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1、电子的自旋对于电子，我们已经有些了解，知道它带一个单位的负电荷，与带电体发生Coulomb相互作用。除了带电这一属性，电子的另外一个内在属性就是自旋。自旋是一个非常重要的概念，是本书的基础。作为一个纯量子力学概念，自旋和生活中的直观经验并不符合。为了理解自旋，我们把它与一些熟悉的事物作类比。a)自旋与地球自转自旋，顾名思义，“绕着自己旋转”。电子也在绕着自己转动，就好象地球自转一样。但是这有本质的不同。地球自转，是绕着固定的地轴旋转，而电子自旋，作为一种内秉的对称性，其轴是不确定的。当我们想知道这个旋转轴的方向，从某个角度看过去的时候，自旋的“旋转轴”，就总是垂直于我们观测的方向注。我们可以把
2、旋转轴看作一个向量，它有大小，表示旋转的强弱，也有方向，是绕轴旋转的方向。对于一个来说，当我们从不同方向去看它的时候，我们看到的是它在视角上方向上的投影，见下图1-3。图1-3 观察地轴投影。我们看到的是向量在这个方向上的投影，长度为Lcos(theta)，其中L为向量的长度，theta为向量方向与观察方向的夹角。显然，当我们平行与地轴的方向看过去时，投影为零，但当我们垂直看过去时，投影最大。如果我们把自旋的轴也当作向量，对电子做同样的“观测”，则会发现，无论我们从何种角度看过去，电子自旋的轴（以下简称自旋）在各个方向上，投影大小都相同它们都一样长！(见图1-4) 此外，自旋向量的方向，在每个
3、视角看去，都有两个选择，彼此反平行。但是一次观测中，只能看到一种选择，或是朝“上”，或是朝“下”。具体哪个指向被观察到，对于一束非极化的电子（没有故意保留一个指向的电子而剔除掉另外一个指向），是完全随机的。因为向量的投影大小随着视角的方向变化，而自旋的投影却保持不变，所以把电子自旋当作通常意义上的向量是不恰当的。实际上，它是向量算子，代表着一类和向量有相同变换规律的运算。即便如此，在很多情形下，我们就用通常意义上的向量（经典向量），来近似的描述电子自旋的性质。图1-4 与观测地轴投影不同，自旋的“轴”在不同方向的投影大小相同。在任一视角上，其投影方向有两种选择，或“上”或“下”。地球的自转轴的
4、长度，随着自转快慢而变长变短，而电子的自旋的“长度”，是一个固定的值，与外界任何条件都无关，就像它的电荷数是定值一样。从这一点我们也可以看出，自旋是电子的内在属性。b) 自旋与翻硬币搞清楚自旋与地球自转的区别之后，自旋的故事似乎结束了。然而，真正的有趣尚未开始。在上面的例子里，我们看到，每次对于自旋的观测，都能得到或“上”或下的结果。而且，对于一束没有特别安排自旋方向的电子，其结果是随机的。这很像翻硬币过程同样都是输出两个结果，而且输出哪个是随机的。但这和翻硬币有本质的不同。为了说明这个不同，先推广空间的概念：对于一个物理过程，所有可能物理状态的*就叫做空间。比如三维实空间，一个“状态”就意味
5、着粒子处在一个三维坐标上。对于翻硬币过程，所有可能结果即正面和反面，非正即反忽略零测度的,根据以上空间的定义，正，反这两个状态，构成了这个空间有且仅有的两个元素。我们管“正”“反”叫做这个空间的“态”，那么结果的*正，反就定义了一个态空间。这有何神奇的呢？只要再外加一个看似不起眼原理，就能完完全全的改变它的性质，得它们成为量子力学的空间。这个原理叫做叠加原理，就是说，如果“正面”和“反面”是空间里的态，那么它们的任意线性叠加也是该空间的态。薛定谔的猫，亦死亦活，就是这个意思。如果“死”是空间里的一个态，“活”是空间里的另一个态，那么“死+活”的又死又活态也是该空间的一个态。也许这看似不可思议，
6、但这正是量子力学的神奇之处；在非量子的经典空间1，如翻硬币的空间或者猫的死活的空间，没有亦正亦反的态，但是如果是量子力学的硬币，或量子力学里的猫，那么允许这种又死又活的猫，或者又正又反的硬币的叠加态的存在。图1-5 叠加态的概念。这样，如果把电子自旋朝“”看作硬币正面，自旋朝“”看作硬币反面，“”和“”，即观察自旋后，看到的态，如同硬币翻之后得到正反面一样。在物理上，我们把态写在尖括号里，即|和|。对于经典的硬币，其态空间里仅有正，反两个元素，对于电子自旋（量子硬币），虽然输出的测量结果也是非“”即“”，但是根据叠加原理，其态空间却允许任意的a|+b|存在，其中a与b是复系数。c) 自旋与二维
7、笛卡尔坐标系(x, y)电子自旋空间里，一个态可以分解为以|与|基向量的线性组合。这不难联想到二维笛卡尔坐标系的向量：一个向量，可以分解为x分量与y分量的组合：|=a|+b| = |+|式中， 与分别为x, y方向上的单位向量。这样，我们就建立了态与向量之间的类比。它们都存在基向量，都可以被分量分解。更进一步，我们就管态，叫做态矢量，尽管在与地球自转的类比中，它和向量有本质区别。我们也可以定义内积，就是如同的形式。在向量空间里，内积表示两个向量“靠近”的程度：平行时完全重合，内积最大，垂直时内积为零，又叫做“正交”。这里，|与|两个态，如同x与y一样，互相正交，=0.这在物理上是可以理解的，两
8、个态互相独立，没有外界机制时，不会互相转换。d) 自旋的数学表述电子自旋的态空间，|与|两个态矢量，作为基向量构成；在某个方向上，做一次测量，就相当于对其做基向量方向的一次投影，得到|或|。这里，我们并没有仔细考虑三维空间里的“某方向”。怎么样可以既考虑到电子在态空间里的|与|自旋态，又考虑自旋本身在三维空间里的方向呢？既然自旋类比于矢量，先把它写成类似矢量的形式：这里用“S”，是因为自旋的英语是Spin,取其第一个字母。由于图1-4里，电子自旋在任何方向的投影都相同，我们有对任意方向的单位矢量n，S n=常数。显然，如果S的各个分量Sx, Sy, Sz只是通常意义的数，则不可能满足这个条件：
9、不同方向上的投影一定不同。但是如果S各个分量为矩阵，则还是可以满足这个条件的。巨磁电阻效应自旋电子的一个应用早期的电脑，存储能力十分有限，一个移动的存储介质，如3.5英寸软盘，只能储存1.44Mb大小的文件。而今天，体积更小的U盘，可以轻易的储存32G的数据量，比十多年前大了两万倍。这是怎么做到的呢？这是利用了巨磁电阻效应。该效应在1988年，由德国尤利西研究中心的彼得格林贝格和巴黎第十一大学的艾尔伯费尔分别独立发现的，他们因此共同获得2007年诺贝尔物理学奖。所谓“磁电阻”，即有外加磁场时，材料的电阻随之改变。“巨磁电阻”，即外加磁场时，材料电阻发生巨大改变的现象，如下图。铁(Fe) 薄层铬
10、（Cr）薄层铁(Fe)薄层的交替结构。导线中的自旋电子，穿过交替结构，产生电阻。当没有外加磁场或弱磁场(下图a) 时，结构中的两个Fe薄层里的电子自旋，反向排列。这里顺带提一下，电子自旋的有序排列，正是磁铁形成的微观机制。在图a)里，左边的Fe层，自旋朝，从而磁铁N极朝上，S极朝下，右边的Fe层恰相反。这时，对于导线中的自旋为的电子，它感受到的总电阻为(R+R)，其中，R为自旋向上的电子遇到自旋也向上(即N极向上)的铁磁层产生的电阻；R为自旋向上的电阻，遇到自旋向下的铁磁层产生的电阻。同理，对于导线里自旋向下的电子，其感受到的薄层的总电阻为(R+R)。其等效过程，见下图b)。把两路电子产生的电
11、阻看作并联电阻，并且根据对称性，认为R= R=R大，R= R= R小。这样，该薄层结构的总电阻为（2）图1-6 在外加弱磁场时，产生巨磁电阻效应的薄层结构a)以及等效的电阻示意图b)。外加强磁场时，两个Fe薄层都被磁化，自旋都朝排列。如图1-7。对于导线中自旋为的电子，其产生的电阻为R+ R，而导线里自旋为的电子，产生的电阻为R+ R。并联后，总电阻为（3）图1-7 在强磁场时，两个Fe薄层的自旋方向平行，即均为N极朝上，S极朝下。该薄层结构产生的总电阻，相当于导线中自旋为上的电子产生的电阻，与自旋为的电子产生的电阻的并联。由于在数学上，调和平均值一定小于等于算术平均，我们有（4）这样，我们证
12、明了一个重要结论：由于电子的自旋，在铁磁薄层结构里，电阻随着外加磁场的增加而减小，见图1-8。图1-8 巨磁电阻效应示意图。外加强磁场时，电阻很小，而且趋于恒定值；不加磁场时，电阻最大。这和磁存储有何关系呢？由于计算机存储的是二进制”01110011”序列，巨磁电阻效应，使得磁场改变很小时，电阻发生很大的改变。从而可以发生很灵敏的电阻转换，在很小的空间范围内，高低电阻即对于数据“0”和“1”这存储的基本单元。由于巨磁电阻效应的空间灵敏度很高，同样大小的空间内可以有更多的存储单元存在，磁盘的容量也就变大了。小结三维空间只是描述坐标位置的空间，其他空间的存在却很难被意识到。也许平日里，上学回家，只
13、时刻关注着自己的空间位置。我们从不关心自己带有多少动量。对于描述一个物理系统，三维实空间是远远不够的。动量空间就是一个例子。密闭容器里的气体，在实空间看来平淡无奇，密度均匀而已；但从动量空间看去，气体动量的分布呈一个简单的函数，从中可以知道气体很多其他性质，比如零速度的粒子是不存在的，比如在什么速率下粒子最多，还能知道温度性质。动量空间也只是实空间以外的一个例子。物理的状态，就活在那些基础状态组成的态空间里。电子除了电荷以外的另一个性质，自旋就是如此。它是旋转，却和地球自转不像；它有两个输出结果，却和翻硬币不像；它分解为基础态的叠加，却和向量分解为分量也不像。自旋看似如此神秘，但是神奇的数学却可以描述它的全部性质。
自旋 我们生活在一个怎样的世界里
