概率统计第二章历年考研题汇总.docx

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1、第2章随机向量1. (1994年、数学一、填空)X | 0 | 1设X的分布律为 11且X与丫独立同分布，那么随机变量Z=max X, YP 2 2的分布律为()。(1995年、数学一、填空)34设 X, Y 为随机变量且 PX20, Y_0=_, PX20=PY20 = 一,77那么 Pmax(X,Y)20=()。答案填：-7由 Pmax(X,Y)20=PX20UY20= PX20+PY20-PX20,Y20即 知。2. (1998年、数学一、填空)设D是由曲线xy=l与直线y=0, x=l, x=e2围成的平面区域,二维随机变量(X, Y)在区域D上服从均匀分布，贝IJ(X, Y)关于X的

2、边缘分布在x=2处的值 为()。答案iM：-设(X, Y)的联合概率密度为f (x, y),那么：1 当(x,y)0)时，f(x, y)=-；当(x,y)。时，f(x,y)=O.2当 1 Wx W / 时 fx(x) = /(x, y)dy = g ；dy =； , 显然 fx(x)在x=2处的值为43. （2001年、数学一、计算）设某班车起点站上客人数X服从参数为久（X0）的泊松分布，每位乘客 在中途下车的概率p（0pl）,且中途下车与否相互独立。己丫表示在中 途下车的人数，求：（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；（2）二维随机向量（X,Y）的概率分布.解：（1） PY

3、=m|X=n = C：P（l P）i，m=0J,2,n.v1(2) PX=n，丫=m= e C：。一 )，m=0, 1,2,n;nn=0, 1,2, (1992年、数学三、计算)设(X,Y)的概率密度为f(x,y)=y ,0 其他求边缘密度,fx（x），P（X + Fl）o解：fx (x)=匚 /(羽 y)dy =1e-ydy = e-xP(X + y 1)= JJf(x,y)dxdy =dx eydy = -e -2e 2 0xy,x+yl4. (1999年、数学三、选择)-1 o i -设随机变量Xj，(i=l,2),且满足PX|X2 =0 = 1,1/4 1/2 1/4贝 |JPX1 =

4、X2二()。A. 0B. C. D. 142答案选：A(1990年、数学四、计算)甲、乙两人各自独立进行两次射击，命中率依次为0.2, 0.5,求甲、乙命中 次数X与丫的联合概率分布。答案：P(X=i,Y=j=PX=i)PY=j = C().2/0.82-,C/0.52, (i, j=0, 1,2)(1987年、数学一、计算)设随机变量X与丫相互独立，其概率密度函数分别为fl 0x()于X(X)JY () x 0 其它 r 0 y()求Z=2X+Y的概率密度函数。解：(X,Y)的联合概率密度函数=6一, Q r 0fxM fy(y)=- -z的分布函数必可表示为:0 其它Fz(z) = P(Z

5、z) = P(2X + rz(= JJ /(x, y)dxdyjj Odxdy = 0z 02x+yMz= dx Xe - dy =e :0 z 2z00z2z00z222从而Z的概率密度为:从而Z的概率密度为:0ID(e2-l)e-29. (1989年、数学一、计算)设随机变量X与丫相互独立,XN(l, 2),YN(0, 1),求随机变量Z=2X-Y+3x(),)，()其他z0一中Z-7T-/J的概率密度函数。解：由于随机变量X与Y独立，XN(1,2),YN(0, 1),那么X与Y的线性函 数Z=2XT+3业服从正态分布，且E (Z)=2E (X)-E (Y) +3=5, D =4D(X)

6、+D(Y)=9,即 ZN (5, 9)1 SV 那么：/(z) = 3疡10. (1991年、数学一、计算)2e(x+2y) 设二维随机变量(X, Y)的概率密度f(x,)，)= J求随机变量Z=X+2Y的分布函数。解：Fz (z) = PX +2Y zJ Odx = 0 _x+2yizNT2e-(x+2y)dy = 1 一 e- (1 + z)11. (1992年、数学一、计算)设随机变量X与Y相互独立且XN(，o-2),YU-4, 求2=乂+丫的概率密度函数。(计算结果用标准止态分布函数(x)表示)。解：由卷积公式可知型z)=g(zD叱京一。(令12.(1999年、数学一、计算)设随机变量

7、X与Y相互独立,下表列出了二维随机向量(X, Y)的联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的局部数值，试将其他数值填入表中的空 白处。PIy2lK1一H 1 - 8 1 - 6 r.r设两个独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(l, 1),那么:a. Px + r o = b. Px + r 1 = 1c. Px-r(), y00其他问：(1) X与丫是否独立？ (2)两部件的寿命都超过100小时的概率。解： /(x,y) = F；y(x,y) = 0.25-5Ct+v, x0,y0/r(x) = J：/(X y)dy =0.25e5(x+y dy = 0.5eofY(y)

8、= J：/。，y)dx =0.25e-Q-5(x+y)dx = 0.5e-O5v, y0那么恒有 f(x,y) = fx(x)fY(y 一8x, y 0.1,r 0.1) = f(x,y)dxdy =(1994年、数学三、计算)设随机变量X,X2,X34相互独立，同分布且P(Xj = 0) = 0.6 ,x xp(Xj = 1) = 0.4 , (i=l, 2, 3, 4),求行列式 X= 2 的概率分布。X4 X?解：设x = X|X,，八= x2X3,那么二者独立同分布且公共分布为：0.84 0.16而乂=乂-丫2,不难知其所有可能的取值为T，0，1，月.分布律为:-1010.1344 0

9、.7312 0.134417.（1995年、数学三、计算）4xy 0 1,0 y 1设(X,Y)/(x,y)=求联合分布函数。0 其他答案：/(x, y)=0一),2厂y2ix 0 或y 00 x IfiO 10 x 1x 1MO y 1 且y 1(1997年、数学三、选择)设随机变量X与Y相互独立且同分布，P(X = -1) = p(y = -1) = -, 2P(X =1) = P(Y = 1) = g ,贝ij ()成立。a. p(x = y)= lb. p(x = y)= ic. p(x + r = o)= -d. p(xr = i)= -44答案选：A(1990年、数学四、填空)设X

10、N(-3, 1), YN(2, 1),且X与Y相互独立，假设Z=X-2Y+7,那么Z服从 的分布是()。答案填：N(0,5)(1999年、数学四、计算)设二维随机变量(X, Y)在矩形G = (x,y)|0x2,0 j1上服从均匀分布，试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度f (s) . 解:当 sWO 时，F(s)=O;当sN2 时，F(s)=l;当 o s sJJ f(x，y)dxdy = 1drf dy = (l + ln2-Ins)2 s $2-(In2-ln5), 0s2于是：/Gv) = p0,其他18. (2001年、数学三、计算)设随机变量X和Y的联合分布是G = (x, y)-Ax 3,1 y3上的均匀 分布，求随机变量U=|X+Y|的概率密度p(u).-lx3lv一0,其他那么当 uWO 时，F(u)=O;当 uN2 时,F(u)=l;当 0u2 时，F(w) = Jj/(x, y)dxdy = jj 办“X = 1(2/0 u 2其他0 u 2其他|.v-y|iu|x-y|Su 4工日 /、(2-)于是 ()=2 0,