误差理论与数据处理费业泰

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1、误差理论与数据处理 （第七版 ）习题及参考答案第一章 绪论1 5 测得某三角块的三个角度之和为180o0002”, 试求测量的绝对误差和相对误差解： 绝对误差等于： 相对误差等于：180o0002 180o 22180o2180 60 60648000 0.00000308641 0.000031%1-8 在测量某一长度时，读数值为 2.31m，其最大绝对误差为 20 m ，试求其最大相对误差。相对误差 max绝对误差 max测得值100%20 10-62.31100%8.66 10-4%1-10 检定 2.5 级（即引用误差为 2.5%）的全量程为 100V 的电压表，发现50V 刻度点的示

2、值误差 2V为最大误差，问该电压表是否合格？最大引用误差某量程最大示值误差测量范围上限100%2100100%2% 2.5%该电压表合格1-12 用两种方法分别测量L1=50mm， L2=80mm。测得值各为 50.004mm， 80.006mm。试评定两种方法测量精度的高低。相对误差L 1:50mmI 1 50.004 50 100% 0.008%1 50L 2:80mm80.006 80I 2100% 0.0075%2 80I1 I 2所以 L2=80mm 方法测量精度高。1 13 多级弹导火箭的射程为 10000km时，其射击偏离预定点不超过 0.lkm ， 优秀射手能在距离 50m远处

3、准确地射中直径为 2cm的靶心，试评述哪一个射击精度高 ?解：多级火箭的相对误差为：10000 0.00001 0.001%射手的相对误差为：1cm 0.01m 0.0002 0.002%50m 50m多级火箭的射击精度高。1-14 若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm，其测量误差分别为11 m和 9 m ；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm。其测量误差为 12 m ，试比较三种测量方法精度的高低。相对误差I111 m 0.01%110mm9mI20. 008 2%110mm12 mI30.008%150mmI3 I 2 I 1第三种方法的测量精度最高第二章 误差

4、的基本性质与处理2-6 测量某电路电流共 5 次，测得数据（单位为 mA）为 168.41 ，168.54 ，168.59 ，168.40 ，168.50 。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误 差。168.41 168.54 168.59 168.40 168.50 x5168.488( mA)vi2i 1 0.082(mA)51x 0.082 0.037(mA)或然误差：R 0.6745 x 0.6745 0.037 0.025(mA)平均误差： T 0.7979 x 0.7979 0.037 0.030(mA)2-7 在立式测长仪上测量某校对量具， 重量测量 5 次，测得数据（单位

5、为 mm） 为 20.0015 ，20.0016 ，20.0018 ，20.0015 ，20.0011 。若测量值服从正态分 布 ， 试 以 99%的 置 信 概 率 确 定 测 量 结 果 。20.0015 20.0016 20.0018 20.0015 20.0011x520.0015( mm)0.00025正态分布p=99% 时， t 2.58 lim x t x2.580.000250.0003( mm)测量结果： X x lim x (20.0015 0.0003)mm2-9 用某仪器测量 工件尺寸 ，在排 除系统误 差的条 件下，其标准 差 0.004mm，若要求测量结果的置信限为

6、0.005mm ，当置信概率为99%时，试求必要的测量次数。正态分布 p=99% 时， t 2.58n 2.58 0.004 2.0640.005n 4.2629 用某仪器测量工件尺寸， 已知该仪器的标准差 0.001mm，若要求测 量的允许极限误差为 0.0015mm，而置信概率 P 为 0.95 时，应测量多少次？ 解：根据极限误差的意义，有txtn0.0015根据题目给定得已知条件，有t 0.0015n 0.0011.5查教材附录表 3 有若 n 5，v 4， 0.05 ，有 t 2.78 ，若 n 4，v 3，t 2.78 2.78n 5 2.236 0.05 ，有 t 3.18 ，1

7、.24t 3.18 3.181.59即要达题意要求，必须至少测量 5 次。2-12 某时某地由气压表得到的读数 (单位为 Pa)为 102523.85 ，102391.30 ，102257.97 ， 102124.65 ，101991.33 ，101858.01 ， 101724.69 ， 101591.36 ， 其权各为 1，3， 5，7，8，6，4，2，试求加权算术平均值及其标准差。8pi xix i 18102028.34(Pa)pii1xpivxi2i18(8 1) pii186.95( Pa)2-13 测量某角度共两次，测得值为 1 24 13 36 ， 2 24 1324 ，其 标

8、准差分别为 1 3.1 , 2 13.8 ，试求加权算术平均值及其标准差。p1 : p212 : 12 19044 : 96112 22x 24 132019044 16 961 419044 96124 1335xpi2pii13.11904419044 9613.02-14 甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角 各重复测量 5 次，测得 值如下：甲:7220,7 30 ,7235,7220,7215;乙:7 225,7 225,7 220 ,7 250 ,7 245;试求其测量结果。甲：x甲 7 2 20 60 35 20 15 7 230（-10 ）2 （30 ）2 5 2 （-10 ）

9、2 （ -15 ）2418.418.4甲x甲5 5 8.23vi2i15113.5乙 13.5x乙5 5 6.0411p甲 : p乙2 : 2x甲x乙1 2 : 1 2 3648: 67738.232 6.042x p甲x甲 p乙x乙 3648 30 6773 33 72 p甲 p乙3648 6773xp甲p甲 p乙8.2336483648 67734.87乙： x乙 72 25 25 20 50 45 7 2335-8 ）2 （-8 ）2 （ 13 ）2 （17 ）2 （12 ）2X x 3 x 7 232 1522- 16 重力加 速度的 20 次测量具有平均 值为 9.811m/ s 、

10、标准差为220.014m/s2。另外 30 次测量具有平均值为 9.802m/s2，标准差为20.022m / s 。假设这两组测量属于同一正态总体。 试求此 50 次测量的平均 值和标准差。1p1: p2221x2220.014 2 0.022 220 301 2 : 1 2 2 42:1 47242 9.811 147 9.802242 14729.808(m/s2)0.014 24220 242 14720.002(5 m/s2)2- 19 对某量进行 10次测量，测得数据为 14.7 ，15.0 ，15.2 ，14.8 ，15.5 ，14.6 ，14.9 ，14.8 ，15.1 ，15

11、.0 ，试判断该测量列中是否存在系统误差。x 14.96按贝塞尔公式 1 0.263310vi按别捷尔斯法 2 1.253 i 1 0.264210(10 1)22由 2 1 u 得 u 2 1 0.0034 11u 2 0.67 所以测量列中无系差存在。n12-18 对一线圈电感测量 10 次，前 4 次是和一个标准线圈比较得到的，后 6 次是和另一个标准线圈比较得到的，测得结果如下(单位为mH)：50.82 ，50.83，50.87，50.89 ；50.78 ，50.78，50.75，50.85，50.82 ，50.81 。试判断前 4 次与后 6 次测量中是否存在系统误差。使用秩和检验法

12、： 排序：序号12345第一组第二组50.7550.7850.7850.8150.82序号678910第一组50.8250.8350.8750.89第二组50.85T=5.5+7+9+10=31.5 查表 T 14 T 30T T 所以两组间存在系差2 21 对某量进行两组测量，测得数据如下：xi0.620.861.131.131.161.181.201.211.221.301.341.391.411.57yi0.991.121.211.251.311.311.381.411.481.591.601.601.841.95试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。 解： 按照秩和检验法要求

13、，将两组数据混合排列成下表：T12345678910xi0.620.861.131.131.161.181.20yi0.991.121.21T11121314151617181920xi1.211.221.301.341.391.41yi1.251.311.311.38T2122232425262728xi1.57yi1.411.481.591.601.601.841.95现 nx 14，ny14，取 xi 的数据计算 T，得 T 154。由n1(n1 n2 1)n1n2 (n1 n2 1)a ( 1 1 2 ) 203 ； ( 1 2 1 2 ) 474 求出：t T a 0.1现取概率 2

14、 (t) 0.95，即 (t) 0.475 ，查教材附表 1 有t1.96。由于 t t ，因此，可以认为两组数据间没有系统误差。第三章 误差的合成与分配3- 1 相对测量时需用 54.255mm 的量块组做标准件， 量块组由四块量块研合 而成，它们的基本尺寸为l1 40mm， l2 12mm， l3 1.25mm ， l4 1.005mm。经测 量，它 们的尺寸偏差及 其测量 极限误差分别为l1 0.7 m, l 2 0.5 m, l 3 0.3 m,l 4 0.1 m, lim l10.35 m, lim l 20.25 m, lim l 3 0.20 m,liml40.20 m 。试求量

15、块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差。修正值 = ( l1 l 2l3l 4)= ( 0.7 0.5 0.3 0.1)=0.4 ( m)测量误差 :l =2lim l12lim l22lim l32lim l4= (0.35) 2 (0.25)2 (0.20)2 (0.20)2= 0.51( m)3- 2 为 求 长 方 体 体 积 V ， 直 接 测 量 其 各 边 长 为 a 161.6mm ， b 44.5mm , c 11.2mm , 已 知 测 量 的 系 统 误 差 为 a 1.2mm ，b 0.8mm， c 0.5mm ，测量的极限误差为 a 0.8mm ，b0

16、.5mm ， c 0.5mm， 试求立方体的体积及其体积的极限误差。V abc V f (a,b,c)V0 abc 161.6 44.5 11.2380541 .44( mm3 ) 体积 V 系统误差 V 为：V bc a ac b ab c332745.744(mm3 ) 2745.74(mm3 )立方体体积实际大小为： V V0 V 77795.70(mm3)limV( fa)2 a2 ( fb)2 b2 ( fc)2 c2 abc(bc) 2 a(ac)2 b(ab)2 c33729.11(mm3)测量体积最后结果表示为3V V0V lim V (77795.70 3729.11)mm3

17、3-4 测量某电路的电流 I 22.5mA ，电压 U 12.6V ，测量的标准差分 别为 I 0.5mA， U 0.1V ，求所耗功率 P UI 及其标准差 P 。 P UI 12.6 22.5 283.5(mw)P f (U,I) U、I 成线性关系UI 1(U( fI )I2( Uf)( fI ) u I IfUfII UU I22.5 0.1 12.6 0.5UUII U I8.55(mw)312 按公式 V= r2h 求圆柱体体积，若已知 r 约为 2cm， h 约为 20cm， 要使体积的相对误差等于 1，试问 r 和 h 测量时误差应为多少 ?解：若不考虑测量误差，圆柱体积为V

18、r 2 h 3.14 22 20 251.2cm3根据题意，体积测量的相对误差为1，即测定体积的相对误差为：1%V 即 V 1% 251.2 1% 2.51 现按等作用原则分配误差，可以求出 测定 r 的误差应为：2.51 11.41 2 hr0.007cm测定 h 的误差应为：2.51 11.41 r 20.142cm3-14 对某一质量进行 4 次重复测量，测得数据 （单位 g）为 428.6 ，429.2 ，426.5 ，430.8 。已知测量的已定系统误差2.6g, 测量的各极限误差分量及其相应的传递系数如下表所示。 若各误差均服从正态分布， 试求该质量 的最可信赖值及其极限误差。序号

19、极限误差 g误差传递系数随机误差未定系统误差12.1121.5131.0140.5154.5162.21.471.02.281.81428.6 429.2 426.5 430.8 x4428.775( g ) 428.8(g)最可信赖值 x x 428.8 2.6 431.4( g )5 f2 1 3 f 2 2x () ei()2 ix i 1 xi i 4 i 1 xi i4.9(g)测量结果表示为 :x x x (431.4 4.9)g第四章 测量不确定度4 1 某圆球的半径为 r，若重复 10次测量得 rr =（3.132 0.005）cm ， 试求该圆球最大截面的圆周和面积及圆球体积

20、的测量不确定度，置信概率 P=99。解：求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度 已知圆球的最大截面的圆周为： D 2 r 其标准不确定度应为：u Dr22 2 r24 3.141592 0.0052r 0.0314cm 确定包含因子。查 t 分布表 t 0.01（ 9） 3.25 ，及 K 3.25 故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为：UKu3.250.0314 0.102 求圆球的体积的测量不确定度43 圆球体积为： V r 33其标准不确定度应为：u Vr24 r 2 2 r216 3.141592 3.1324 0.0052 0.616r确定包含因子。查 t 分布表 t 0.01（ 9

21、） 3.25 ，及 K 3.25 最后确定的圆球的体积的测量不确定度为UKu3.25 0.616 2.0024- 4 某校准证书说明，标称值 10 的标准电阻器的电阻 R 在 20 C 时为 10.000742 129（P=99%），求该电阻器的标准不确定度，并说明属于哪一类评定的不确定度。由校准证书说明给定属于 B 类评定的不确定度R 在 10.000742 -129，10.000742 +129 范围内概率为99%，不为 100%不属于均匀分布，属于正态分布a 129 当 p=99% 时， K p 2.58a 129U R a 129 50( )R K p 2.584-5 在光学计上用 5

22、2.5mm 的量块组作为标准件测量圆柱体直径，量块组由 三块量块研合而成，其尺寸分别是： l1 40mm，l2 10mm，l3 2.5mm ，量块按“级”使用，经查手册得其研合误差分别不超过0.45 m、 0.30 m、 0.25 m(取置信概率 P=99.73%的正态分布) ， 求 该 量 块 组 引 起 的 测 量 不 确 定 度 。 L 52.5mml1 40mml2 10mml3 2. 5mmL l1 l2 l3p 99.73% K p 3l1kap 0.345 0.15( m)Ul2kap 0.330 0.10( m)a 0.25l3kp0.08( m)U LUl1 Ul2 U l3

23、0.152 0.102 0.0820.20( m)第五章 线性参数的最小二乘法处理3x y 2.95- 1 测量方程为 x 2y 0.9 试求 x、 y 的最小二乘法处理及其相应精度。 2x 3y 1.9误差方程为v1 2.9 (3x y) v2 0.9 (x 2y)nnnai1ai1xai1ai 2yai1lii1i1i 1 代入数据得nnnai 2ai1xai2ai2yai2lii1i1i1v3 1.9 (2x 3y)列正规方程14x 5y 13.4x 0.962解得5x 14y 4.6y 0.015v1 2.9 (3 0.962 0.015) 0.001将 x 、y 代入误差方程式 v2

24、 0.9 (0.962 2 0.015) 0.032求解不定乘数v3 1.9 (2 0.962 3 0.015) 0.021n3vi2vi2测量数据的标准差为 i 1i 1 0.038nt3214d11 5d12 1 d11 d125d11 14d12 0d21 d22 14d21 5d22 0 5d21 14d22 1解得 d11 d22 0.082x、 y 的精度分别为 xd11 0.01 yd22 0.013y5.6, p1 15-7 不等精度测量的方程组如下：4x y 8.1, p2 22x y 0.5, p3 3试求 x、 y 的最小二乘法处理及其相应精度。v1 5.6 (x 3y)

25、, p1 1列误差方程 v2 8.1 (4x y), p2 2v3 0.5 (2x y), p3 33 3 3piai1ai1xpi ai1ai2ypiai1li正规方程为 i 1 i 1 i 13 3 3piai2ai1xpiai2ai2 ypiai2lii1 i 1 i 1代入数据得45x y 62.2 解得 x 1.434x 14y 31.5 y 2.352v1 0.022将 x 、y 代入误差方程可得 v2 0.012v30.016则测量数据单位权标准差为pivi2i 13 2 0.039求解不定乘数45d11 d12 1 d11 d12 d11 14d12 0 d21 d22 45d

26、21 d22 0 d21 14d22 1解得d11 0.022d22 0.072x、 y 的精度分别为 xd11 0.006 yd22 0.010第六章 回归分析6- 1 材料的抗剪强度与材料承受的正应力有关。 对某种材料试验的数据如下：正应力 x/Pa26.825.428.923.627.723.9抗剪强度 y/Pa26.527.324.227.123.625.9正应力 x/Pa24.728.126.927.422.625.6抗剪强度 y/Pa26.322.521.721.425.824.9假设正应力的数值是正确的，求（1）抗剪强度与正应力之间的线性回归方程。（2）当正应力为 24.5Pa

27、时，抗剪强度的估计值是多少？1）设一元线形回归方程y b0 bx N 12 b lxylxxlxx 43.047 l xy 29.533b0 y bx1x 311.6 25.97 12b lxy29.533 0.69 y 1 297.2 24.77lxx43.047 12b0 24.77 0.69 25.97 42.69 y? 42.69 0.69x（ 2）当 X=24.5Pay? 42.69 0.69 24.5 25.79（Pa）6-10 用直线检验法验证下列数据可以用曲线 y abx 表示。x30354045505560y-0.4786-2.188-11.22-45.71-208.9-870.9-3802xy ab log( y) log( a) logb xZ1 log(y) Z2 x取点做下表Z230405060Z1-0.321.052.323.58以 Z1与 Z2 画图所得到图形为一条直线，故选用函数类型 y abx 合适