八年级数学上册 13.1 三角形中的边角关系 13.1.3 三角形中几条重要线段课件 （新版）沪科版

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1、第第1313章章 三角形中的边角关系、命题与证明三角形中的边角关系、命题与证明13.1 三角形中的边角关系三角形中的边角关系第第3课时课时 三角形中几条重三角形中几条重 要线段要线段1课堂讲解课堂讲解u三角形的角平分线三角形的角平分线u三角形的中线三角形的中线u三角形的高三角形的高u定义定义2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 三角形中，三条边、三个角是它的基本元素三角形中，三条边、三个角是它的基本元素.此外，三角形还有如下一些重要元素此外，三角形还有如下一些重要元素.1知识点知识点三角形的角平分线三角形的角平分线1. 定义定义：三角形一个内角的平分线与它的对

2、边相交，：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，顶顶 点和交点点和交点之间的线段叫做这个三角形的角平分线之间的线段叫做这个三角形的角平分线2. 位置图例位置图例：任何三角形的三条角平分线都交于一点，：任何三角形的三条角平分线都交于一点， 且该点在三角形的内部，这点叫且该点在三角形的内部，这点叫 这个三角形的内心如图这个三角形的内心如图.知知1 1讲讲知知1 1讲讲3. 表达方式：表达方式： (1)AD是是ABC的角平分线；的角平分线； (2)AD平分平分BAC交交BC于点于点D； (3)BADCAD 注注:上述三种情况都表示同一意义上述三种情况都表示同一意义,即即AD是是ABC的的 角平分线角

3、平分线,选用哪种表示法选用哪种表示法,应根据解题需要来定应根据解题需要来定4. 易错警示易错警示:角平分线是一条射线角平分线是一条射线,而三角形的角平分线而三角形的角平分线 是一条是一条线段线段,不要混淆不要混淆. .12BAC 例例1 关于三角形的角平分线，下列说法正确的关于三角形的角平分线，下列说法正确的 是是( () ) A A是线段是线段B B是射线是射线 C C是直线是直线 D D是射线或线段是射线或线段导引：导引：三角形的角平分线是一条线段，故选三角形的角平分线是一条线段，故选A. .知知1 1讲讲A（来自（来自点拨点拨） 三角形的角平分线与角的平分线是不同的两个概三角形的角平分线

4、与角的平分线是不同的两个概念：三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是念：三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线；一个三角形的角平分线有三条，一个角的一条射线；一个三角形的角平分线有三条，一个角的平分线只有一条；在三角形中，三角形的角平分线是平分线只有一条；在三角形中，三角形的角平分线是三角形的内角平分线上的一部分本题易因混淆概念三角形的内角平分线上的一部分本题易因混淆概念而错选而错选D.总总 结结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨） 例例2 如图所示，如图所示，AD是是ABC的角平分线，的角平分线，AE是是 ABD的角平分线，的角平分线，BAC80，则，则EAD 的度数是的度数

5、是() A20B30 C45D60知知1 1讲讲A导引：导引：由角平分线的定义，可得出由角平分线的定义，可得出EAD与与BAD、 BAC之间的数量关系之间的数量关系 因为因为AD平分平分BAC，BAC80， 所以所以BAD40. 又因为又因为AE平分平分BAD， 所以所以EAD20.知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨） 三角形的角平分线将三角形的内角分成相等的两三角形的角平分线将三角形的内角分成相等的两部分，特别是两角之间的数量关系在求角的度数时起部分，特别是两角之间的数量关系在求角的度数时起着关键作用着关键作用总总 结结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨） 例例3 如图，在如图，在ABC中，

6、中，AD是是ABC的角平分线，的角平分线， DEAC，DFAB，EF 交交AD于点于点O，请问，请问DO是是 DEF的角平分线吗？的角平分线吗？ 说明理由说明理由导引：导引：要知道要知道DO是不是是不是DEF的角平分线，只需要知的角平分线，只需要知 道道EDO与与FDO是否相等若相等，根据三是否相等若相等，根据三 角形的角平分线的定义即可判定角形的角平分线的定义即可判定知知1 1讲讲解：解：DO是是DEF的角平分线理由如下：的角平分线理由如下： 因为因为AD是是ABC的角平分线，的角平分线， 所以所以DABDAC(角平分线定义角平分线定义) 因为因为DEAC，DFAB， 所以所以DACADE，

7、DABADF(两直线平行，两直线平行， 内错角相等内错角相等) 所以所以ADEADF(等量代换等量代换) 所以所以DO是是DEF的角平分线的角平分线知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨） 本例在解题过程中，先利用角平分线的定义，得本例在解题过程中，先利用角平分线的定义，得出相等的角，再结合相关条件出相等的角，再结合相关条件( (如平行等如平行等) )推出新的一推出新的一组相等的角，最后由角平分线的定义证明角平分线，组相等的角，最后由角平分线的定义证明角平分线，它经历了定义它经历了定义条件条件定义的过程，这就是定义的过程，这就是定义法定义法总总 结结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）1 如图，如

8、图，12，34，下列结论中错误的，下列结论中错误的 是是() ABD是是ABC的角平分线的角平分线 BCE是是BCD的角平分线的角平分线 C DCE是是ABC的角平分线的角平分线知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）132ACB 2 如图，在如图，在ABC中，中，B67，C33，AD 是是ABC的角平分线，则的角平分线，则CAD的度数为的度数为() A40 B45 C50 D55知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）2知识点知识点三角形的中线三角形的中线知知2 2讲讲1.定义：定义：连接三角形一个顶点和它对边的中点，所得的连接三角形一个顶点和它对边的中点，所得的 线段叫做该三角形线段叫做该

9、三角形这条边这条边上的中线上的中线2.位置图例：位置图例：任何三角形的三条中线都交于一点，且任何三角形的三条中线都交于一点，且该该 点在三角形内部，如图，这点在三角形内部，如图，这 个个点叫做三角形的重心点叫做三角形的重心知知2 2讲讲3. 表达方式表达方式： (1)AD是是ABC中中BC边上的中线；边上的中线； (2)D是是BC边的中点；边的中点； (3)BDDC， 注注：上述三种情况都表示上述三种情况都表示AD是中线，选用哪种表是中线，选用哪种表 示法，应根据解题需要来定示法，应根据解题需要来定4. 易错警示：易错警示：中线是线段，不要将它与线段所在直线中线是线段，不要将它与线段所在直线

10、混淆混淆111,.222BDBC DCBCBDDCBC 或或 例例4 (动手操作题动手操作题)在在ABC中，中，ABAC，AC边边上上 的中线的中线BD把把ABC的周长分为的周长分为12 cm和和15 cm 两部分，求两部分，求ABC的各边长的各边长导引：导引：因为中线因为中线BD将将ABC的周长分成两部分：的周长分成两部分：(BC CD)和和(ADAB)，无法确定谁为，无法确定谁为12 cm，谁为，谁为15 cm，故应分类讨论；另外题中涉及线段较多，故应分类讨论；另外题中涉及线段较多,因因 此可建立方程的模型，利用设未知数来求解此可建立方程的模型，利用设未知数来求解知知2 2讲讲 解：解：设

11、设ABx cm，则，则ADCD (1)如图，若如图，若ABAD12 cm， 则则 即即ABAC8 cm，则，则CD4 cm. 故故BC15411(cm) 此时此时ABACBC，三角形存在，三角形存在， 所以所以ABC三边长分别为三边长分别为8 cm，8 cm，11 cm.知知2 2讲讲 1cm.2x112.2xx 解得解得x8， (2)如图，若如图，若ABAD15 cm，则，则 解得解得x10，即，即ABAC10 cm， 则则CD5 cm. 故故BC1257(cm) 显然此时三角形存在，显然此时三角形存在， 所以所以ABC三边长分别为三边长分别为10 cm，10 cm，7 cm. 综上所述，综

12、上所述，ABC的三边长分别为的三边长分别为8 cm，8 cm， 11 cm或或10 cm，10 cm，7 cm.知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）115.2xx (1)本例中由于条件不确定，因此我们针对因条件的不本例中由于条件不确定，因此我们针对因条件的不确定性导致图形出现不同的情况，运用确定性导致图形出现不同的情况，运用分类讨论思想分类讨论思想对题对题目进行目进行分类讨论分类讨论；解答中，针对题中涉及的线段这个；解答中，针对题中涉及的线段这个“形形”较多，为了使解答更简练，我们将它们建立方程这个较多，为了使解答更简练，我们将它们建立方程这个“数数”的模型因此本例的解答过程体现了：的模型因此

13、本例的解答过程体现了：分类讨论思想、建分类讨论思想、建模思想、数形结合思想、方程思想模思想、数形结合思想、方程思想等等(2)警示：警示：求三角形求三角形的边时，要注意的边时，要注意隐含条件隐含条件：三角形的三边关系：三角形的三边关系总总 结结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨） 例例5 张大爷的两个儿子都长大成人了，也该分家了张大爷的两个儿子都长大成人了，也该分家了 于是张大爷准备把如图所示的一块三角于是张大爷准备把如图所示的一块三角形田地形田地 平均分给两个儿子，两个儿子要求分成平均分给两个儿子，两个儿子要求分成的两块的两块 田地的形状仍然是三角形，请你帮助张田地的形状仍然是三角形，请你帮助

14、张大爷提大爷提 出一种平分的方案出一种平分的方案 知知2 2讲讲知知2 2讲讲导引：导引：根据等底等高的三角形的面积相等，要等分三根据等底等高的三角形的面积相等，要等分三 角形的面积，只需要作出一条边上的中线即可角形的面积，只需要作出一条边上的中线即可解：解：根据要求，平分田地的直线一定经过三角形的顶根据要求，平分田地的直线一定经过三角形的顶点点 画画ABC的中线的中线AD( (如上页图如上页图) )， 则则AD就把就把ABC的的面积面积平分成两份平分成两份 这是因为这是因为AD是是ABC的中线，的中线， 所以所以BDDC. . 过点过点A作作AEBC于点于点E. .知知2 2讲讲在在ABD和

15、和ACD中，中，因为因为BD，CD边上的高都是边上的高都是AE，所以由三角形的面积公式，所以由三角形的面积公式，知知ABD和和ACD的面积的面积相等相等因此，要把因此，要把ABC平分成两个三角形，平分成两个三角形，只需画中线只需画中线AD即可，即可，这是一种平分的方案这是一种平分的方案( (本题答案不唯一，作本题答案不唯一，作AB，AC边上的中线也可以边上的中线也可以) )（来自（来自点拨点拨）总总 结结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）(1)三角形的任意一条中线都能把三角形分成面积相三角形的任意一条中线都能把三角形分成面积相 等的两部分，即等底等高的三角形面积相等；等的两部分，即等底等高的

16、三角形面积相等；(2)拓展：在两个三角形中：底、高、面积这三个量，拓展：在两个三角形中：底、高、面积这三个量， 如果有其中的两个量分别相等，那么第三个量也如果有其中的两个量分别相等，那么第三个量也 相等相等1 三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个() A形状相同的三角形形状相同的三角形 B面积相等的三角形面积相等的三角形 C直角三角形直角三角形 D周长相等的三角形周长相等的三角形知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）2 如图，已知如图，已知BD是是ABC的中线，的中线，AB5，BC3， ABD和和BCD的周长的差是的周长的差是() A2B3 C6D

17、不能确定不能确定3 如图，在如图，在ABC中，中，D，E分别为分别为BC，AD的中点，的中点， 且且SABC4，则，则S阴影阴影为为() A2 B1 C. D.知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）12143知识点知识点三角形的高三角形的高知知3 3讲讲1. 定义：定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线 作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做该三角形这条作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做该三角形这条 边上的高一个三角形有三条高边上的高一个三角形有三条高2. 位置图例：位置图例： (1)锐角三角形：三条高都在三角锐角三角形：三条高都在三角 形内部，其交点也在

18、三角形内形内部，其交点也在三角形内 部部(如图如图)知知3 3讲讲(2)直角三角形：一条高在三角形内部，直角三角形：一条高在三角形内部， 两条两条高高在三角形边上，其交点为直在三角形边上，其交点为直 角顶点角顶点(如图如图1)(3)钝角三角形：一条高在三角形内部，钝角三角形：一条高在三角形内部， 两条高在三角形外部，其交点在三两条高在三角形外部，其交点在三 角形外部角形外部(如图如图2)图图1图图2知知3 3讲讲3表达方式：表达方式： (1)AD是是ABC的边的边BC上的高；上的高； (2)ADBC于于D； (3)ADC90,ADB90或或ADCADB90. 注：上述三种情况都表示注：上述三种

19、情况都表示AD是高，选用哪种表示是高，选用哪种表示 法，应根据解题需要来定法，应根据解题需要来定知知3 3讲讲4易错警示：易错警示： (1)三角形中大于三角形中大于90的角的两边上的高的作法的角的两边上的高的作法(高均高均 在三角形外部在三角形外部) (2)任何三角形的三条高任何三角形的三条高所在直线所在直线交于一点交于一点(垂心垂心) 例例6 (动手操作题，易错题动手操作题，易错题)画出图中画出图中ABC的三条的三条 高高(要标明字母，不写画法要标明字母，不写画法) 知知3 3讲讲导引：导引：“作一边上的高作一边上的高”可看作可看作“过一点过一点(这边所对角这边所对角 的顶点的顶点)作已知直

20、线作已知直线(这边所在直线这边所在直线)的垂线的垂线” 按照按照“过一点作已知直线的垂线过一点作已知直线的垂线”进行作图，进行作图， 顶点与垂足之间的线段即为该边上的高；需注顶点与垂足之间的线段即为该边上的高；需注 意意AB， BC边上的高在三角形的外部，作高时边上的高在三角形的外部，作高时 先延长先延长AB与与CB.知知3 3讲讲解：解：如图所示如图所示知知3 3讲讲（来自（来自点拨点拨）(1)作三角形的高时，找准作三角形的高时，找准顶点和对边顶点和对边是关键，是关键，作高的作高的 步骤就是步骤就是“过一点作已知直线的垂线过一点作已知直线的垂线”的步的步骤：骤： 一靠一靠(三角尺的一条直角边

21、靠在要作高的边上三角尺的一条直角边靠在要作高的边上)、 二找二找(移动三角尺使另一条直角移动三角尺使另一条直角 边通过要作高的顶点边通过要作高的顶点)、三画线三画线 (画垂线段画垂线段)，如图，如图.(2)注意：高注意：高是线段，是线段，垂线是直线垂线是直线总总 结结知知3 3讲讲（来自（来自点拨点拨） 例例7 (动手操作题动手操作题)如图，在如图，在32的正方形网格中，的正方形网格中， 小小正方形的边长为正方形的边长为1，以图中，以图中A，B，C，D， E中的三点为顶点的三角形中，面积为中的三点为顶点的三角形中，面积为1的三的三 角形有哪些？角形有哪些？ 知知3 3讲讲 导引：导引：首先要清

22、楚以五点中的三点为顶点的三角形有首先要清楚以五点中的三点为顶点的三角形有 多少个，注意多少个，注意C，D，E三点在一条直线上，不三点在一条直线上，不 能组成三角形；再从这些三角形中找出面积为能组成三角形；再从这些三角形中找出面积为 1的三角形；而要找面积为的三角形；而要找面积为1的三角形，根据这的三角形，根据这 些三角形的特征，实质上是要找底为些三角形的特征，实质上是要找底为1，高为，高为2 和底为和底为2，高为，高为1的所有三角形的所有三角形知知3 3讲讲 解：解：以以A，B，C，D，E中的三点为顶点的三角形有中的三点为顶点的三角形有 ABC，ABD，ABE，ACD，ACE， ADE，BCD

23、，BCE，BDE其中面积其中面积 为为1的有的有ABC，ADE，BCE，ACD.知知3 3讲讲（来自（来自点拨点拨）(1)三角形的面积与高是密不可分的，只要涉及三角三角形的面积与高是密不可分的，只要涉及三角 形的面积就要联想到高，因为三角形的面积等于形的面积就要联想到高，因为三角形的面积等于 底与高乘积的一半；底与高乘积的一半；(2)解答本例的关键是找准底和高，注意钝角三角形解答本例的关键是找准底和高，注意钝角三角形 中大于中大于90的角的两边上的高在三角形外部，这的角的两边上的高在三角形外部，这 是难点，也是易错点是难点，也是易错点总总 结结知知3 3讲讲（来自（来自点拨点拨） 例例8 如图

24、，在如图，在ABC中，中，BC4 cm，AC5 cm. (1)若若BC边上的高边上的高AD4 cm，试求，试求ABC的的 面积及面积及AC边上的高边上的高BE的长；的长； (2)试求试求AD BE的值的值导引：导引：利用三角形的面积公式及等积原理求解利用三角形的面积公式及等积原理求解知知3 3讲讲解：解：(1)SABC 因为因为SABC 所以所以 所以所以 (2)AD BE4 知知3 3讲讲（来自（来自点拨点拨）211448(cm ).22BC AD 115,22AC BEBE 158.2BE 16cm.5BE 165.54 求三角形的面积联想三角形的高，求三角形的求三角形的面积联想三角形的高

25、，求三角形的高联想三角形的面积是解三角形问题中常用的思想高联想三角形的面积是解三角形问题中常用的思想方法之一用同一个三角形方法之一用同一个三角形不同不同的面积表达式建立的面积表达式建立求线段长度的等量关系是一种很重要的数学方法求线段长度的等量关系是一种很重要的数学方法等积法等积法总总 结结知知3 3讲讲（来自（来自点拨点拨）操作：操作：1. 分别画出图中各个三角形三条边上的高分别画出图中各个三角形三条边上的高.2. 任意画一个三角形，画出三边上的中线任意画一个三角形，画出三边上的中线.再任意画一再任意画一 个三角形，画出三角形三个角的平分线个三角形，画出三角形三个角的平分线.知知3 3讲讲3.

26、 一个三角形中共有几条角平分线，它们是否交于一个三角形中共有几条角平分线，它们是否交于 一点？同样，各有几条中线、几条高，它们是否一点？同样，各有几条中线、几条高，它们是否 各交于一点？各交于一点？知知3 3讲讲1 (中考中考长沙长沙)过过ABC的顶点的顶点A，作，作BC边上的高，以边上的高，以 下作法正确的是下作法正确的是()知知3 3练练（来自（来自典中点典中点）2 下列说法中正确的是下列说法中正确的是() A三角形的三条高都在三角形内三角形的三条高都在三角形内 B直角三角形只有一条高直角三角形只有一条高 C锐角三角形的三条高都在三角形内锐角三角形的三条高都在三角形内 D三角形每一边上的高

27、都小于其他两边三角形每一边上的高都小于其他两边知知3 3练练（来自（来自典中点典中点）3 下列结论：下列结论：三角形的角平分线、中线、高都是三角形的角平分线、中线、高都是 线线段；段；直角三角形只有一条高；直角三角形只有一条高；三角形的中三角形的中 线可线可能在三角形外部；能在三角形外部；三角形的高都在三角形三角形的高都在三角形 内部内部其中正确的有其中正确的有() A1个个B2个个C3个个D4个个知知3 3练练（来自（来自典中点典中点）4知识点知识点定义定义知知4 4讲讲 像这样能明确界定某个对象含义的语句叫做像这样能明确界定某个对象含义的语句叫做定义定义.今后我们还会学习许多定义今后我们还

28、会学习许多定义. 下列不属于定义的是下列不属于定义的是()A两点之间的线段的长度叫做这两点之间的距离两点之间的线段的长度叫做这两点之间的距离B两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形C同角的余角相等同角的余角相等D由不等号连接的式子叫做不等式由不等号连接的式子叫做不等式知知4 4练练（来自（来自典中点典中点）11. 三角形的角平分线三角形的角平分线 角平分线角平分线三角形中，一个角的平三角形中，一个角的平分线与这个分线与这个角对边相交，角对边相交， 顶点与交点之间的线段叫顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线做三角形的角平分线.2. 三角形的中线三角形的中线 中线中线三角形中，连接一个顶点与它对边中点的三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫线段叫做三做三 角形的中线角形的中线.3. 三角形的高三角形的高 高线高线从三角形的一个顶点到它对边所在直线的从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段垂线段叫做叫做 三角形的高线，也叫做三角形的三角形的高线，也叫做三角形的高高.