1.1集合及集合表示

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1、集合及集合的表示要点一：集合的有关概念1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确左的、不同的东四的全体，人们能意识到这些东西，并且 能判断一个给左的东西是否属于这个总体.2.一般地，研究对象统称为元素(element),一些元素组成的总体叫集合(set),也简称集.要点诠释：(1)对于集合一立要从整体的角度来看待它.例如由“我们班的同学”组成的一个集合A,则它是一 个整体，也就是一个班集体.(2)要注意组成集合的“对象“的广泛性：一方而，任何一个确泄的对象都可以组成一个集合，如人、 动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象：另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对 象，如上面所提到的集合A

2、,可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合的元素.3.关于集合的元素的特征(1)确泄性：设A是一个给上的集合，x是某一个具体对彖，则x或者是A的元素，或者不是A的元 素，两种情况必有一种且只有一种成立.(2)互异性：一个给左集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中 不应重复出现同一元素.(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分如：由1, 2, 3组成的集合，也可以写成由1, 3, 2组 成一个集合，它们都表示同一个集合.要点诠释：集合中的元素，必须具备确泄性、互异性、无序性.反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对 象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我

3、们判断一组对象是否能构成集合的依据.解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性“来分析解决，也就是，一方面，我们要利 用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”.4.元素与集合的关系：(1)如果a是集合A的元素,就说a属于(belong to)A,记作aw A(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)A,记作a g A5.集合的分类(1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(emptyset),记作：0.(2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.2(3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.36.常用数集及英表示非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，

4、记作N或N+整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R要点二：集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述 法来表示集合.1.自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合.2.列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内如：1, 2, 3, 4, 5, X2, 3x+2, 5y3-x, x2+y2, .3.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号 内.具体方法：在大括号内先写 上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范用，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元 素所具有的共同特

5、征.要点诠释：（1）用描述表示集合时应注意：弄淸元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数，还是有序 实数对（点）还是英他形式？元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的 属性时，要去伪存貞，而不能被表而的字母形式所迷惑.（2）用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑联结词“且与“或等连接：若描 述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明英含义或指出其取值范弗I.4图示法：图示法主要包括Venn图、数轴上的区间等为了形象宜观，我们常常画一条封闭的曲线， 用它的内部来表示一个集合，这种表示集合的方法称为韦恩（Venn）图法.如下图，就表示集合123,4.厂、4【

6、典型例题】类型一：集合的概念及元素的性质例集合A由形如“顾心心）的数构成的，判断占是不是集合A中的元素?【答案】是均有tn e Z.n e Z , /. 2 + e A即!-=e A2-3举一反三：【变式1 设S=xlx=m+/2n,m,n e Z(1)若awZ,则是否有aeS?(2)对S中任意两个元素Xi, X2,则X1+X2, XX2,是否属于集合s?解:若aeZ,则有aeS,即n=0时,xeZ, /.aeS：(2) V X, x2eS,则X| =1B| + Viij,x2=m2+V2n2(m】g,m2,n2e Z).Xj +x2= (/? + m2) + n2) e S(勺 +m2e Z

7、, q + n2e Z)x,x2=(n +y/2n) - (m2Jumim? +211)n2+口】2比)nij, nPm2 n2eZ, /. mim2+2nin2eZf miib+nBni e Z/.XrX2eS类型二：元素与集合的关系例2.给出下列六个关系：(1) OEN*(2) 0-L 1(3) 0eO(4)0CO(5) 0e0, 1(6) 0c0英中正确的关系是_ .【答案】(2) (4) (6)举一反三：【变式1】用符号* 或填空(1)若A二Z,则一丄A：-2A2【解析】由分母有理化得,2-/3= 2 + JJ由题中集合A可知川=2/ = 1,5(2)若B = XI2X2-X-1 =

8、0,则一*_B：-2_ B.【答案】(1)已w(2) e, e类型三：集合中元素性质的应用例3.设2, =1, 2, 3, P = cc = a+b,Z?eN，则集合P中元素个数为.【答案】4个【解析】集合P中的元素满足c*b,且XN ,所以由aeM, beN当么=1, /?=1时，c=l + l=2：当o=l,=2时，c= 1+2=3：当o=l, b=3时,c=l+3=4：当么=2, Jh=l时,c=2+1=3；当=2,=2时，*=2+2=4；当b=3时，*=2+3=5:故根据元素的互异性，P中元素，即P=2, 3, 4, 5,答案为4个.例4. M二awZ, IeN,则M=()5aA.2,

9、 3 B.h 2, 3, 4 C.h 2, 3, 6D.-1, 2, 3, 4【答案】D【解析】集合中的元素满足是整数，且能够使旦是自然数，所以OS旦S65一a5a由aeZ,所以1幺三4,当a=l时，一=leN符合题意：5-(-1)6 h&3当*0时，二丄gN不符合题意：当a=l时， =-e N不符合题意:5-0 55-1 2当*2时，=2eN符合题意：当a=3时，=3eN符合题意：5 25-3当*4时，=6eN符合题意.5-4故a=-L a=2, a=3, a=4为卜1中元素，即M=-1, 2, 3, 4,选项D i匸确.例5.设集合A=xe/?lav2+2x + l=0,当集合A为单元素集

10、时，求实数“的值.【答案】0, 1【解析】当a=0时，可得是一次方程，故满足题意.当时， 则为一个二次方程， 所以有一根的含义是该方程有两个相等的根， 即为判别式为0时的a的值， 可求得为a=l故a的取值为0, 1.6例6已知集合A = a+ 2,(a+ 1尸卫$+3 + 3,若1 e A ,求实数a的值及集合A【解析】(1)若“ +2 = 1,则。=一1.所以A = 1,O,1，则。=一1应舍去.(2)若 +1)2=1,则=0或a = _2,当a=0时,A = 2,1,3满足题意；当。=2时，A = 0,1,1,与集合中元素的互异性矛盾，则a = -2应舍去.(3)若/+3“ + 3 = 1

11、,则“ =一1或=一2,由上分析知a =与a=2均应舍去.综上，a = 0,集合A = 1,2,3.举一反三：【变式1】C知集合A = a-2 ,12 , 2a+5“,且一3WA,求的值.【解析】V 3GA, /. t/2=3或+5 = 3,3得心一1,或=-检验知：心一1不满足集合元素的互异性，233 “ =二，答案为t/ = -22例7设A是由一些实数构成的集合，若则eA,且IgA-a(1)若3,求A；(2)证明：若“GA,贝iJl-eA：a(3)A能否只有一个元素，若能，求出集合A,若不能，说明理由.【解析】“，占(2)“，占A，(3)假设集合A只有一个元素，皿=仗, 则“土，即宀“1

12、= 0有且只有-个解,又因为 =(一)2一4 =一30, /-“ + 1 = 0无实数解.*.- = 3e A , /. A=3 1|)111-t1A- =-=1e A1_丄1-G7与a2-a + = 0有且只有一个实数解矛盾.所以假设不成立，即集合A不能只有一个元素.类型四：集合的表示方法例&试分别用列举法和描述法表示下列集合:（1）方程X2-3 = 0的所有实数根组成的集合；（2）由大于15小于25的所有整数组成的集合.【解析】（1）用描述法表示为A = XX2-3 = 09xeR：用列举法表示为A = 也，-书用描述法表示为B = xll5x25,A-eZ；用列举法表示为B = 16,17,18,19,20,21,22,23,24.举一反三：【变式1】用适当的方法表示下列集合：（1）比5大3的数；（2）方程F + y24x + 6y + 13 = 0的解集:（3）二次函数y = F-10的图彖上的所有点组成的集合.【解析】（1）比5大3的数显然是8,故可表示为8(2)方程F + y24x + 6y + 13 = 0可化为(x-2)2+(y + 3)2 =0,x = 23方程的解集为(2,-3).（3）用描述法表示为（不刃1，=疋一10