常微分方程第四章答案

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1、常微分方程第四章答案【篇一：常微分方程习题及评分标准答案】一、选择题（每题 3 分） 第一章：1微分方程 y?xy2?y?0 的直线积分曲线为（）（a）y?1 和 y?x?1 （b）y?0 和 y?x?1 （c）y?0 和 y?x?1 （d）y?1 和 y?x?1 第二章：2下列是一阶线性方程的是（）（a）dydx?x2?y （b）d2ydy3dx2?(dx)?xy?0 （c）(dy2dydydx)?xdx?xy2?0 （d）dx?cosy 3 下列是二阶线性方程的是（）（a）d2ydy dx2?xdx?x2?y （b）(dydx)3?(dydx)2?xy?0 （c）(x?1)dy2d2ydx

2、?xy?0 （d）dx 2?cosycosx4下列方程是 3 阶方程的为（ ）（a）y?x2?y3 （b）(dydx)3?xy?0 （c）(dydx)2?xd3y dydx3?y2?0 （d）dx?cosy3 5 微分方程 ( dydx)4?x(dydx)3?dydx?0 的阶数为（ ） （a）1（b）2（c）3 （d）46方程 (dydx)3?xd2y dx2?2y4?0 的阶数为（ ）（a）1 （b）2 （c）3（d）4 7针对方程 dydx?x?yx?y，下列说法错误的是（） （a）方程为齐次方程1（b）通过变量变换 u?y x可化为变量分离方程 （c）方程有特解 y?0（d）可以找到方

3、程形如 y?kx 的特解 y?(?1x 8 针对方程 y?sin2(x?y?1) ，下列说法错误的是（ ）（a）为一阶线性方程 ?2（d）方程的通解为 tan(x?y?1)?x?c 9 伯努利方程 dy?p(x)y?q(x)yndx，它有积分因子为（ ） （a）e?(n?1)p(x)dx （b）e?np(x)dx（c）xe?(n?1)p(x)dx （d）xe?np(x)dx10针对方程 dy dx ?y?y2(cosx?sinx) ，下列说法错误的是（） （a）方程为伯努利方程 （b）通过变量变换 z?y2 可化为线性方程（ c）方程有特解y?0 （d）方程的通解为 y?1cex?sinx11

4、方程 dydx?xf(y x 2)经过变量变换（ ）可化为变量分离方程。 （a）u?xy （b）u?y（c）u?y2（d）u?x2xx y12方程 x2 dydx?f(xy) 经过变量变换（ ）可化为变量分离方程。 （a）u?xy （b） u?yyx（c）u?x2（d）u?x2y13微分方程 ylnydx?(x?lny)dy?0 是（） （a）可分离变量方程 （b）线性方程（ c）全微分方程 （d）伯努利方程 14 针对方程 y2(1?y)?(2?y)2 下面说法错误的是（） （a）不显含 x 的形如 f(y,y)?0 的隐式方程 （b）设 2?y?yt ，原方程消去 y 后可求解2（c）方程

5、的通解为 y? 1?cx?c（d）方程有特解 y?2 15 方程 m(x,y)d?x为 n(x,y)?dy 其 0 中 m(x,y),n(x,y)x,y 的连续函数，如有 ?m?n?y?x?1 ，则方程的积分因子为（） m（a）?(x,y)?ey （b）?(x,y)?e?y （c）?(x,y)?ex （d）?(x,y)?e?x 16. 若函数 f(x) 满足关系式 f(x)?2x0 tf()dt?ln2, 则等于 f(x)? （ ） 2 x2xx2x（a）eln2 （b）eln2 （c）e?ln2 （d）e?ln2第三章： 17 方程 dy?1?lnx 满足条件 y(1)?0 的解的存在区间为

6、（）。 dx（a）(0,+ 18 已知方程) （b）0,+ ) （c）(1,+ ) （d）1,+ ) dy?f(x,y) （其中 f(x,y) 为区域 r 上的连续函数），则利普希兹条件是保 dx证方程初值解唯一的（ ）条件 （a）必要（ b）必要非充分（ c）充分 （d）充分必要 19利普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件 （a）必要（b）必要非充分（ c）充分 （d）充分必要 20方程 dy ?x2?y2 定义在矩形域 r:?2?x?2,?1?y?1 上，则经过点 (0,0) 的解存在唯 dx一区间为（ ）1111（a）?1,1 （b）?, （c）?2,2 （d）?,225

7、5 dy?x2?y2 解存在区间为（ ） 21方程 dx 11（a）?1,1 （b）(?,?) （c）?2,2 （d）?, 55 第四章： 22. 微分方程 y?y?ex?1 的一个特解应具有形式 (式中 a,b 为常数 )为（） （a） aex?b （b） axex?b （c） aex?bx (d) axex?bx 第 五章：323初值问题 x?2x?7tx?e?t?0,x(1)?7,x(1)?2 与下列（）一阶方程组等价。（a）x?01?7t2?x?0?7? ?et?,x(1)?2?（b）x?10?0?7? ?7t?2?x?et?,x(1)?2?（c）x?01?7t?2?x?0?7? ?e

8、t?,x(1)?2?（d）x?01?7t?2?x?0?et?,x(1)?7? ?2? 第六章：?dx?x24 线性驻定方程组 ?dt?y 的奇点 (0,0) 是（） ?dy?dt ?x?y （a）不稳定焦点 （b）稳定结点 （c）稳定焦点 （d）鞍点?dx?2x?25 线性驻定方程组 ?dt7y 的奇点 (0,0) 是（）?dy?dt ?x?2y （a）不稳定焦点 （b）稳定结点 （c）稳定焦点 （d）鞍点?dx?226 驻定方程组 ?x?y?x?dt的线性近似方程为（）?dy?x?y?y2?dt?dx?y?x?dx?y?x （a）?dt （b）?dt ?1?dy?x?y?dy?dt?dt?x

9、?y?1?dx?y?x?dx?y? （c）? （d）?x?1?dt?dt ?dy? ?dt?x?y?1?dy?dt?x?y27 已知 yx?2x ，则方程的 4 阶差分为（）4 （a）?4yx?24?2x （b）?4yx?2x （c）?4yx?34?2x（d）?4yx?4?2x28已知 yx?x5?3x2?x ，则方程的 6 阶差分为（）（a）?6yx?x2?1 （b）?6yx?9x?1 （c）?6yx?0 （d）?6yx?3x补充差分29已知 yx?2x ，则方程的 4 阶差分为（）（a）?4yx?24?2x （b）?4yx?2x （c）?4yx?34?2x（d）?4yx?4?2x 30已知

10、 yx?x5?3x2?x ，则方程的 6 阶差分为（） （a）?6yx?x2?1 （b）?6yx?9x?1 （c）?6yx?0 （d）?6yx?3x 二、填空题（每题 3 分） 第二章：dy?p(x)y 的通解为（其中 p(x) 为 x 的连续函数）。 dxdy?f(x)g(y) 的方程称为 y?y0 使得 g(y0)?0 成立，则 2 形如 dx1方程有为方程的解。 3伯努利方程 4方程 5方程 dy?ysinx?y2tanx ，立刻可以判断方程有特解为 _ 。 dxdy?2xy?4x 的通解为。 dx dyx? 的通解为 y? dxy6m(x,y),n(x,y) 为 x,y 的连续函数且有

11、连续的一阶偏导数 .方程 m(x,y)?dx(n,x?)y 为恰当方程的充要条件是 dy_.n(x,y)?dy 其 0 中 m(x,y),n(x,y)x,y 的连续函数，如有为 x7 方程 m(x,y)d?m?n?y?x?1 ，则方程有积分因子为 ?(x,y)?_. m8. 方程 m(x,y)dx?n(x,y)dy?0 有只含 x 的积分因子的充要条件是。9. 方程 m(x,y)dx?n(x,y)dy?0 有只含 y 的积分因子的充要条件是。5【篇二：【精选习题】 第四章 高阶微分方程】4-1 证明线性非齐次方程的叠加原理：设 x1(t),x2(t) 分别是线性非齐次方程dxdt nnn ?a

12、1(t) d n?1 x dtd n?1?an?1(t) dxdtdxdt ?an(t)x?f1(t) dxdtn n?1 ?a1(t)x dt n?1 ?an?1(t)?an(t)x?f2(t)的解，则 x1(t)?x2(t) 是方程 dxdt nn ?a1(t)d n?1x dt n?1 ?an?1(t)dxdt?an(t)x?f1(t)?f2(t) （1）的解。证 由题意，有dxidtnn?a1(t) d n?1 xi dt n?1 ?an?1(t)dxidt ?an(t)xi?fi(t) (i?1,2) ，把 x1(t)?x2(t) 代入方程（ 1）的左端得 左端 = d(x1?x2)

13、dtdx1dt nnnn n ?a1(t) n?1d n?1 (x1?x2)dtn?1 ?an?1(t) d(x1?x2)dt ?an(t)(x1?x2)? ?a1(t)d x1 dtd n?1 ?an?1(t) dx1dtdx2dt ?an(t)x1? dx2dtn n?1?a1(t)x2 dt n?1 ?an?1(t)?an(t)x2?f1(t)?f2(t)? 右端。 评注：线性非齐次方程的叠加原理用于求线性非齐次方程的特解，特别对于右端函数可以分解为几个简单函数之和时更加有用。4-2 试验证方程 dxdtt 22 ? tdx 1?tdt11?t ? 11?tx?0 有基本解组 t,e ，

14、并求方程 tdxdt2 2 ? dx 1?tdt ?x?t?1的通解。证 1? 将 t,et 分别代入方程得 0?t ? t?0 ； 1?t1?tt1ttt e?e?e?0 。 1?t1?t 又 ett?常数，因此 t,e 是方程的基本解组。t2 用常数变易法，令方程的特解具有以下形式x(t)?c1(t)t?c2(t)e ， t?则 t ?(t)?0?tc1?(t)?ec2， ?t ?(t)?t?1?c1?(t)?ec2 由此得?c1?(t)?1?t ， ?(t)?t?c2e?所以c1(t)?t?c1,c2(t)?e ?t(t?1)?c2 ，因而方程的通解为x(t)?c1t?c2e?(t?1)

15、 。 t 2 评注：常数变易法是线性非齐次方程求特解的最基本的方法。但有时可根据方程的具体形式采用灵活的方法。将本例方程变形为 (1?t)dxdt 22 ?t dxdt?x?(t?1) ，容易发现它可 2 能具有形如二次多项式的特解，因此可设其有特解形如 x(t)?at2?bt?c ，代入方程， 2比较系数得 a?c?1 ，b 可任意取值，所以易求得一个特解为x(t)?(t?1) 。dxdt224-2 已知方程 ?x?0 有基本解组 e,e t?t ，试求此方程适合初始条件 x(0)?1,x?(0)?0 及 x(0)?0,x?(0)?1 的基本解组（称为标准基本解组，即有 w(0)?1 ），?

16、的解。 并由此求出方程的适合初始条件 x(0)?x0,x?(0)?x0 解 由于原方程有基本解组： et,e?t ， 所以通解为x(t)?c1e?c2e ，且 x?(t)?c1e?c2e t?tt ?t，将 x(0)?1,x?(0)?0 代入上式，求得 c1?c2?x1?12e?t 12，由此得特解 12 e ?t?cht ； 12,c2? 12将 x(0)?0,x?(0)?1 代入上式，求得 c1? x2? 12e?t，由此得特解12 e ?t?sht 。又 w(t)?chtshtshtcht ?cht?sht?1?0 ，2 2 所以 cht 和 sht 线性无关，因而 cht ，sht 是

17、标准基本解组，并由此得出方程的通解为 x?c1cht?c2sht 。?代入得 c1?x0,c2?x0? ，因且 x?c1sht?c2cht ，将初始条件 x(0)?x0,x?(0)?x0 ?sht 。 而满足这个初始条件的解为： x(t)?x0cht?x0 评注：标准基本解组是满足初始条件 x(0)?1,x?(0)?0 ，及x(0)?0,x?(0)?1 的基本解组。4-3 设 xi(t)(i?1,2,?,n) 是线性齐次方程 dxdtnn ?a1(t)d n?1x dt n?1 ?an?1(t)dxdt ?an(t)x?0的任意 n 个解，它们所构成的朗斯基行列式记为 w(t) 。试证明 w(

18、t)满足一阶线性方程w?(t)?a1(t)w(t)?0 （1）因而有 w(t)?w(t0)e ?ta1(s)dst,t,t0?(a,b) 。证 将行列式的微分法则应用于 w(t) ，则所得的前 n?1 项的行列式都有两行相等，即都等于零，于是有x1?x1w?(t)?x1 (n?2)(n)x2?x2?x2(n?2)(n)? ? xn?xn?xn(n?2)(n) ， x1x2xn所以 w?(t)?a1(t)w(t)x1?x1 ? ?x1(n?2)(n)x2?x2?x2(n?2)(n)? ? xn?xn?xn(n?2)(n)x1?x1 ?a1(t) ?x1x1 (n?2)(n?1)x2?x2?x2x

19、2(n?2)(n?1)? ? xn?xn?xnxn(n?2)(n?1) x1x2xnx1?x1 ? (n) x2?x2?x2(n?1) (n?2) (n?1) (n) ?xn (n) xn?xn?xn (n?2) (n?1) ?x1 x1 (n?2)?a1x1x2?a1x2?a1xn x1x1? (n?1) x2?x2?x2 (n?1) (n?2) (n?1) (n?1) ? (?a1xn (n?1) xn?xn?xn (n?2) (n?1) ?x1 (?a1x1 (n?2) ?anx1)?a1x1(?a1x2?anx2)?a1x2?anxn)?a1xn x1?x1? ?x1 ?a2x1?0(

20、n?2) (n?2) x2?x2?x2?a2x2 (n?2) (n?2) ?a2xnxn?xn?xn(n?2) (n?2)?anx1?anx2?anxn 所以 w?(t)?a1(t)w(t)?0 。这说明 w(t) 满足一阶线性齐次方程（ 1），因而有 w(t)?ce ?ta1(s)ds0t，当 t?t0 时，c?w(t0) ，所以 w(t)?w(t0)et ?ta1(s)ds t。评注：公式 w(t)?w(t0)e ?ta1(s)ds 是著名的刘维尔（ liouville ）公式，反映了线性齐次 方程 n 个解与系数之间的关系。由此可得到重要结论：若线性齐次方程的 n 个解的朗斯基行列式在一

21、点为零，则其朗斯基行列式恒为零，即朗斯基行列式或者恒为零，或者恒不为零。 ?a1(t)x?a2(t)x?0 的解，这里 a1(t) 和 4-4 假设 x1(t)?0 是二阶线性齐次方程 ?xa2(t) 于区间 a,b 上连续，试证1）x2(t) 为方程的解的充分必要条件是 w?x1,x2?a1wx1,x2?0 ；2）方程的通解可表为 x(t)?x1c1?1x1 2 exp(?a1(s)ds)dt?c2t0 t其中 c1,c2 为任意常数， t0,t?a,b 。证 1）充分性。因为 w?x1,x2?dx1?1dtx x2?2x ?1x?1x ?2x?2xx1?1x?x1?1xx2?2x?x1?1

22、xx2?2xx2?2x，w?x1,x2?a1(t)wx1,x2? x2?2x ?a1(t) x1?1x? x1 ?1?a1(t)x?1xx2 ?2?a1(t)x?2x?0而 x1(t)?0 是已知方程的解，所以 x1?a2(t)x1x2 ?2?a1(t)x?2x?x1 1?a2(t)x2 ?2?a1(t)x?2x?0?2?a1(t)x?2?a2(t)x2?0 ，即 x2(t) 是方程的解。 故有?x必要性。因为 wx1,x2 为方程的解 x1(t),x2(t) 的朗斯基行列式， w?x1,x2?x1?1xx1?1?a1(t)x x2?2x? x1 ?1?a2(t)x1x x2?2?a1(t)x

23、x2 ?2?a2(t)x2xx1?1x x2?2x ?a1(t)wx1,x2? ?a1(t)即 wx1,x2 满足 w?x1,x2?a1wx1,x2?0 。2）设 t0?a,b ，x(t) 是原方程不同于 x1(t) 的另一特解，不妨设它满足【篇三：习题 41.1 解答(1)】程dy?x?y2 通过点 (0,0) 的第三次近似解 . dx x解:所给方程满足解的存在唯一性定理 . 22?0(x)?0,?1(x)?y0?x?(?0(x)?dx?x,1 2 ?22?2 ?2(x)?y0?x?(?(x)dx?x?(x)dx?x?1?2xx ? 1 2? 1215 x. 20x 22?3(x)?y0?

24、x?(?(x)dx?x?2?1 21518111x?x?x. 201604400 2.求方程dy?x?y2 通过点 (1,0) 的第二次近似解 . dx x20x解:所给方程满足解的存在唯一定理 . 2?0(x)?y0?0,?1(x)?y0?x?(x)dx?xdx?x?, ?22x0111?121?2?121131511?2(x)?y0?x?(x)dx?x?x?x?x?x?x?. ?2?462030x 01?2?2x x 2 13.求初值问题 dy?x2?y2,y(?1)?0 ；r:x?1,y?1 dx 的解的存在区间，并求第二次近似解。给出在解的存在区间的误差估计. 解: (1) 由存在定理

25、知 ,解的存在区间是 x?1?h, 其中 h?min?a,而现在,a?1,b?1,m?maxx?y?4, 故 h?r 2 2?b?. m? 1. 4x x (2) 23?0(x)?y(?1)?0,?1(x)?y0?x?(x)dx?xdx?x?, ?33 x0 ?1 2 20 11 ?2?131?2? ?2(x)?y0?x?(x)?dx?x?3x?3?dx ?x0?1?x x 2 2 1 ?131714111x?x?x?x?. 36318942mlnhn?1(3) 第 n 次近似解 ?n(x) 与真解 ?(x) 的误差估计公式为 ?n(x)?(x)?. (n?1)!其中 l 为 lipschit

26、z 常数,因?f?2y?2, 故可取 l?2. 则 ?y ml2h34?22131 ?2(x)?(x)?()?.3!3!4244.采用逐步逼近法求解初值问题 dy?x?y?1,y(0)?1. dx解:显然方程右端函数满足定理 4.1.1 条件.按逐步逼近法公式 ,初值问题的各次近似解为x?0(x)?1,?1(x)?1?(x?1?1)dx?1?2x?x2x 12 ?2(x)?1?x?(1?2x?x2)?1dx?1?2x?123213x?x 2!3! ? ?n(x)?1?2x? 3233x?xn?xn?1 2!n!(n?1)!3233x?xn?xn?1? 2!n!(n?1)! 原初值问题的解为 ?

27、(x)?lim?n(x)?1?2x?n?3ex?x?2.5.验证：方程希兹条件 .解:因 f(x,y)?y, 故 42f(x,y1)?f(x,y2)?y14?y2?y1?y2?y12?y2?y1?y2?ly1?y2 dy?y4 的右端函数在条形区域： x?,y?b （b 为正常数）上满足李普 dx4其中 l?4b, 即 f(x,y)?y 在所讨论的条形区域上满足李普希兹条件.这里不存在全平面适用的 l. 6. 验证：方程件。解:由 f(x,y)34 dy?dx x?,?y?(?0) 上满足李普希兹条得 ?f? 可取李普希兹常数 l?, 则 ?yf(x,y1)?f(x,y2)?f(x,?) ?y

28、1?y2?ly1?y2 ?y故 f(x,y)?7. 求初值问题. dy?x?y3,y(0)?0 解的存在区间 . dx 3解: 设 r?(x,y)x?a,y?b,f(x,y)?x?y, 则 ?(1) f(x,y) 在 r 内连续 ; 22(2) fy(x,y)?3y?3b, 有界.故原初值问题的解在 x?h?min?a, ?b?f(x,y)?a?b3 上存在唯一 . ?,m?maxr ?m?即原初值问题的解在 x?h?min?a, b?b?上存在唯一 .下求. maxmina,?33? ?a?b?a?b? b 令 g(b)?, 则 g(b)在 b? 处取最大 ,再利用 a?解得 a?3 a?b

29、从而 h?解的最大存在区间为 x? 2dy11?e?x?y2,y(0)?0 的解在区间 ?x? 上存在 . dx228.证明初值问题证明: 取矩形区域 r?(x,y):x?2,y?b (1) 显然 f(x,y)?e?x?y2 在 r 上连续.22(2) ?(x,y1),(x,y2)?r,f(x,y1)?f(x,y2)?y1?y2?2by1?y2, 即 f(x,y) 关于y 满2 ?足李普希兹条件 ,l?2b. 1b1m?max?f(x,y)?1?b2,h?min(a,bm)?min(,)?. r21?b22111所以 h?, 即解的最大存在区间为 ?x?. 2229.如果函数 f(x,y) 在

30、带形区域 ?x? 上连续且关于 y 满足李普希兹条件,试证明方程 (4.1.1) 满足条件 y(x0)?y0 的解在整个区间 (?,?) 上存在唯一. 提示:用逐步逼近法 ,取 m?maxf(x,y0), 与教材定理 4.1.1 类似.x?,?10.假设函数 f(x,y) 于(x0,y0) 的邻域内是 y 的不增函数，试证方程y?f(x,y) 满足条件y(x0)?y0 的解于 x?x0 的一侧最多只有一个。证明:设?1(x),?2(x) 都是方程满足 ?1(x0)?2(x0)?y0 的解,现要证当x?x0 时,?(x)?1(x)?2(x)?0. 用反证法 . 设存在 x1?x0 使?(x1)?

31、0, 不妨设 ?(x1)?0. 由?(x) 的连续、可微及?(x0)?0 知,必有0?x0,x1) 使?(0)?0, 且当 x?(0,x1 使?(x)?0.又?(x)?1(x)?2(x)?f(x,?(x)?f(x,?(x)?dx,x?(,x 1 11 x当 x?(0,x1 时,上式的左端 ?(x)?0; 由于 f(x,y) 对 y 是不增函数 ,所以上式右端为非正 ,这是矛盾的 .即不存在 x1?x0 使?(x1)?0. 因此对 x?x0有?(x)?0.11设 f(x) 定义于 ?x? ，满足条件 f(x1)?f(x2)?nx1?x2其中 n?1 ，证明方程 x?f(x) 存在唯一的一个解 .

32、 证明:条件f(x1)?f(x2)?1x? 2,xn?1 说明 f(x) 在?,? 上连续 ,任取,作逼近序列 ?xn?:xn?1?f(xn),n?0,1,2,?. x0?,? 考虑级数 x0? ?(x k?1? k?xk?1), 其部分和 sn?x0?(xk?xk?1)?xn. 因此只要证明此级数收 k?1n敛,则序列?xn? 亦收敛 . 有估计 x1?x0?f(x0)?x0x2?x1?f(x1)?f(x0)?nx1?x0?nf(x0)?x0用归纳法可知xk?xk?1?nk?1f(x0)?x0由于 n?1, 所以级数续性知 : ?nk?1 ? k?1f(x0)?x0 收敛,从而有 ?xn?

33、收敛.设 limxn?, 由 f(x) 的连 n?limxn?1?limf(xn)?f(limxn)?f() n? n? n?即是 x?f(x) 的解.另一部分 ,设 1,2 是方程 x?f(x) 的两个解 ,则 1?f(1),2?f(2). 又 1?2?f(1)?f(2)?n1?2 而 n?1, 故只有当 1?2 时,上面式子才成立 . 12.在条形区域a?x?b,y? 内,假设方程dy?f(x,y) 的所有解都唯一 ,对其中任意两 dx 个解 y1(x),y2(x), 如果有 y1(x0)?y2(x0), 则必有 y1(x)?y2(x),x0?x?b.证明:设?(x)?y1(x)?y2(x

34、), 因 y1(x0)?y2(x0),故?(x0)?y1(x0)?y2(x0)?0. 用反证法 .若 y1(x)?y2(x),x0?x?b 不成立 ,则在 y1(x),y2(x) 存在的同一区间上 ,由?(x) 的连续性 ,必存在点 ,使?()?0, 从而 y1()?y2(), 这与解的唯一存在相矛盾 .故必有y1(x)?y2(x),x0?x?b.13.设方程 y?p(x)y?q(x)y?0 中的 p(x),q(x) 在?a,b? 上连续 ,且 q(x)?0, 证明:对方程的任一非零解 y?y(x), 函数 f(x)?y(x)y?(x)e 证明:只需证明 x?a,b 时 f?(x)?0. 首先

35、注意 y(x) 是微分方程的解 ,故 y?(x)?p(x)y?(x)?q(x)y(x)?0 成立.从而2 f?(x)?(y?(x)?y(x)y?(x)?y(x)y?(x)p(x)?e2 ?x0p(t)dtx严格单调递增 ,其中 x0?a,b?. ?x0p(t)dtx?(y?(x)?y(x)(?p(x)y?(x)?q(x)y(x)?y(x)y?(x)p(x)?e?(y?( x)?q(x)y(x)?e2 2 ?x0p(t)dtx?x0p(t)dt x ?0. 又因为 p(x),q(x) 在?a,b? 上连续 ,方程的解存在唯一 , 任意x?a,b,y(x)?0 与y?(x)?0 不能同时成立 .故在?a,b? 上 (y?(x)2?q(x)y2(x)?0?f?(x)?0于是,f(x) 在?a,b? 上严格单调增加 .14.设 f(x,y) 在区域 r:0?x?a?b 上连续 , f(x,y) 关于 y 是非减的且满足