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1、精品文档第 18 章勾股定理复习一知识归纳勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ， b ，斜边为 c ，那么 a 2b 2c2勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了 “勾三，股四，弦五 ”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 .勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有
2、重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一： 4SS正方形 EFGHS正方形 ABCD， 41ab ( b a)2c2 ，化简可证2方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为1ab22S 4c2ab c2大正方形面积为S(a b) 2a 22abb2222所以 a bc方法三： S梯形1( ab) (ab) ， S梯形2S ADES ABE21ab1c2 ，化简得证222DCHEGFbaAcBbaaccbcbcaabAaDbc .勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三
3、角形三条边之间所存在的数量关系， 它只适用于直角三角形，三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了对象是直角三角形 .勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边cE对于锐角a所考察的BCb在ABC 中，C90 ，则 ca 2b2 ， bc2a 2 ， ac2b2知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题.精品文档5、利用勾股定理作长为的线段作长为、的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于.精品文档，直角边为和 1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。作法 ：如图所示（1）作直角边为1（单位长）
4、的等腰直角ACB，使 AB 为斜边；.精品文档（ 2）以AB 为一条直角边，作另一直角边为1 的直角。斜边为；（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边.精品文档、的长度就是、.精品文档、。举一反三【变式】在数轴上表示的点。解析：可以把看作是直角三角形的斜边，.精品文档，为了有利于画图让其他两边的长为整数，而 10 又是 9 和 1 这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3 和 1。作法 ：如图所示在数轴上找到A 点，使 OA=3，作 AC OA 且截取 AC=1，以 OC为半径，以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。注：逆命题与勾股定理逆定理可以判断真假的陈述句叫做命题，写出下列原命
5、题的逆命题并判断是否正确1原命题：猫有四只脚（正确）2原命题：对顶角相等（正确）3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等（正确）4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等（正确）思路点拨： 掌握原命题与逆命题的关系。解析： 1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3.逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上?（正确）4.逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上（正确）总结升华： 本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。6.勾股定理的逆定理.精品文档勾股定理的逆定理的证明方法要掌握，书74 页如果三角形三边长a ，
6、b ， c 满足 a2b2c2 ，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形 ”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（ 1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；222是否具有相等关系，若222（ 2）验证 c 与 a+bc a+b ，则 ABC是以 C 为直角的直角三角形222，则 ABC是以 C为钝角的钝角三角形；若222（若 c a +bcb=c），那么 a2 b2 c2=2 1 1。其中正确的是（）A、B、C、D、13.三角形的三边长为（a+b） 2=c2+2ab,则这个三角形是 ()A. 等边三角形 ;B. 钝角三角形 ;C. 直角三角形 ; D. 锐角三角形 .14.如图一轮船以16 海里 / 时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12 海里 / 时的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行，离开港口2 小时后，则两船相距（）A、25 海里B、 30 海里C、 35 海里D、 40 海里15. 已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（）A、40B、 80C、40 或 360D、 80 或 360.
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