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1、高一数学必修4第二章平面向量数量积的物理背景及其含义 平遥中学 史宏刚一、教学内容分析以物体受力做功为背景引入数量积的概念，使向量数量积运算与物理知识了解起来；向量数量积与向量的长度及夹角的关系；进一步探究两个向量的夹角对数量积符号的影响及有关的性质、几何意义和运算律。本节内容安排在普通高中课程标准实验教科书数学必修4（A版）第二章、第4节第1课时。它是平面向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。本节的知识结构：二、学生学习情况分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌
2、握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法。 在功的计算公式和研究向量运算的一般方法的基础上,学生基本上能类比得到数量积的含义和运算律,对于运算律不一定给全或给对,对运算律的证明可能会存在一定的困难,教学中老师要注意引导学生分析判断.三.设计思想： 遵循新课标以人为本的理念，以启发式教学思想和建构主义理论为指导，采用探究式教学，以多媒体手段为平台，利用问题让学生自主地参与探究，在探究过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展， 引导学生积极将知识融入自己的知识体系。四.教学目标：1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其几何意义；2、体会
3、平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。五.教学重点和难点:重点是平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角；难点是平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用。六.教学过程设计：活动一：创设问题情景，引出新课SF问题1： 回忆物理中“功”的计算，它的大小与哪些量有关？ 若一个物体在力的作用下产生的位移为，那么力所做的功等于多少？ 设计意图：以物理问题为背景，初步认识向量的数量积，为引入向量的数量积的概念做铺垫。师生互动 生： （其中
4、是和的夹角）。师：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量来确定？显然功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。从中我们得到一个启发：能否将功看成是两个“向量相乘”的一种运算的结果呢？从而得出平面向量的“数量积”的概念。 活动二：探究数量积的定义问题2：功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功”称为向量F与s “数量积”.一般地，对于非零向量与的数量积是指什么？（1） 数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量cos叫做与的数量积（或内积），记作：，即：= cos问题3：对于两个非零向量与，设其夹角为，=a|bcos.那么ab的运算结果是向量还是数量？ 两向量
5、的数量积是一个数量定义说明：“”中间的“”不可以省略，也不可以用“ ”代替。 问题4：特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？ 规定：零向量与任何向量的数量积为零。设计意图：1.认识向量的数量积的实际背景。2.使学生在形式上认识数量积的定义。3.从数学和物理两个角度创设问题情景，使学生明白为什么研究这种运算,从而产生强烈的求知欲望问题5：对于两个非零向量与，设其夹角为，那么bcos的几何意义如何？对非零向量与，定义| b | cos叫向量b 在a 方向上的投影问题6：向量在方向上的投影一定是正数吗？如图，=，过点作垂直于直线，垂足为，则我们把（cos）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，为锐角
6、时， 为钝角时， 为直角时，| cos0 | cos0 | cos=0设计意图：引导学生通过自主研究，明确两个向量的夹角决定它们的数量积的符号，进一步从细节上理解向量数量积的定义。问题7：根据投影的概念，数量积=a|bcos的几何意义如何？数量积等于的长度与在的方向上的投影cos的乘积。设计意图：这里将数量积的几何意义提出，使学生从代数和几何两个方面对数量积的特征有了更加充分的认识活动三：探究数量积的运算性质尝试练习：一物体质量是10千克，分别做以下运动：、竖直下降10米；、竖直向上提升10米；、在水平面上位移为10米； 、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；分别求重力做功的大小。设计意图：通
7、过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，巩固对定义的理解；另一方面使学生理解数量积的物理意义，明白学科间的了解，同时也为数量积的性质埋下伏笔。问题8：将尝试练习中的 的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论？ 设、都是非零向量，是与的夹角，则；判断垂直的又一条件当与同向时，；当与反向时，；特别地：或；求模的方法；（|0）求角的方法；若是与方向相同的单位向量，则设计意图：将尝试练习的结论推广得到数量积的运算性质，使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。活动四：探究数量积的运算律问题9：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？答:交换律：ab=
8、ba 结合律：(ab)c=a(bc)分配律：(a+b)c=ac+bc猜想：= （）= () （ + ） = + 2、分析猜想：猜想的正确性是显而易见的。关于猜想的正确性，请同学们先讨论：猜测的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？答：左边是与向量共线的向量，而右边则是与向量共线的向量，显然在向量与向量不共线的情况下猜测是不正确的。设计意图：要求学生通过对过去所学过的运算律的回顾类比得出数量积的运算律。通过讨论纠错来理解不同运算的运算律不尽相同，看到数学的法则与法则间的相互了解与区别，体会法则，学习研究的重要性。 3、明晰：数量积的运算律：已知向量、 、和实数，则：（1）= （2）（）=（)=
9、 （）（3）（ + ）= + 活动五：应用与提高1.已知=6，=4, 与的夹角为60，求（+2 ）（-3），并思考此运算过程类似于哪种实数运算？2、学生独立完成：对任意向量 ，b是否有以下结论：（1）(+)2=2+2+2 （2）(+ )(-)= 22设计意图：让学生体会解题中运算律的作用，比较向量运算与数运算的异同。3、师生共同完成：已知=3，=4, 且 与不共线，k为何值时，向量+k与-k互相垂直？并讨论：通过本题，你有什么体会？设计意图：学会利用数量积来解决垂直问题，体会用数量积将几何问题转化为方程求解，体现向量的工具性。4、反馈练习（1）判断下列各题正确与否：、若0，则对任一非零向量，有
10、0、若0，则（2） 已知ABC中，=, =，当 0或0时，试判断ABC的形状。设计意图：1.加强学生的练习。2.通过观察、问答等方式对学生的掌握情况有了进一步的了解和把握。活动六：归纳小结 1、本节课我们学习的主要内容是什么？2、平面向量的数量积有哪些应用？3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究？在运算律的探究过程中，渗透了哪些数学思想？设计意图：通过学生讨论总结，加强了学生概念法则的理解和掌握，体会整个内容的研究过程，明白了为什么要学这些内容，学了这些内容可以做什么，这对以后的学习有什么指导意义。活动七：布置作业 1、课本P119习题2.4A组1、3、6、7。2、拓展与提高：
11、已知与都是非零向量，且+3 与7 -5垂直，-4与 7-2垂直，求与的夹角。（本题供学有余力的同学选做）设计意图：通过设计不同层次的作业既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而达到激发兴趣和“减负”的目的。七.教学反思：本节课从总体上说是一节概念教学，从数学和物理两个角度创设问题情景来引入数量积概念能激发学生的学习兴趣，。通过安排学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格和将数量积的几何意义提前有助于学生更好理解数量积的结果是数量而不是向量。数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，这两方面的内容按照创设一定的情景，让学生自己去探究、去发现结论,教师明晰后，再由学生或师生共同完成证明。这样能更清楚地看到数学法则与法则间的了解与区别,体会法则学习研究的重要性,例题和练习的选择都是围绕数量积的概念和运算律展开的,这能使学生更好在掌握概念法则. 友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编制，期待您的好评与关注！6 / 6
平面向量数量积的物理背景及其含义(史宏刚)
