机抽取件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下:用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数的数学期望;(3)在(1)、(2)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购买性?说明理由.注: 产品的“性价

5、比”;“性价比”大的产品更具可购买性.19.(本小题满分12分)如图, 已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面, 平面平面,且,且. (1)设点为棱中点, 在面内是否存在点,使得平面?若存在, 请证明, 若不存在, 说明理由;(2)求二面角的余弦值.20. (本小题满分12分)已知椭圆的两个焦点分别为,以椭圆短轴为直径的圆经过点.(1)求椭圆的方程;(2)过点的直线与椭圆相交于两点,设,直线的斜率分别为,问是否为定值?并证明你的结论.21. (本小题满分12分)已知函数(常数).(1)证明: 当时, 函数有且只有一个极值点;(2)若函数存在两个极值点,证明:且请考生在22、23二题中任选一题作

6、答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与轴非负半轴重合,直线的参数方程为:为参数), 曲线的极坐标方程为:.(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;(2)设直线与曲线相交于两点, 求的值.23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数.(1)解不等式;(2)若对任意,都有,使得成立, 求实数的取值范围.山西大学附中20162017学年高三第一学期10月(总第三次)模块诊断数学试题考试时间:120分钟 满分:150分 考查内容:高中全部一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共6

7、0分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.ADCCC ACDDB(文科D) DA1.若集合,且,则集合可能是( ) A B C D2.复数 的共轭复数在复平面上对应的点在( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.已知平面向量满足,且,则向量与夹角的余弦值为( )A B C D4.已知命题:,命题:“”是“”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( )A B C D5.执行如图所示的程序框图,若输入的值为5, 则输出的值为( )A 9 B10 C11 D12 6.已知数列中,为其前项和,的值为( )A B C D7.为了得到,只需将作如下变换( )A 向右平移个单

8、位 B向右平移个单位 第5题图C向左平移个单位 D向右平移个单位8.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为( )A B C D9.若为不等式组,表示的平面区域,则当从连续变化到时,动直线扫过中的那部分区域的面积为( )A B C D10. (理科)在四面体中,二面角的余弦值是,则该四面体外接球的表面积是( )A B C D(文科)在四面体中,则该四面体外接球的表面积是( )A B C D11. 已知函数,则关于的方程实根个数不可能为( )A个 B个 C个 D 个12. 已知,若在区间上有且只有一个极值点,则的取值范围为( )A B C D二、填空题(每题5分,满分20分

9、,将答案填在答题纸上)13. (文科) 14. 15. 16. 13. (理科) 的展开式中项的系数为 (文科)曲线在处的切线方程为 14. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为,双曲线的左顶点为,若双曲线一条渐近线与直线垂直,则实数 15. 如图,为测量出山高,选择和另一座山的山顶为测量观测点,从点测得点的仰角点的仰角以及,从点测得,已知山高,则山高 16. 设函数,对任意,不等式恒成立,则正数的取值范围是 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 18.(理科)(本小题满分12分)某产品按行业生产标准分成个等级,等级系数依次,其中为标准,为标准.已知甲

10、厂执行标准生产该产品,产品的零售价为元/件; 乙厂执行标准生产该产品,产品的零售价为元/件,假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.(1)已知甲厂产品的等级系数的概率分布列如下所示:且的数学期望,求的值;(2)为分析乙厂产品的等级系数,从该厂生产的产品中随机抽取件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下:用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数的数学期望;(3)在(1)、(2)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购买性?说明理由.注: 产品的“性价比”;“性价比”大的产品更具可购买性.解:(1) ,即又由 的概率分布列得 由 得 (2)由已知得,样本的

11、频率分布表如下: 用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数X2的概率分布列如下: 所以, 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. (3)乙厂的产品更具可购买性,理由如下:因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于 ,价格为 元/件,所以其性价比为因为乙厂产品的等级系数的期望等于 ,价格为 元/件,所以其性价比为 据此,乙厂的产品更具可购买性。 17. (本小题满分12分)已知顶点在单位圆上的中,角、所对的边分别为、,且.(1)求角的大小; (2)若,求的面积.(2)由得 由余弦定理得 即 .19.(理科)(本小题满分12分)如图, 已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面,

12、平面平面,且,且. (1)设点为棱中点, 在面内是否存在点,使得平面?若存在, 请证明, 若不存在, 说明理由;(2)求二面角的余弦值.解:(1)连接,交于点,连接,则平面 证明:为中点,为中点为的中位线, 又平面平面,平面平面=,平面,平面 , 又,平面所以平面 (2)以A为原点,AE,AB,AD所在直线分别为轴,轴,轴建立坐标系,平面PEA平面PEA的法向量 另外,,设平面DPE的法向量,则,令,得又为锐二面角,所以二面角的余弦值为 20. (本小题满分12分)已知椭圆的两个焦点分别为,以椭圆短轴为直径的圆经过点.(1)求椭圆的方程;(2)过点的直线与椭圆相交于两点,设直线的斜率分别为,问

13、是否为定值?并证明你的结论.解:(1)由已知得:,由已知易得,解得,则椭圆的方程为.(2)当直线的斜率不存在时,由,解得,设,.当直线的斜率存在时,设直线的方程为,将代入整理化简,得,依题意,直线与椭圆必相交于两点,设,则,又,所以综上得:为定值2.(说明:若假设直线为,按相应步骤给分)21. (本小题满分12分)已知函数(常数).(1)证明: 当时, 函数有且只有一个极值点;(2)若函数存在两个极值点,证明:且解:依题意, 令,则. (1)当时,所以无解,则函数 不存在大于零的极值点; 当时,由,故在 单调递增. 又,所以在有且只有一个零点. 3分 又注意到在的零点左侧,在的零点右侧,所以函

14、数在有且只有一个极值点. 综上所述,当 时,函数在内有且只有一个极值点. 4分(2)因为函数存在两个极值点(不妨设),所以,是的两个零点,且由(1)知,必有. 令得 ;令 得;令得.所以在单调递增,在单调递减, 6分又因为,所以必有. 令,解得, 8分此时 .因为是的两个零点,所以,. 将代数式视为以为自变量的函数则 .当时,因为,所以,则在单调递增.因为,所以,又因为,所以. 当时,因为,所以,则在单调递减,因为,所以. 综上知,且 12分请考生在22、23二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标

15、系的原点处,极轴与轴非负半轴重合,直线的参数方程为:为参数), 曲线的极坐标方程为:.(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;(2)设直线与曲线相交于两点, 求的值.解:(1) ., 由,得, 所以曲线的直角坐标方程为,由,消去解得:.所以直线l的普通方程为. (2)把 代入, 整理得 ,设其两根分别为 ,则 .23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数.(1)解不等式;(2)若对任意,都有,使得成立, 求实数的取值范围.解: (1)由得 , ,解得 所以原不等式的解集为. (2)因为对任意 ,都有 ,使得 成立所以 ,有,当且仅当时, 取等号,所以从而 或. 所以 实数的取值范围.

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