2012中考数学第二轮专题复习讲义

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1、 中考数学专题复习讲义 一． 新情境应用问题 Ⅰ、综合问题精讲： 以现实生活问题为背景的应用问题，是中考的热点，这类问题取材新颖，立意巧妙，有利于对考生应用能力、阅读理解能力。问题转化能力的考查，让考生在变化的情境中解题，既没有现成的模式可套用，也不可能靠知识的简单重复来实现，更多的是需要思考和分析，新情境应用问题有以下特点：（1）提供的背景材料新，提出的问题新；（2）注重考查阅读理解能力，许多中考试题中涉及的数学知识并不难，但是读懂和理解背景材料成了一道“关”；（3）注重考查问题的转化能力．解应用题的难点是能否将实际问题转化为数学问题，这也是

2、应用能力的核心. Ⅱ、典型例题剖析 【例1】如图（8），在某海滨城市O附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南70°方向200千米的海面P处，并以20千米/ 时的速度向西偏北25°的PQ的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/ 时速度不断扩张． (1)当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；又台风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米. (2)当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由(参考数据，)． 解：(1)1

3、00；（2）； ⑶作于点H，可算得（千米），设经过t小时时，台风中心从P移动到H，则，算得（小时），此时，受 台风侵袭地区的圆的半径为：（千米）＜141（千米） ∴城市O不会受到侵袭。 点拨：对于此类问题常常要构造直角三角形．利用三角函数 知识来解决，也可借助于方程． 【例2】如图2－1－5所示，人民海关缉私巡逻艇在东海海 域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O点的正北方向10 海里外的A点有一涉嫌走私船只正以 24海里／时的速度 向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26海里／时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问： ⑴需要几小时才能追上

4、(点B为追上时的位置) ⑵确定巡逻艇的追赶方向（精确到0．1°）． 解：设需要t小时才能追上，则A B=24 t，OB=26t． （l）在Rt△AOB中，OB2= OA2+ A B2， 即（26t）2=102 +（24 t）2 解得t=±l，t=－1不合题意，舍去，t=l， 即需要1小时才能追上． （2）在Rt△AOB中，因为sin∠AOB== =≈0.9231 ，所以∠AOB≈6 7．4°， 即巡逻艇的追赶方向为北偏东67．4°． 点拨：几何型应用题是近几年中考热点，解此类问题的关键是准确读图． 【例3】某公司为了扩大

5、经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元。 ⑴按该公司要求可以有几种购买方案？ ⑵若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？ 解：（1）设购买甲种机器x台，则购买乙种机器（6－x）台。 由题意，得， 解这个不等式，得，即x可以取0、1、2三个值， 所以，该公司按要求可以有以下三种购买方案： 方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器6台； 方案二：购买甲种机器1台，购买乙种机器5台； 方案三：购买甲种机器

6、2台，购买乙种机器4台； （2）按方案一购买机器，所耗资金为30万元，新购买机器日生产量为360个；按方案二购买机器，所耗资金为1×7＋5×5＝32万元；，新购买机器日生产量为1×100＋5×60＝400个；按方案三购买机器，所耗资金为2×7＋4×5＝34万元；新购买机器日生产量为2×100＋4×60＝440个。因此，选择方案二既能达到生产能力不低于380个的要求，又比方案三节约2万元资金，故应选择方案二。 【例4】某家庭装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大、小包装均不

7、拆开零售，那么怎样制定购买方案才能使所付费用最少? 解：根据题意，可有三种购买方案； 方案一：只买大包装，则需买包数为：； 由于不拆包零卖．所以需买10包．所付费用为30×10=300(元) 方案二：只买小包装．则需买包数为： 所以需买1 6包，所付费用为1 6×20＝320(元) 方案三：既买大包装．又买小包装，并设买大包装 包．小包装包．所需费用为W元。 则 ∵，且为正整数， ∴9时，290(元)． ∴购买9包大包装瓷砖和l包小包装瓷砖时，所付费用最少．为290元。 答：购买9包大包装瓷砖和l包小包装瓷砖时，所付费用最少为290元。 点拨：数学知

8、识来源于生活，服务于生活，对于实际问题，要富有创新精神和初中能力，借助于方程或不等式来求解。 【例5】如图2-2-4所示，是某次运动会开幕式上点燃火炬时在平面直角坐标系中的示意图，在有O、A两个观测点，分别测得目标点火炬C的仰角分别为α，β，OA=2米，tanα=, tanβ=,位于点O正上方2 米处的点D的发身装置可以向目标C同身一个火球点燃火炬，该火球运行地轨迹为一抛物线，当火球运行到距地面最大高度20米时，相应的水平距离为12米(图中E点)。 ⑴求火球运行轨迹的抛物线对应的函数解析式； ⑵说明按⑴中轨迹运行的火球能否点燃目标C？ 解：⑴由题意可知：抛物线顶点

9、坐标为(12,20)，D点的坐标为(0，2)，所以抛物线解析式为即 ∵点D在抛物线上，所以2= ∴抛物线解析式为： ⑵过点C作CF丄x轴于F点，设CF=b，AF=a，则 解得： 则点C的坐标为(20,12)，当x=20时，函数值y= 所以能点燃目标C． 点拨：本题是三角函数和抛物线的综合应用题，解本题的关键是建立数学模型，即将实际问题转化为数学问题来解决． 二．几何探索题巡视 探索类问题是近几年中考命题的重点，不少省市还作为压轴的大题。笔者研究了各地中考试卷，对命题特点、解题方法做了一

10、些探讨。本文以中考题为例说明之，供同学们学习时参考。 一、实验型探索题 例1.等腰三角形是我们熟悉的图形之一，下面介绍一种等分等腰三角形面积的方法：如图1，在△ABC中，AB＝AC，把底边BC分成m等份，连接顶点A和底边BC各等分点的线段，即可把这个三角形的面积m等分。 图1 问题提出：任意给定一个正n边形，你能把它的面积m等分吗？ 探究与发现：为了解决这个问题，我们先从简单问题入手怎样从正三角形的中心（正多边形的各对称轴的交点，又称为正多边形的中心）引线段，才能将这个正三角形的面积m等分？ 如果要把正三角形的面积4等分，我们可以先连接正三角形的中心

11、和各顶点（如图2(1)），这些线段将这个三角形分成了3个全等的等腰三角形）；再把所得到的每个等腰三角形的底边4等分，连接中心和各边等分点（如图2(2)，这些线段把这个三角形分成了12个面积相等的小三角形）；最后依次把相邻的3个小三角形拼合在一起（如图2(3)），这样就能把这个正三角形的面积4等分了。 图2 （1）实验与验证：仿照上述方法，利用刻度尺在图3中画出一种将正三角形的面积5等分的示意图。 图3 （2）猜想与证明：怎样从正三角形的中心引线段，才能将这个正三角形的面积m等分？叙述你的分法并说明理由。 （3）拓展与延伸：怎样从正方形（如图4）的中心引

12、线段，才能将这个正方形的面积m等分（叙述分法即可，不要求说明理由）？ 图4 （4）问题解决：怎样从正n边形（如图5）的中心引线段，才能使这个正n边形的面积m等分？（叙述分法，不要求说明理由） 图5 分析：这类问题的特点是先给出一个解决问题的范例，然后要求解答一个类似的问题，最后将结论或方法推广到一般情况。这类问题文字较多，首先应弄清楚哪些是范例，哪些是要求解答的问题，然后详细阅读范例，从中领会解决问题的方法，并能运用这个方法解决问题。 解：（1）先连接正三角形的中心和各顶点，再把正三角形各边分别5等分，连接中心和各分点，然后将每3个相邻的小三角形拼在一

13、起，就可将正三角形的面积5等分了（图略）。 （2）先连接正三角形的中心和各顶点，再把正三角形各边分别m等分，连接中心和各个分点，然后把每3个相邻的小三角形拼合在一起，即可把这个正三角形的面积m等分了。 理由：每个小三角形的底和高都相等，因此它们的面积都相等，每3个拼合在一起的图形面积当然也都相等，即把正三角形的面积m等分。 （3）先连接正方形的中心和各顶点，然后将正方形各边m等分，连接中心和各分点，再依次将相邻的4个小三角形拼合在一起，这就把这个正方形的面积m等分了。 （4）连接正n边形的中心和各顶点，然后将这个正n边形各边m等分，再依次将n个相邻的小三

14、角形拼在一起，这就将这个正n边形的面积m等分了。 二、操作型探索题 例2.已知线段AC＝8，BD＝6。 （1）已知线段AC⊥BD于O（O不与A、B、C、D四点重合），设图6（1）、图6（2）和图6（3）中的四边形ABCD的面积分别为S1、S2、S3，则S1＝_________，S2＝_________，S3＝_________； 图6 （2）如图6（4），对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A、B、C、D重合）的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的结论； （3）当线段BD与AC（或CA）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接

15、点A、B、C、D所围成的封闭图形的面积是多少。 分析：题（1）实际上是将BD沿AC由下向上移动，计算BC在不同位置时四边形ABCD的面积，再观察计算结果。题（2）是AC沿BD左右移动，计算四边形ABCD的面积，再观察计算结果。题（3）是在更一般的情况下探索规律。这种由浅入深的探索方式是中考探索类问题的特点。 解：（1）24 24 24 （2）对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A、C、B、D重合）的任意情形，四边形ABCD的面积为定值24。证明如下： 显然， （3）所围成的封闭图形的面积仍

16、为24。 三、观察猜想型探索题 例3. （山西省）如图7，正方形ABCD的边CD在正方形EFGC的边CE上，连接BE、DG。 图7 （1）观察并猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论； （2）图7中是否存在通过旋转能够互相重合的三角形？若存在，请说明旋转过程；若不存在，说明理由。 分析：证明题是直接给出结论，要求寻找结论成立的理由，而这一类探索题是题目没有给出结论，要求自己下结论，并证明结论成立。这就要求有较强的观察猜想能力。 解：（1）BE＝DG，证明如下： 在Rt△BCE和Rt△DCG中，BC＝CD，CE＝CG，

17、 ∴△BCE≌△DCG。故BE＝DG。 （2）将Rt△BCE绕点C顺时针旋转90°，可与Rt△DCG重合。 四、图形计数型探索题 例4.如图8，在图（1）中，互不重叠的三角形有4个，在图（2）中，互不重叠的三角形有7个，在图（3）中，互不重叠的三角形有10个，…，则在图（n）中互不重叠的三角形有_______个（用含n的代数式表示）。 图8 分析：这类图形计数型探索题有线段计数、射线计数、角计数等。解这类题首先要通过几个具体图形寻找规律，然后写出公式，或称一般表达式。解题的关键是找规律。 解：图（1）：1＋1×3＝4；图（2）：1＋2×3＝7；图（

18、3）：1＋3×3＝10。 所以图（n）中有1＋3n个互不重叠的三角形，应填3n＋1。 五、其他类型探索题 例5.如图9，已知AC、AB是⊙O的弦，AB＞AC。 (1) (2) 图9 （1）在图9（1）中，判断能否在AB上确定一点E，使得AC2＝AE·AB，并说明理由； （2）在图9（2）中，在条件（1）的结论下，延长EC到P。连接PB，如果PB＝PE，试判断PB和⊙O的位置关系，并说明理由。 分析：一般的探索题是由特殊到一般，探求结论的普遍性，而这道题是两个小题互相独立，只是基本图形相同。题（1）是作出满足线段关系式的图形，题（2）

19、是判断图形中的一些线段的相互关系。 解：（1）作法有多种，这里举一例。如图10，在⊙O上取点D，使＝，连接CD交AB于点E，则有AC2＝AE·AB。连接BC，显然△ACE∽△ABC，则AB：AC＝AC：AE，故AC2＝AE·AB。 图10 （2）如图11，过点B作⊙O的直径BF，连接CF、BC。可以证明∠PBC＋∠FBC＝90°，即PB⊥BF。所以PB是⊙O的切线。 图11 三．归纳与猜想 一、 知识综述 归纳是一种重要的推理方法，是根据具体事实和特殊现象，通过实验、观察、比较、概括出一般的原理和结论。 猜想是一种直觉思维，它是通过

20、对研究对象的实验、观察和归纳、猜想它的规律和结论的一种思维方法。 猜想往往依据直觉来获得，而恰当的归纳可以使猜想更准确。我们在进行归纳和猜想时，要善于从变化的特殊性中寻找出不变的本质和规律。 二、理解掌握 例1、用等号或不等号填空： （1）比较2x与x 2＋1的大小 ①当x＝2时，2x x 2＋1； ②当x＝1时，2x x 2＋1； ③当x＝－1时，2x x 2＋1． （2）可以推测：当x取任意实数时，2x x 2＋1． 分析：本题是通过计算发现和猜想一般规律题，正确计算和发现规律是关键。 解：（1）＜，＝，

21、＜； （2）≤。 例2、观察下列分母有理化的计算： ，，， …从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算： =＿＿＿＿。 分析：解本题时，要抓住分每有理化后的结果都是两数之差，且可以错位相消。还要注意相消后所剩下的是什么。 解： = = =2002—1 =2001。 例3、 观察下列数表： 1 2 3 4 … 第一行 2 3 4 5 … 第二行 3 4 5 6 … 第三行 4 5 6

22、 7 … 第四行 … … … … 第一列 第二列 第三列 第四列 根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为＿＿＿＿，第n行与第n列交叉点上的数应为＿＿＿＿。（用含正整数n的式子表示） 分析：本题要求的是同行同列交叉点上的数，因此，必须先研究同行同列交叉点上的数有什么规律，然后利用此规律解题。 解： 11 ， 2n—1. 例4、将一个边长为1的正方形纸，剪成四个大小一样的正方形，然后将其中的一个按同样的方法剪成四个正方形，如此循环下去，观察下列图形和所给表格中的数据后填空格。

23、 操作的次数 1 2 3 ... 10 ..... n …… 正方形个数 4 7 10 …… 分析：解本题的关键是：先归纳总结操作的次数与正方形个数之间的关系，再猜想空格中的结果。 解：操作的次数是 10时，正方形个数为31；操作的次数是 n时，正方形个数为1+3n. 例5、 下面三个图是由若干盆花组成形如三角形的图案，每条边（包括顶点）有n(n>1)盆花，每个图案花盆总数为S，按此规律推断，S与n的关系式是＿＿＿＿＿＿。 n=2 n=3 n=4 S=3

24、 S=6 S=9 分析：题目给出了“每条边（包括顶点）有n(n>1)盆花”，而三角形有三条边，因此，三条边上的的花盆数量为3n，但每个顶点上的花盆用了两次，必须减去。所以S=3n—3。 解：S=3n—3。 三、拓宽应用 例6、⑴如下表：方程1，方程2，方程3，……，是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的空白处： 序号 方程 方程的解 1 ＿＿ ＿＿ 2 3 … … … … ⑵若方程的解是，，求a，b的值，该方程是不是⑴中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几

25、个方程？ ⑶请写出这列方程中的第n个方程和它的解，并验证所写出的解适合第n个方程。 分析：通过解方程不难求出：x1=3,x2=4，将，代入方程易求a=12,b=5。 本题较难的是写出第n个方程和它的解，解决难点的关键是观察表格中方程和它们的解的排列规律，特别是每个变化的数与序号的关系。 解：（1）解方程得，x1=3,x2=4； （2）将，代入方程，易求得a=12,b=5； （3）第n个方程是：，它的解是：。 例7、图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直放行上的边长均为b）： ●在图1中，将线段向右平移1个单位到，得到封闭图形（即阴影部分）

26、●在图2中，将折线向右平移1个单位到，得到封闭图形（即阴影部分） （图1） （图2） （图3） ⑴在图3中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭的图形，并用斜线画出阴影； ⑵请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： =＿＿＿＿；=＿＿＿＿；=＿＿＿＿ ⑶联想与探索： 如图4，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的。 分析：本题考查的内容较多，有动手操作、有计算、有归纳猜想，还有想象。（1）和（2）两问并不困难，

27、第（3）问可想象将中间的小路从中抽去，再拼起来后仍然是一个矩形，这时它的两边长分别是a—1,b，这样面积就不难求了。 解：（1） （2）=ab--b；=ab--b；=ab—b; (3) 空白部分表示的草地面积是ab—b。（可想象将中间的小路从中抽去，再拼起来后仍然是一个矩形，这时它的两边长分别是a—1,b） 例8、阅读下列材料，按要求解答问题。 ⑴观察下面两块三角尺它们有一个共同的性质：∠A=2∠B。我们由此出发来进行思考。在图a中，作斜边上的高CD，由于∠B=30°，可知c=2b，∠ACD=30°，于是AD=，BD=，由△CDB∽△ACB ，可知，即，同理，于是。

28、 图a 图b 图c 对于图b由勾股定理有，由于b=c，故也有，这两块三角尺都具有性质，在△ABC中，如果有一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这种三角形为倍角三角形。两块三角尺就都是特殊的倍角三角形，上面的性质仍然成立吗？暂时把我们的设想作为一个猜测： 如图c，在△ABC中，若∠CAB=2∠ABC，则，在上述由三角尺的性质到“猜测”这一认识过程中，用到了下列四种数学思想方法中的哪一种？选出一个正确的将其序号填在括号内（ ） ① 分类的思想方法；②转化的思想方法；③由特殊到一般的思想方法；④

29、数形结合的思想方法。 ⑵这个猜测是否正确？请证明。 分析：通过阅读可以发现：本题的研究是先从特殊情况入手，再得出一般情况的结论，因此，主要运用的是由特殊到一般的思想方法。故选③；一般情况下的证明虽然方法较多，但是有一定的难度，应加强解题思路的分析。 解：（1）③； （2）猜测是正确的。 证明：延长BA到D，使AD=AC=b，连结CD，则∠ACD=∠ADC， ∵∠BAC=∠ACD+∠ADC，∴∠BAC=2∠ADC C ∴ ∴ ∵∠BAC=2∠ABC ∠ABC=∠ADC，且BC=CD=a，∴△ACD∽△CBD b a a c D b B A

30、想一想：还有其他证明方法吗？ 四、巩固训练 1、观察下列有规律的数，并根据规律写出第五个数： ＿＿＿ 2、观察下列图形并填表。 1 1 1 2 梯形的个数 1 2 3 4 5 6 …… n 周长 5 8 11 14 …… 3、 下列每个图形都是若干棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有n（n≥2）个棋子，每个图案的棋子总数为S，按下图的排列规律推断，S与n之间的关系可以用式子＿＿＿＿来表示。 · · · · · · ·

31、· · · · · · · · · · · · · · · · n=2 · · · · · · · S=4 n=3 · · · · · · S=8 n=4 · · · · · S=12 n=5 S=16 4、⑴判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括号内打“√

32、”，不成立的打“×” ①（ ） ②（ ） ③ （ ） ④（ ） ⑵你判断完以上各题后，发现了什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来，并注明n的取值范围：＿＿＿＿＿＿＿＿。 ⑶请用数学知识说明你所写的式子的正确性。 5、已知AC、AB是⊙O的弦，AB＞AC。（1）如图9，能否在AB上确定一个点E，使AC=AE·AB，为什么？（2）如图10，在条件（1）的结论下延长EC到P，连结PB。如果PB=PE，试判断PB和⊙O的位置关系并说明理由。（3）在条件（2）的情况下，如果E是PD的中点，那么C是PE的中点吗？为什么？（重庆市中考试题）

33、 A A D C C E O O P B B 图9 图10 本题三个小题全是结论探索题。 参考答案 1、

34、， 2、17，20，2+3n 3、4n-4 4、（1）√√√√，（2） 5、（1）能，连结BC，作∠ACE=∠B。（证明略） （2）PB是⊙O的切线（证明略） （3）是。（提示：利用切割线定理和PE=PB、PD=2PE）。 四．阅读理解题 一．知识综述 1、何种问题是阅读理解题？ 阅读理解类问题，就是既考查同学们的阅读能力，同时又考查同学们数学基础理论水平的问题。 2、阅读理解题的结构如何？ 阅读理解题的结构一般包括阅读材料和阅读目的两部分。 3

35、、阅读理解题的特点是什么？ 阅读理解类题的篇幅一般较长，信息量较大，各种关系错综复杂，不易梳理； 就考查方法而言，不仅要求同学回答是什么，而且要求回答为什么？如果正确，要说出根据；如果错误，要说出理由；如果缺少条件，要补齐条件；如果步骤不全，要补全步骤。 有时要提出猜想，有时要给出证明，有时问数学思想方法，有时问理论根据和方案。既注重最终结果，又注重理解过程。 二、 理解掌握 例1：计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，如(1101)表示二进制数，转换为十进制形式是，那么将二进制(1111)转换为十进制形式是数（ ） A、8 B、15

36、 C、20 D、30 分析：本题考查的是二进制与十进制这间的转化，首先要理解二进制与十进制的含义，然后要学会它们这间的转化方法。本题已给出了一个例子，因此，只要按例子做即可。 解：。故选 B。 例2：阅读下面材料并完成填空。 你能比较两个数和的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较的大小（n≥1的整数）。然后，从分析n=1,n=2,n=3,……，从这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论。 ⑴通过计算，比较下列①～③各组两个数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=” ） ① ＿＿＿＿2 ②＿＿＿＿3 ③＿＿＿＿ ④＞ ⑤

37、 ⑥ ⑦ ⑵从第⑴小题的结果经过归纳，可以猜想出的大小关系是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ⑶根据上面归纳猜想得到的一般结论，可以得到＿＿＿＿（填“＞”、“＝”或“＜” 分析：要比较和的大小，直接计算是不可能的，本题阅读材料部分实际上给出了从简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论，进而最后比较大小的方法。解：（1）＜，＜，＞； （2）当；当； （3）＞。 例3：阅读下列材料： F E D C B A （图1） （图2）

38、 （图3） （图4） 如图1，把△ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度，可以变到△ECD的位置； 如图2，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置； 如图3，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置。 象这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换。回答下列问题： ⑴在图4中，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置？答：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 ⑵指出图4中线段BE与

39、DF之间的关系。 答：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 分析：本题是南京市的中考题，本题介绍了什么叫做全等变换。大家要注意全等变换只改变图形的位置，其形状和大小不变，到底是按平行移动、翻折、旋转中的哪一种，要看它的位置是如何变化的。另外，线段BE与DF之间的关系不仅有数量关系，而且要注意位置关系。 解：（1）△ABE绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADF。 （2）BE=DF且BE⊥DF。 例4：阅读后，请回答 已知x>0，符号表示大于或等于x的最小正整数，如：［0.3］=1，［3.2］=4，［5］=5 … ⑴填空：［］=＿＿＿＿；［6.01］=＿＿

40、＿＿；若［x］=3，则x的取值范围是＿＿＿＿。 ⑵某市的出租车收费标准规定如下：5km以内（包括5km）收费6元，超过5km的， 每超过1km，加收1.2元（不足1km的按1km计算），用x表示所行的公里数，y表示行x公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当05（单位：公里）时，y=6+1.2×［x-5］(元) 某乘客乘车后付费21.6元，求该乘客所行的路程x（km）的取值范围。 分析：表示大于或等于x的最小正整数，实际上是对数x取整，注意这里不是四舍五入。［x］=3时，求字母x的范围，要考虑x取的值大于2，同时不大于3。 解：

41、（1）1； 7； 2＜x≤3.. （2）由21.6=6+1.2×［x-5］ 解得［x-5］=13，所以 17＜x≤18。 例5：阅读材料，解答问题。 阅读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化。例如：由抛物线 ……（1） 有，……（2） ∴抛物线顶点坐标为（m，2m-1）。 即 当m的值变化时，x，y的值也随之变化，因而y的值也随x值的变化而变化。 将（3）代入（4），得y=2x-1……（5） 可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足关系式： y=2x-1; Ⅰ、

42、在上述过程中，由（1）到（2）所用的数学方法是＿＿＿＿。其中运用了＿＿＿＿公式，由（3）、（4）得到（5）所用的数学方法是＿＿＿＿。 Ⅱ、根据阅读材料提供的方法，确定抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x之间的关系式。 分析：本题考查的是数学思想方法，解题时应注意观察阅读材料中有关内容，领会变形的方法和手段，回忆老师在教学中介绍的数学知识和数学思想方法，并加以对照。 解：Ⅰ、配方法，完全平方公式 ； Ⅱ、由，配方得 则 消去m 得。 因此，抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x之间的关系式为：。 三、拓宽应用 例6：阅读材料，解答问题。 图1

43、图2 图3 命题：如图1，在锐角△ABC中，BC=a,CA=b,AB=c, △ABC的外接圆半径为R，则 。 证明：连结CO并延长交⊙O于点D，连结DB，则∠D=∠A， ∵CD为⊙O的直径，∴∠DBC=90°， 在Rt△DBC中， ∵， ∴， 同理：， ∴ 请你阅读前面所给的命题及其证明后，完成下面的⑴、⑵两小题。 ⑴前面的阅读材料略去了“”的证明过程，请你把“”的证明过程补写出来。 ⑵直接用前面阅读材料中命题的结论解题。 已知：如图3，在锐角△ABC中，BC=，CA=，∠A=60°，求△ABC的外接圆半径R及∠C。 分析：本题阅读材

44、料采用的是作直径将锐角三角形中的问题转化为直角三角形中解决的方法，这是中考中经常考查的方法。而问题（1）只需采用类似的方法即可。问题（2）是阅读材料中结论的直接运用。 解：证明：连结AO并延长交⊙O于点D，连结DC，则∠D=∠B， ∵AD为⊙O的直径，∴∠DCA=90°， 在Rt△DAC中， ∵， ∴。 （2∵BC=，∠A=60°，）由， ∴。R=1。 又∵，CA=，R=1，∴，∠B=45°。因此，∠C=75°。 例7、阅读下面短文： 如图①，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上

45、，那么符合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB（如图②） ① ② ③ ④ 解答问题： ⑴设图②中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为，则＿＿（填>、<或=） ⑵如图③，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合条件的矩形可以画＿＿＿＿个，利用图③把它画出来。 ⑶如图④，△ABC是锐角三角形且三边满足BC>AC>AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出＿＿＿＿个，利用图④把它画出来。 ⑷在⑶中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？ 分

46、析：本题的问题（1）要抓住同底等高的三角形的面积是矩形面积的一半。问题（2）和（3）是画图，要注意按题目的要求画。问题（3）比较困难，首先结论需要探求，其次证明中用到了“作差比较大小”的方法，大家不熟悉。 解：（1）∵= =S△ABC ∴填“=”； （2） 一； （3） 三； （4）设BC=a,AC=b,BC=c，矩形的面积为S， 以AB为边的矩形的周长为L1，以AC为边的矩形的周长为L2， 以BC为边的矩形的周长为L3。 则L1=，L2=，L3=。 ∵ L2-- L1=，而bc>S（为什么？）,b>c，∴L2＞ L1。同理L3＞L2。 ∴ 以AB为边

47、的矩形的周长最小。 四、巩固训练 1、 九年义务教育三年制初级中学《几何》第二册第180页第2题： A、B两点被池塘隔开，在A、B外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20m，那么AB=2×20 m=40 m 图1 图2 图3 ⑴也可以由图2，用相似三角形知识来解，请根据题意填空： 延长AC到D，使CD=AC，延长BC到E，使CE=＿＿＿＿，则由相似三角性质，得 AB=＿＿＿＿。 ⑵还可以由三角形全等的知识来设计测量方案，求出AB的长，请用上面类似的步骤，在

48、图3中画出图形并叙述你的测量方案。 2、 如图（a）所示：在平面上,给定了半径为r的⊙O，对于任意点P，在射线OP上取一点P′，使得OP×OP′=，这种把点P变成点P′的变换叫做反演变换，点P与点 P′叫做互为反演点。 ⑴如图(b)所示：⊙O内外各一点A和B，它们的反演点分别为A′和B′，求证：∠A′=∠B； ⑵如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形。 ① 选择：如果不经过点O的直线与⊙O相交，那么它关于⊙O的反演图形是（ ）； A、一个圆 B、一条直线 C、一条线段 D、两条射线 ② 填空：如果直线L与⊙

49、O相切，那么它关于⊙O的反演图形是＿＿＿＿，该图形与⊙O的位置关系是＿＿＿＿。 (图a) (图b) 3、某村实行合作医疗制度，村委会规定： （一） 每位村民年初缴纳合作医疗基金a元； （二） 村民个人当年治病花费的医疗费（以医院的收据为准）年底按下列办法处理： 村民个人当年花费的医疗费 医疗费的处理办法 不超过b元的部分 全部由村集体承担（即全部报销） 超过b元不超过5000元的部分 个人承担c%，其余部分由村集体承担 超过5000元的部分 全部由村集体承担 设一位村民当年治病花费的医

50、疗费为x元，他个人实际承担的医疗费用（包括医疗费中个人承担的部分和缴纳的合作医疗基金）为y元。 （1） 当0≤x≤b时，y=a，当b＜x≤5000时，y=＿＿＿＿＿＿＿（用含a,b,c,x的式子表示） （2） 下表是该村4位村民2001年治病花费的医疗费和个人实际承担的费用，根据表格中数据，求a,b,c，并且求当b＜x≤5000时，函数y的解析式。 村民 治病的医疗费x（元） 个人实际承担的费用y（元） A 20 30 B 40 30 C 90 50 D 150 80 （3） 村民个人一年最多承担医疗费用多少元？ 参考答案 1、（1），2DE；（2

51、）如图，延长AC到点D，延长BC到点E， E 使CD=AC，CE=BC，易证△ABC≌△DEC。则AB=DE。 2、（1）∵A、B的反演点分别是A`、B`， D ∴OA·OA`=，OB·OB`= ∴OA·OA`=OB·OB` 则OA：OB`=OB：OA`，又∵∠O=∠O。∴△ABO≌△B`A`O。∴∠A`=∠B。 （2）① A ，② 圆，内切。 3、（1）y=(x—b)c%+a；（2）甲、乙两人医疗费不同，但实际承担的费用相同，说明他们不超过b元，a=30.丙，丁超过30元，但不超过5000元，由丙、丁得解得b=50,c=50, ∴函数角析式为：；（3）一人最多承担医疗

52、费为2505元。 五．开放性探索题 一、填空题 1.如图1,若AC、BD、EF两两互相平分于点O,请写出图中的一对全等三角形(只需写一对即可)_________. (1) (2) (3) 2.如图2,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,给出下列结论:①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN.其中正确的结论是______.(注:将你认为正确的结论都填上) 3.若抛物线过点(1,0

53、),且其解析式中二次项系数为1,则它的解析式为___________.(任写一个). 4.如图3,已知AC=DB,要使△ABC≌△DCB,只需增加的一个条件是_________或_________. 5.写出一个当x>0时,y随x的增大而增大的函数解析式________. 6.在△ABC和△ADC中,下列三个论断:①AB=AD,②∠BAC=∠DAC,③BC=DC,将其中的两个论断作条件,另一个论断作为结论写出一个真命题__________. 7.请用“如果……,那么……”的形式写一个命题:__________________. 8.写出一个图象位于一、三象限的反比例函数表示式_

54、________. 9.如图,请写出等腰梯形ABCD(AB∥CD)特有而一般梯形不具有的三个特征:_________,_________,__________. 二、解答题 1.如图,下面四个条件中,请你以其中两个为已知条件,第三个为结论,推出一个正确的命题(只需写出一种情况). ①AE=AD ②AB=AC ③OB=OC ④∠B=∠C. 2.如图,已知△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形,底边BC、CE、EG在同一直线上,且AB=,BC=1,连结BF,分别交AC、DC、DE于点P、Q、R. (1)求证:△BFG∽△FEG,并求出BF的长. (2

55、)观察图形,请你提出一个与点P相关的问题,并进行解答. 3.阅读材料,解答问题: 材料:“小聪设计的一个电子游戏是:一电子跳蚤从P1(-3,9)开始,按点的横坐标依次增加1的规律,在抛物线y=x2上向右跳动,得到点P2、P3、P4、P5…(如图①所示),过P1、P2、P3分别作P1H2、P2H2、P3H3垂直于x轴,垂足为H1、H2、H3,则S△P1P2P3=S梯形P1H1H3P3-S梯形P1H1H2P2-S梯形P2H2H3P3=(9+1)×2-(9+4)×1-(4+1)×1=1.,即△P1P2P3的面积为1” 问题: (1)求四边形P1P2P3P4和四边形P2P

56、3P4P5的面积(要求:写出其中一个四边形面积的求解过程,另一个直接写出答案); (2)猜想四边形Pn-1PnPn+1Pn+2的面积,并说明理由(利用图②). (3)若将抛物线y=x2改为抛物线y=x2+bx+c,其他条件不变,猜想四边形Pn-1PnPn+1Pn+2的面积(直接写出答案). ① ② 4.如图,梯形ABCD,AB∥DC,AD=DC=CB,AD、BC的延长线相交于G,CE⊥AG于E,CF⊥AB于F. (1)请写出图中4组相等的线段(已知的相等线段除外);

57、 (2)选择(1)中你所写出的一组相等线段,说明它们相等的理由. 参考答案 一、 1.△DOF≌△BOE 2.①②③ 3.y=x2-1或y=x2-2x+1等 4.AB=DC,∠ACB=∠DBC 5.y=x或y=-或y=x2等 6.已知:AB=AD,∠BAC=∠DAC,求证:BC=DC. 或已知:AB=AD,BC=DC, 求证:∠BAC=∠DAC. 7.略 8.y=,其中k>0. 9.∠A=∠B,∠D=∠C,AD=BC 二、 1.已知:① 或②或③ 求证:①∠B=∠C,或②AE=AD,或③AB=AC.

58、证明:①△ABE≌△ACD∠B=∠C; 或②△ABE≌△ACDAE=AD; 或③△ABE≌△ACDAB=AC. 2.(1)证明:∵△ABC≌△DCE≌△FEG, ∴BC=CE=EG=BG=1,即BG=3. ∴FG=AB= ,∴= 又∠BGF=∠FGE,∴△BFG∽△FEG. ∵△FEG是等腰三角形,∴△BFG是等腰三角形. ∴BF=BG=3. (2)A层问题(较浅显的,仅用到了1个知识点). 例如:①求证:∠PCB=∠REC(或问∠PCB与∠REC是否相等?)等; ②求证:PC∥RE.(或问线

59、段PC与RE是否平行?)等. B层问题(有一定思考的,用到了2～3个知识点).例如:①求证:∠BPC=∠BFG等,求证:BP=PR等. ②求证:△ABP∽△CQP等,求证:△BPC∽△BRE等; ③求证:△APB∽△DQR等;④求BP:PF的值等. C层问题(有深刻思考的,用到了4个或4个以上知识点或用到了(1)中结论). 例如:①求证:△APB≌△ERF; ②求证:PQ=RQ等; ③求证:△BPC是等腰三角形; ④求证:△PCQ≌△RDQ等; ⑤求AP:PC的值等; ⑥求BP的长; ⑦求证:PC= (或求PC的长)等. A层

60、解答举例. 求证:PC∥RE. 证明:∵△ABC≌△DCE, ∴∠PCB=∠REB. ∴PC∥RE. B层解答举例. 求证:BP=PR. 证明:∵∠ACB=∠REC,∴AC∥DE. 又∵BC=CE,∴BP=PR. C层解答举例. 求AP:PC的值. 解:∵AC∥FG,∴,∴PC=. ∵AC=,∴AP=-=,∴AP:PC=2. 3.解:(1)如图,由题意知: P1(-3,9),P2(-2,4),P3(-1,1),P4(0,0). S四边形P1P2P3P4=S△P1H1P4-S梯形P1H1H

61、2P2-S梯形P2H2H3P3-S△P3H3P4 =×9×3-×(9+4)×1-×(4+1)×-×1×1=4. S四边形P2P3P4P5=4. (2)四边形Pn-1PnPn+1Pn+2的面积为4. 理由: 过点Pn-1、Pn、Pn+1、Pn+2分别作Pn-1Hn-1、PnHn、Pn+1Hn+1、Pn+2Hn+2垂直于x轴,垂足分别为Hn-1、Hn、Hn+1、Hn+2. 设Pn-1、Pn、Pn+1、Pn+2四点的横坐标依次为x-1,x,x+1,x+2,则这两个点的纵坐标分别为(x-1)2,x2,(x+1)2,(x+2)2. 所以四边形Pn-1PnPn+1Pn+2的

62、面积 =梯形Pn-1Hn-1Hn+1Pn+2的面积-梯形Pn-1Hn-1HnPn的面积-梯形PnHnHn+1Pn+1-梯形Pn+1Hn+1Hn+2Pn+2的面积 =[(x-1)2+(x+2)2]-[(x-1)2+x2]-·[x2+(x+1)2]-[(x+1)2+(x+2)2] =(x-1)2+(x+2)2-x2-(x+1)2=4. (3)四边形Pn-1PnPn+1Pn+2的面积为4. 4.(1)DG=CG;DE=BF;CF=CE;AF=AE;AG=BG. (2)举例说明AG=BG. ∵在梯形ABCD中,AB∥DC,AD=BC, ∴梯形ABCD为

63、等腰梯形. ∴∠GAB=∠GBA.∴AG=BG.毛 六．探索性问题 一、探索性问题是指命题中缺少一定的题设或没有明确的结论,需要经过推断、补充、并加以证明的问题.其典型特点是不确定性.主要包括(1)条件探索型，(2)结论探索型，(3)存在性探索型等. 条件探索型是指结论已明确，需要探索发现使结论成立的条件的题目；结论探索型是指在一定的条件下无结论或结论不明确，需要探索发现与之相应的结论的题目；而存在型探索题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目。 探索性问题由于它的题型新颖、涉及面广、综合性强、难度较大，不仅能考查学生的数学基础知识，而且

64、能考查学生的创新意识以及发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的能力，因而倍受关注。 探索性问题解法，根据已知条件，从基础知识和基本数学思想方法出发，结合基本图形，抓住本质联系进行探究，常用观察、试验、联想、归纳、类比等方法，进行分析、归纳、猜想、比较、推理等，直到得出答案。题目的答案也是多种多样的，有的题目有唯一解，有的题无解，也有的题要分几种情况讨论。 解结论探索型题的方法是由因导果；解条件探索型的方法是执果索因；解存在性探索题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论。解题时应注意知识的综合运用。 二、理解掌握 例一、已知：（

65、如图）要使ΔABC∽ΔAPB，需要添加的条件是_____（只填一个）.(答案：∠ABP=∠C,或∠ABC=∠APC,或AB2=AP·AC) A B C P 说明：该图是初二几何的基本图形，是解决其他问题的基础，应牢记。 例二、如图， ☉O与☉O1外切于点T，AB为其外公切线，PT为内公切线，AB与PT相交于点P,根据图中所给出的已知条件及线段,请写出一个正确结论,并加以证明.(本题将按正确答案的难易程度评分) . . O O1 A B P T 结论1: PA=PB=PT 结论2:AT⊥BT.(或AT2+BT2=AB2) 结论3:

66、∠BAT=∠TBO1 结论4: ∠OTA=∠PTB 结论5:∠APT=∠BO1T 结论6:∠BPT=∠AOT 结论7:ΔOAT∽ΔPBT 　　 结论8:ΔAPT∽ΔBO1T 设OT=R, O1T=r, 结论9:PT2=Rr 结论10: AB=2√Rr 结论11:S梯形AOO1B=(R+r)√Rr 结论12:以AB为直径的☉P必定与直线OO1相切于T点. 说明：你还能得出其它的结论吗？试试看。本题是由初三几何书上的例题改编的，对基本图形的再认识，对图形间的内在关系的深刻挖掘，有助于透彻理解知识。 例三、已知二次函数ｙ＝１／２ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象经过点Ａ（－３，６）、和ｘ轴交于点Ｂ（－１，０）和点Ｃ，抛物线的顶点为Ｐ. （１）求这个函数的解析式； （２）线段ＯＣ上是否存在点Ｄ，使∠ＢＡＣ＝∠ＣＰＤ 分析：函数的解析式为ｙ＝１／２ｘ２－ｘ－３／２ ＝１／２（ｘ－１）２－２， 各点坐标分别为：Ａ（-3，6）、Ｂ（-1，0）、Ｃ（3，0）、 Ｅ（-3，0）、Ｆ（1，O