函数极值点偏移问题

《函数极值点偏移问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数极值点偏移问题（7页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、精品文档函数极值点偏移问题在近年的咼考和各地的质检考试中，经常可以看到与函数的极值点偏移有关的问题，这类问题由于难度大， 往往使得考生望而生畏， 不知如何下手，本文试提供一种解题策略，期望对考生有所帮助.先看一道试题：【例 1】(2015 年蚌埠市高三一质检试题)已知函数f (x) =xe x.(1)求函数 f (x)的单调区间和极值；(2 )若 x1丰x2, f (x1 ) =f (x2)，求证 x1+x2 2 .该题意在考查学生运用导数处理 有关函数的单调性及极值问题以及综合运用有关知识分析、解决问题的能力和化归转化的数学思想.解析 1. e第(2)问：构造函数 F (x) =f (1+x

2、) f (1 x) = (1+x) e( 1+x) ( 1 x) ex 1，贝UF(x) =x ex 1 e( 1+x),当 x 0 时，F ( x ) 0 , F (x)在(0, +s)单调递增，又 F (0) =0,. F (x) 0,即卩 f (1+x) f (1 x)./x1 工 x2，不妨设 x1vx2，由(1 )知 x1v1, x2 1,所以 f (x1) =f (x2) =f : 1 +(x21)f:1(x21)=f(2x2),Tx21,2x2v1,又 f (x )在( g,1) 上单调递增， x1 2 x2 , x1+x2 2.上述解答，通过构造差函数F ( x) =f (1+

3、x) f (1 x)，紧接着对 F (x)进行求导，判断性质，不需复杂的变形，切入点好，程序清晰，易操作.其解题本质是x1 与 2 x2 的大小关系不易直接比较时，通过化归转化为比较函数值f (x1 )与 f (2 x2)的大小关系，再结合 f (x)的单调性获得解决.这里的 1 显然是 f (x)的极值点，就是直线 y=f (x1) =f ( x2) =h 被函数 y=f (x)图象所截线段中点的横坐标，要证x1+x2 2，只需证 f (x1) f (2 x2 )，因此，问题本质是证极值点偏移问题.若设 f (x)的极值点为 x0，则可将上述的解题策略程序化如下：1构造差函数 F (x )

4、=f (x0+x ) f (x0 x)2对 F (x)求导，判断 F (x)的符号，确定 F (x)的单调性，3结合 F (0 ) =0,判断 F (x)的符号，确定 f (x0+x)与 f (x0 x)的大小关系4由 f (x1) =f (x2)结合及 f (x)的单调性确定 x1 与 2x0 x2 (或 x2 与 2x0 x1) 的大小关系精品文档【例 3】(2010 年天津高考理)(本小题满分 14 分)已知函数f(x) =Xe_K(xe R).(1) 求函数 f(x)的单调区间和极值；(2) 已知函数 y=g(x)的图象与函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称，证明当 x1 时

5、，f(x)g(x);如果厂二二沁,且；“ ；：；,证明 為*牝2.(1)解： 仃人 1 门人舟.令 f (x)=0,解得 x= 1.当 x 变化时，f (x),f(x)的变化情况如下表：x(-8 ,1)1(1, + 8 )f (x)+0-f(x)/极大值所以 f(x)在(-8,1)内是增函数，在(1 , +8)内是减函数函数 f(x)在 x=1 处取得极大值 f(1)，且 f(1)=.证明：由题意可知 g(x)=f(2-x)，得 豈忑 “孟丄.令 F(x)=f(x)-g(x),即 丸冷-將1于是 F(x) = (x_l)(e212一 l)ex.当 x1 时，2x-20,从而-10.又0,所以

6、F (x)0,从而函数 F(x)在1 , +8)上是增函数.又f厂-;_1=0,所以 x1 时，有 F(x)F(1)=0,即卩 f(x)g(x).证明：若他一煞-)=0，由及二“妙，得孔二 2=1 ,与“总矛盾.若 伽盹-1)0,由及 心也)，得 蛊严甌，与羽去超矛盾.根据，得J昱=-0.不妨设1.由可知，ffe)A s(也,g 側三 f (2 -険,所以 f(x2) /(2 -龜)，从而RxJ /(2 -電因为1,所以2.精品文档【例 2（ 2016 年全国乙卷 21 题）【例 3 （2011 天津理 19 题）【例 4 （2010 辽宁理 19 题）（不属于该题型，恒成立问题）张同语应用上

7、述提炼的解题策略可以解决下列一类有关函数极值点的偏移问题.例 11 xxe. 1+x2(I)求 f (x)的单调区间；(U)证明： 当 f (x1) =f (x2)( x1 工 x2) 时， x1+x2v0.(I)易知 f (x)在(8,0)上单调递增，在(0, +8)上 单调递减.(U)易知当 xV1 时 1x1x所以 f(x)0,当 x1 时V0,20,1+x1+x2f(x)v0.vf(x1)=f(x2)且 x1 工 x2，不妨设 x1Vx2,由(I)知 x1V0,0Vx2v1.下面证明：当 0VxV1 时 f ( x)Vf ( x)即证：1 xx1+x x1+xxVV0. 2e2e.即证

8、：(1 x) e 1+x1+xex构造 F (x) = (1 x) ex贝UF (x) = xe x (e2x 1)V0VxV1,AF (x)V0,AF (乂乂)在(0, 1)单调递减，从而 F (x)VF (0) =0即(1 x) ex f (x)Vf ( x).又 Ovx2v1,二 f(x1)=f(x2)=f(0+x2)vx1x2( x,0),f(x)在 f (0 x2) =f ( x2),精品文档( x,0) 上单调递增，所以 x1 x2，即 x1+x2 0.评注例 2第(U)问不等式右边的 0 恰好是函数的极(2011 年高考数学辽宁卷)已 知函数值点，因此，该问本质上是证明极值点偏右

9、问题.f (x) =lnx ax2+ (2a) x(I)讨论 f (x)的单调性；证明：当 0 x0, x) f (1x) ; a11 时，f (+aa1+x0,所以，当 0 x 1 时，ex1+x,ex解析(2013 年高考湖南卷)已知函数 f (x)= 14 中学生理科应试 2015. 5, 6构造“辅助元”解题的十种策略四川省资阳市外国语实验学校有些数学问题的解决，若按常规思路寻求突破，往往非常棘手，甚至一时 受阻，这时若调整思维方式，考察题目中有关数学式子的结构特征，尝试构造一个或多个“辅助元”来替代原来的“元”，这样做，可以减少变元的个数，降低 变元的次数，化简表达式，更重要的是能够

10、将原问题转化成熟悉的或容易解决的 新问题，而且有效地降低了问题的难度，具有化繁为简、化难为易的解答功效.本 文结合实例介绍构造“辅助元”解题的十种策略，供大家参考.一、对偶代换对偶代换是指对于某些结构特殊的三角函数问题、求数列中若干项的和或积 的问精品文档题、题中给出的条件含有倒数和的问题等等，可以通过合理构造对偶关系， 并通过对对偶关系进行适当的和、差、积运算，则往 B 两 (川)若函数 y=f (x)的图象与 x 轴交于 A、证明：f (xO)v0点，线段 AB 中点的横坐标为 xO,(I)易得 f(x)的定义域为(0，+x)，(1)若 a0 时，则 f (x)在(0) 上单调递增，aa+

11、x)上单调递减.(U)构造函数 F (x) =f (11+x) f ( x) aa解析(641300)蔡勇全黄正兵往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果.例 1求 sin220 +cos280 + 的值.解析令 M=sin220 +cos280 +=cos220 +sin280 +=sin20 cos80， Ncos20 sin80 ，由此可以得到M+N( sin20 cos80 +cos20 sin80 ) + (sin220 +。，cos220) + (cos280 +sin280 ) =2+sin20 cos80 cos20 sin80 )并且可得 M- N=x+ (sin220

12、cos220) + (cos280 sin280 ) =sin ( 60)cos40 +cos160 = 2sin100 sin60 311，M=由+可得 2M=g卩 sin220 +，224=1/4 . cos280 + 偏左问题.例 3(2015 年安徽省皖中省示范高中联考试题)已知函数 f (x) =ex 2x+2a.(1)求函数 f (x)的单调区间；精品文档x2，(2)若存在两个不相等的正数 x1，假设 f (x1)求证：f(12v0 (f(x)为函数=f (x2)成立，f (x)的导函数)解析(1) 易求得 f (x)的递减区间为(g, ln2 ),递增区间为(ln2,+g),ln

13、2 为 f(x)的极小值点.(2) 构造函数 F (x) =f (In2+x ) f (ln2 x) =eln2+x2 (In2+x ) eln2 x+2 (In2 x) =2 (ex e x 2x).：F (x)在(0,F (x) =2 (ex+e x 2) 0,+g)单调递增，又 F (0) =0,A在(0, +g)上 F (x)0,即 f (In2+x ) f (In2 x)，又Ix1, x2 为不相等的两个正数，不妨设 x1vx2，由(1)知 0vx1vln2 , x2In2，二f (x1) =f (x2) =f In2+ (x2 In2 ) f In2 (x2 In2 ) =f (2

14、ln2 x2),v0v又 f (x)在(g,In2 )单调 x1vln2 , 2ln2x2vln2，递减，二 x1v2ln2x2,：vIn2，又f (x)x1+x2vln2，从而 1222a3x2=ln (1+ax) In (1 ax) 2ax, F (x)=.1 a2x21时，F (x)0, F (0) =0,所以当 0vxvaF (x) 0,即当 0vxv111时，+x) f ( x). f (aaa(川)由(I)得当 a 0.B (x2, 0vx1vx2，则 x2 不妨设 A (x1 , 0), 0), 1121 x1 0 x1 x1 0aaaa精品文档112x1)=f+( x1)由(U)知 f(aaaf(x1)=0=f(x2)，从而 x22x1，于是 x0=a=ex 2 是单调递增函数，x1+x21，由(I)知f (xO)v0.2a评注本题同例 2 类似，实际上是证明极值点 f (12)v f (In2)=0.评注同样，本题也是证明极值点偏右的问题.