充分条件与必要条件学案

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1、1.2.1 充分条件与必要条件知识要点知识点一：一般地，“若，则”为真命题，是指由推理可以得出.这时，我们就说，由可推出，记作，并且说是的充分条件，是的必要条件.知识点二：一般地，如果既有，又有，就记作.此时，我们说，是的充分必要条件，简称充要条件.显然，如果是的充分条件，那么也是的充要条件. 概括说，如果，那么与互为充要条件.教材拓展拓展一:(1)如果但，我们称是成立的充分不必要条件；(2)如果，但，我们称是成立的必要不充分条件；(3)如果，即，我们称是成立的充要条件；(4)如果，我们称是的既不充分也不必要条件.拓展二：充要条件的判断方法(1) 定义法：分清条件和结论：分清哪个是条件，哪个是

2、结论；找到推式：判断“”及“的真假；”下结论：根据推式及定义下结论.(2) 等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题，再去判断.(3) 逆否法：逆否法的实质为等价法的一种特殊情况.若，则是的必要条件，是的充分条件；若且则是的必要不充分条件；若，则是的充要条件；m若则既不是的充分条件也不是的必要条件，简称是的既不充分也不必要条件.(4) 集合法：写出集合及，利用集合之间的包含关系加以判断.用集合法判断时要尽可能借助韦恩图、数轴、直角坐标系等，形象直观，能简化解题过程，降低思维难度.(5) 逻辑算法：用逻辑运算来判断充要条件，当问题中已给出了若干个条件和结论，判断其充要条件时，应根据已

3、知条件画出推出式图，从图中寻求推式的传递性，得出结论.拓展三：充要条件的证明(1) 证明充要条件一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”和“必要性”这两方面.解题时要避免将充分性当作必要性来证明的错误，这就需要分清条件和结论，若“条件”“结论”，即证明的充分性，若“结论”“条件”，即证明的必要性.(2) 等价法：就是从条件开始，逐步推出结论，或者是从结论开始，逐步推出条件，但是每一步都是可逆的，即反过来也能推出，故仅作说明即可.必要性(或者充分性)也可以不再重复证明.典型例题例1：若、为实数，则是的 ()A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件解：答案

4、：A例2：命题甲：，成等比数列；命题乙：，成等差数列，则甲是乙的 ()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解：答案B由条件知甲：(21x)2，2(1x)xx2，解得x1或2；命题乙：2lg(x1)lgxlg(x3)，x1，甲是乙的必要不充分条件例3:已知p是r的充分条件而不是必要条件,q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：r是q的充要条件； p是q的充分条件而不是必要条件；r是q的必要条件而不是充分条件； p是s的必要条件而不是充分条件；r是s的充分条件而不是必要条件.则正确命题的序号是（ ）A. BCD解：答案 B 可将

5、的关系用推出符号表示，然后利用图示解答问题. 由题意推不出，正确，又推不出，正确，排除答案A、C、D，故选B.例4：证明一元二次方程的根有一正根和一负根的充要条件是证明：充分性：.设一元二次方程的两个根是，一元二次方程的根有一正根和一负根.必要性：一元二次方程的根有一正根和一负根，例5：设；，若的充分不必要条件，求实数的取值范围. 解：即由得，即 的充分不必要条件，推不出.故有解得，所以的取值范围是.作业练习能力基础题1、“”是“”成立的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分条件 D.既不充分也不必要条件2、设是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是递增数列”的 ( ) A

6、.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3、“”是“方程表示圆”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4、的 条件是.5、指出下列各组命题中，是的什么条件：(1)在中，(2)能力提升题6、已知p：关于x的方程至少有一个负实根，则q是p的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D即不充分也不必要条件 7、ABC中“cosA2sinBsinC”是“ABC为钝角三角形”的 ( )A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件8、若实数满足，且，则称与互补，记那么是与

7、b互补的 ( ) A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9、函数的定义域为，“对任意的”.“为函数的最大值”，则是的_条件.10、给出下列命题：“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的充分不必要条件；“”是“函数在区间上为增函数”的充要条件；是直线与直线互相垂直的充要条件；设分别是ABC的三个内角A、B、C所对的边，若，则是的必要不充分条件；其中真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)11、已知数列的前项和(1)证明:是成等差数列的必要条件；(2)试问：是否为成等差数列的充要条件？请说明理由.12、已知是直线上任意两点，是外一点，求证：点在直线上的充要条

8、件是，其中提高拓展题13、已知，且是的必要条件，求实数的取值范围.14、已知：， ：若“”是“”的必要而不充分条件，求实数的取值范围 参考答案1.A 解析：，所以充分；但反之不成立，如2.C3.C 解析：当时，方程，即，故方程表示以为圆心，以为半径的圆.若表示圆，则满足：，故选C4.充分不必要.成立，当时，可能有5、解：(1)在中，角A,B所对的边分别为，其外接圆的半径为，又反之，故是的充要条件.（2） ，所对应的集合包含于所对应的集合.故是的必要不充分条件.6、 A7.BcosAcos(BC)cosBcosCsinBsinC2sinBsinC，cos(BC)0.BC.BC，故为钝角三角形，反

9、之显然不成立，故选B.8、 C 解析：由，即，故，则，化简得，即ab=0，故且，则且，故选C.9、必要不充分条件 只要当(1)对任意的，(2)存在，同时成立时，才是的最大值，故推不出，必要不充分条件.10、 解析：令，则若是等比数列，则为常数，因此，当为等比数列时，为等比数列，但为等比数列时，未必为等比数列，如数列：1,2,3,6,9,18，对任意，有；满足是等比数列，但不是等比数列，真；时，在上单调增，但在上单调增时，故错；由得，或，故是两直线垂直的充分不必要条件，错，由知，sinBsinA，故B60时，A30，但A30时，B可以为120，正确11.(1)证明：当时，成等差数列,则，即，解得

10、故是成等差数列的必要条件.(2)当时，当时，又适合上式，.又是公差为2，首项为3的等差数列.又由(1)知是成等差数列的必要条件，是成等差数列的充要条件.12. 证明：必要性:设点在直线上，则由平面向量基本定理知， 存在实数，使得令则充分性：若满足消去，得，即点在直线上13. 解：由解得，令由，可得，令的必要条件，成立，即.则解得，所以实数的取值范围为.14.解法一由：，解得，“”： 由：解得：“”： 由“”是“”的必要而不充分条件可知： 解得 满足条件的m的取值范围为 解法二由：， 解得由：, 解得： 由“”是“”的必要而不充分条件可知： ， 即：（等号不同时成立）， 解得：满足条件的m的取值范围为