数列十年高考题（带详细解析）

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1、精选优质文档-倾情为你奉上第三章 数 列考点阐释数列是高中代数的重点之一，也是高考的考查重点，在近十年高考试题中有较大的比重.这些试题不仅考查数列，等差数列和等比数列，数列极限的基础知识、基本技能、基本思想和方法，以及数学归纳法这一基本方法，而且可以有效地测试逻辑推理能力、运算能力，以及运用有关的知识和方法，分析问题和解决问题的能力.重点掌握的是等差、等比数列知识的综合运用能力.试题类编一、选择题1.（2003京春文，6）在等差数列an中，已知a1+a2+a3+a4+a5=20，那么a3等于（ ）A.4 B.5 C.6 D.72.（2002上海春，16）设an（nN*）是等差数列，Sn是其前n

2、项的和，且S5S6，S6S7S8，则下列结论错误的是（ ）A.d0B.a70C.S9S5D.S6与S7均为Sn的最大值3.（2002京皖春，11）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）A.13项B.12项C.11项D.10项4.（2001京皖蒙春，12）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn（万件）近似地满足Sn=（21nn25）（n=1，2，12）.按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（ ）A.5月、6月B.6月、7月C7月、8月D.8月、9月5.（2001全国理，3）设数列an是递增等差数

3、列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）A.1 B.2 C.4 D.66.（2001上海春，16）若数列an前8项的值各异，且an+8=an对任意nN*都成立，则下列数列中可取遍an前8项值的数列为（ ）A.a2k+1 B.a3k+1 C.a4k+1 D.a6k+17.（2001天津理，2）设Sn是数列an的前n项和，且Sn=n2，则an是（ ）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列8.（2000京皖春，13）已知等差数列an满足a1+a2+a3+a1010，则有（ ）A.a1a1010B.a2a10

4、00C.a3a990D.a51519.（1998全国文，15）等比数列an的公比为，前n项和Sn满足，那么a1的值为（ ）A. B. C. D.10.（1998全国理，15）在等比数列an中，a11，且前n项和Sn满足，那么a1的取值范围是（ ）A.（1，） B.（1，4） C.（1，2） D（1，）11.（1997上海文，6）设f（n）=1+（nN），那么f（n+1）f（n）等于（ ）A. B. C. D.12.（1997上海理，6）设f（n）=（nN），那么f（n+1）f（n）等于（ ）A. B. C. D.13.（1996全国理，10）等比数列an的首项a11，前n项和为Sn，若，则Sn

5、等于（ ）A. B. C.2 D.214.（1994全国理，12）等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）A.130 B.170 C.210 D.26015.（1995全国，12）等差数列an，bn的前n项和分别为Sn与Tn，若，则等于（ ）A.1 B. C. D.16.（1994全国理，15）某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂二个）经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成（ ）A.511个 B.512个 C.1023个 D.1024个17.（1994上海，20）某个命题与自然数n有关，若n=k（kN）时该命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也

6、成立，现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（ ）A.当n=6时该命题不成立B.当n=6时该命题成立C.当n=4时该命题不成立D.当n=4时该命题成立二、填空题18.（2003京春理14，文15）在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（_）内.19.（2003上海春，12）设f（x）=.利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f（5）+f（4）+f（0）+f（5）+f（6）的值为_.20.（2002北京，14）等差数列an中，a12，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比

7、的值等于 21.（2002上海，5）在二项式（13x）n和（2x5）n的展开式中，各项系数之和分别记为an、bn（n是正整数），则= 22.（2001全国，15）设an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若Sn是等差数列，则q=_.23.（2001上海文，2）设数列an的首项a17，且满足an1an2（nN），则a1a2a17 .24.（2001上海，6）设数列an是公比q0的等比数列，Sn是它的前n项和，若Sn7，则此数列的首项a1的取值范围是 .25.（2001上海理，2）设数列an的通项为an2n7（nN*），则|a1|a2|a15| 26.（2001上海春，7）计算=_.27.（

8、2000上海春，7）若数列an的通项为（nN*），则（a1+n2an） 28.（2000全国，15）设an是首项为1的正项数列，且（n+1）an12nan2+an1an0（n1，2，3，），则它的通项公式是an 29.（2000上海，12）在等差数列an中，若a100，则有等式a1+a2+an=a1+a2+a19n（n19，nN成立.类比上述性质，相应地：在等比数列bn中，若b91，则有等式 成立.30.（2000上海，4）计算=_.31.（1999上海，10）在等差数列an中，满足3a4=7a7，且a10，Sn是数列an前n项的和，若Sn取得最大值，则n=_.32.（1998上海文、理，10

9、）在数列an和bn中，a1=2，且对任意自然数n，3an+1an=0，bn是an与an+1的等差中项，则bn的各项和是_.33.（1997上海）设0a2成立.55.（2001全国文，17）已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项和为Sn，Sk=2550.（1）求a及k的值；（2）求.56.（2000京皖春理，24）已知函数f（x）=其中f1（x）2（x）21，f2（x）2x2（）在图33坐标系上画出y=f（x）的图象；（）设y=f2（x）（x，1）的反函数为y=g（x），a11，a2g（a1），ang（an1）；求数列an的通项公式，并求an；（）若x00，），x1f（x0），f（x1）x0，

10、求x057.（2000京皖春文，22）已知等差数列an的公差和等比数列bn的公比相等，且都等于d（d0，d1）.若a1=b1，a3=3b3，a5=5b5，求an，bn58.（2000全国理，20）（）已知数列cn，其中cn2n3n，且数列cn1pcn为等比数列，求常数p；（）设an、bn是公比不相等的两个等比数列，cn=an+bn，证明数列cn不是等比数列.59.（2000全国文，18）设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列的前n项和，求Tn60.（2000上海，21）在XOY平面上有一点列P1（a1，b1），P2（a2，b2），Pn（an，bn），对每

11、个自然数n，点Pn位于函数y=2000（）x（0a10）的图象上，且点Pn、点（n，0）与点（n+1，0）构成一个以Pn为顶点的等腰三角形.（）求点Pn的纵坐标bn的表达式；（）若对每个自然数n，以bn，bn1，bn2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；（）（理）设Bnb1，b2bn（nN）.若a取（）中确定的范围内的最小整数，求数列Bn的最大项的项数.（文）设cnlg（bn）（nN）.若a取（）中确定的范围内的最小整数，问数列cn前多少项的和最大?试说明理由.61.（2000上海春，20）已知an是等差数列，a1393，a2a3768，bn是公比为q（0q1）的无穷等比数列，b12，且b

12、n的各项和为20.（）写出an和bn的通项公式；（）试求满足不等式160b2的正整数m.62.（2000广东，18）设an为等比数列，Tn=na1+（n1）a2+2an1+an，已知T1=1，T2=4.（1）求数列an的首项和公比；（2）求数列Tn的通项公式.63.（1999全国理，23）已知函数y=f（x）的图象是自原点出发的一条折线.当nyn+1（n=0，1，2，）时，该图象是斜率为bn的线段（其中正常数b1），该数列xn由f（xn）=n（n=1，2，）定义.（）求x1、x2和xn的表达式；（）求f（x）的表达式，并写出其定义域；（）证明：y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的

13、交点.64.（1999全国文，20）数列an的前n项和记为Sn已知an5Sn3（nN）求（a1a3a2n1）的值.65.（1999上海，18）设正数数列an为一等比数列，且a2=4，a4=16，求.66.（1998全国理，25）已知数列bn是等差数列，b1=1，b1+b2+b10=145.（）求数列bn的通项bn；（）设数列an的通项an=loga（1+）（其中a0，且a1），记Sn是数列an的前n项和.试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论.67.（1998全国文，25）已知数列bn是等差数列，b1=1，b1+b2+b10=100.（）求数列bn的通项bn；（）设数列an的通项a

14、n=lg（1+），记Sn是数列an的前n项和，试比较Sn与lgbn+1的大小，并证明你的结论.68.（1998上海，22）若An和Bn分别表示数列an和bn前n项的和，对任意正整数n，an=，4Bn12An=13n.（1）求数列bn的通项公式；（2）设有抛物线列C1，C2，Cn，抛物线Cn（nN*）的对称轴平行于y轴，顶点为（an，bn），且通过点Dn（0，n2+1），求点Dn且与抛物线Cn相切的直线斜率为kn，求极限.（3）设集合X=x|x=2an，nN*，Y=y|y=4bn，nN*.若等差数列Cn的任一项CnXY，C1是XY中的最大数，且265C100，n=2，3，4，）（1）求证：数列a

15、n是等比数列；（2）设数列an的公比为f（t），作数列bn，使b1=1，bn=f（）（n=2，3，4，），求数列bn的通项bn；（3）求和：b1b2b2b3+b3b4b4b5+b2n1b2nb2nb2n+1.72.（1996全国文，21）设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S62S9，求数列的公比q.73.（1996上海，24）设An为数列an的前n项和，An=（an1）（nN*），数列bn的通项公式为bn=4n+3（nN）.（）求数列an的通项公式；（）若da1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn，则称d为数列an与bn的公共项，将数列anbn的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成

16、一个新的数列dn，证明数列dn的通项公式为dn=32n+1（nN*）；（）设数列dn中第n项是数列bn中的第r项，Br为数列bn的前r项的和，Dn为数列dn的前n项和，Tn=Br+Dn，求.74.（1995全国理，25）设an是由正数组成的等比数列，Sn是前n项和.（）证明：lgSn1；（）是否存在常数C0使得=lg（Sn+1C）成立?并证明你的结论.75.（1994全国文，25）设数列an的前n项和为Sn，若对于所有的正整数n，都有Sn=.证明：an是等差数列.76.（1994全国理，25）设an是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对所有自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项

17、.（）写出数列an的前三项；（）求数列an的通项公式（写出推证过程）；（）令bn=（nN*），求（b1+b2+bnn）.77.（1994上海，26）已知数列an满足条件：a1=1，a2=r（r0）且anan+1是公比为q（q0）的等比数列，设bn=a2n1+a2n（n=1，2，）（）求出使不等式anan+1+an+1an+2an+2an+2（nN*）成立的q的取值范围；（）求bn和，其中Sn=b1+b2+bn；（）设r=21921，q=，求数列的最大项和最小项的值.答案解析1.答案：A解法一：因为an为等差数列，设首项为a1，公差为d，由已知有5a1+10d=20，a1+2d=4，即a3=4解

18、法二：在等差数列中a1+a5=a2+a4=2a3.所以由a1+a2+a3+a4+a5=20得5a3=20，a3=4.评述：本题考查数列的基本知识，在解析二中，比较灵活地运用了等差数列中项的关系.2.答案：C解析：由S5S6得a1+a2+a3+a50又S6=S7，a1+a2+a6=a1+a2+a6+a7，a7=0.由S7S8，得a8S5，即a6+a7+a8+a902（a7+a8）0.由题设a7=0，a80，显然C选项是错误的.3.答案：A解析：设这个数列有n项n134.答案：C解析：n个月累积的需求量为Sn第n个月的需求量为anSnSn1（21nn25）21（n1）（n1）25（n215n9）a

19、n15即满足条件，（n215n9）1.5，6n9（n1，2，3，12），n=7或n=85.答案：B解析：前三项和为12，a1a2a312，a24a1a2a348，a24，a1a312，a1a38，把a1，a3作为方程的两根且a1a3，x28x120，x16，x22，a12，a36，选B.6.答案：B解析：kN*，当k=0，1，2，7时，利用an+8=an，数列a3k+1可以取遍数列an的前8项.评述：本题考查了数列的基本知识和考生分析问题、解决问题的能力.7.答案：B解法一：an=an=2n1（nN）又an+1an=2为常数，常数an是等差数列，但不是等比数列.解法二：如果一个数列的和是一个没

20、有常数项的关于n的二次函数，则这个数列一定是等差数列.评述：本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识，以及灵活运用递推式an=SnSn1的推理能力.但不要忽略a1，解法一紧扣定义，解法二较为灵活.8.答案：C解析：a1+a2+a3+a1010即（a3a99）0，a3a9909.答案：D解析：，a12=1q，a12=，a=.10.答案：D解析：由题意得：且0|q|1q=a121 0|a121|1又a11 1a1，故选D.评述：该题主要考查了无穷等比数列各项和公式的应用，挖掘了公式成立的条件.11.答案：D解析：f（n）=1+f（n+1）=f（n+1）f（n）=12.答案：D解析：f（n）为

21、n个连续自然数的倒数之和f（n+1）=f（n+1）f（n）=.13.答案：B解析：，又a1=1，故，故选B.评述：本题主要考查等比数列前n项和求和公式的灵活运用，较好地考查了基本知识以及思维的灵活性.14.答案：C解法一：由题意得方程组视m为已知数，解得解法二：设前m项的和为b1，第m+1到2m项之和为b2，第2m+1到3m项之和为b3，则b1，b2，b3也成等差数列.于是b1=30，b2=10030=70，公差d=7030=40.b3=b2+d=70+40=110前3m项之和S3m=b1+b2+b3=210.解法三：取m=1，则a1=S1=30，a2=S2S1=70，从而d=a2a1=40.

22、于是a3=a2+d=70+40=110.S3=a1+a2+a3=210.评述：本题考查等差数列的基本知识，及灵活运用等差数列解决问题的能力，解法二中是利用构造新数列研究问题，等比数列也有类似性质.解法三中，从题给选择支获得的信息可知，对任意变化的自然数m，题给数列前3m项的和是与m无关的不变量，在含有某种变化过程的数学问题，利用不变量的思想求解，立竿见影.15.答案：C解法一：应用等差数列中，若m+n=p+q，有am+an=ap+aq这条性质来解.，所以解法二：设数列an的首项为a1，公差为d，bn的首项为b1，公差为m，则注意n是极限中的变量有.解法三：不妨令Sn=2n2，Tn=3n2+na

23、n=SnSn1=2n22（n1）2=4n2（n=1时成立），bn=TnTn1=6n2（n=1成立）评述：该题的形式新颖，其考查目的也明确，正确解答，可考查其数学能力，要是在题型的选用上，采用解答题的形式，那将是一道十分理想的中等难度的试题.可是作为选择题，其考查的有效性大打折扣，因为有相当一部分考生，并没有用正确的方法却也得出了正确答案C.16.答案：B解析：由题意知细菌繁殖过程中是一个公比为2的等比数列，所以a10a1q9=29=512.评述：该题作为数学应用题，又是选择题，问题的实际背景虽然简单，考查的知识点也集中明确，但也有一定的深刻性.解决本题，应搞清题意，应求的是a9的值，而不是求和

24、.从题型设计的角度，本题的立意、取材和构题都是不错的.17.答案：C解析：因为当n=k时，命题成立可推出n=k+1时成立，所以n=5时命题不成立，则n=4时，命题也一定不成立，故应当选C.18.答案：140 85解析：从题目所给数据规律可以看到：收缩压是等差数列.舒张压的数据变化也很有规律：随着年龄的变化，舒张压分别增加了3毫米、2毫米，照此规律，60岁时的收缩压和舒张压分别为140；85.评述：本题以实际问题为背景，考查了如何把实际生活中的问题转化为数学问题的能力.它不需要技能、技巧及繁杂的计算，需要有一定的数学意识，有效地把数学过程实施为数学思维活动.19.答案：3解析：因为f（x）=，f

25、（1x）=f（x）+f（1x）=.设S=f（5）+f（4）+f（6），则S=f（6）+f（5）+f（5）2S=（f（6）+f（5）+（f（5）+f（4）+（f（5）+f（6）=6S=f（5）+f（4）+f（0）+f（6）=3.评述：本题利用课本中等差数列倒序求和为考生提供了一个思维模式，但发现f（x）+f（1x）=有一定难度，需要考生有一定的观察能力、思维能力及解决问题的能力.20.答案：4解析：设a1，a3，a11组成的等比数列公比为qa3a1q2q，a11a1q22q2又 数列an是等差数列a11a15（a3a1）2q2a15（2qa1） 2q225（2q2），解得q421.答案：解析：由

26、二项式定理，得：an4n，bn7n22.答案：1解析：方法一：SnSn1an，又Sn为等差数列，an为定值an为常数列，q1方法二：an为等比数列，设ana1qn1，且Sn为等差数列，2S2S1S3，2a1q2a12a1a1a1qa1q2，q2q0，q0（舍）q=1.23.答案：153解析：an1an2，an为等差数列an7（n1）2，a1771622524.答案：（0，7）解析：Sn7，an是一个无穷递缩等比数列，0q1，且7，a17（1q），又0q1，11q0，07（1q）7，即7a1025.答案：153解析：|a1|a2|a15|5311352315326.答案：e2解析：27.答案：解

27、析：28.答案：解析：将（n+1）an12nan2+an1an0化简得（n1）an1nan当n=1时，2a2=a1=1，a2，n=2时，3a3=2a2=21，a3，可猜测an，数学归纳法证明略.29.答案：b1b2bnb1b2b17n（n17，nN*）解析：在等差数列an中，由a100，得a1a19a2a18ana20nan1a19n2a100，所以a1a2ana190，即a1a2ana19a18an1，又a1a19，a2a18，a19nan1a1a2ana19a18an1a1a2a19n若a90，同理可得a1a2ana1a2a17n相应地等比数列bn中，则可得：b1b2bnb1b2b17n（

28、n17，nN*）30.答案：e2解析：.评述：本题主要考查灵活运用数列极限公式的能力及代数式的变形能力.31.答案：9解法一：设公差为d，由题设有3（a1+3d）=7（a1+6d），解得d=a10，即a1+（n1）（a1）0得n0，同理可得n10时an0.所以n=9时，Sn取得最大值.解法二：d=a1Sn=na1+=0，（n）2最小时，Sn最大.又nN，n=9.评述：本题考查等差数列的基本知识，解法二的计算量太大.32.答案：2 解析：bn=，3an+1=an bn=2an+1，b1+b2+bn=2（a1+a2+an）2a1an是首项为2，公比为的等比数列（b1+b2+bn）=2（a1+a2+

29、an）2a1=222=2.33.答案：4解析：34.答案：e4解析：.35.答案：2r0解析：1=1，又1+（r+1）n=1， 1+（r+1）n=11=0，即（r+1）n=0.则1r+11，因此2r0，即2301001.05n20时，1.05n22.3，得n19.1因此，当2n19时，Cn12，只要.因为Sk=4（1）0（kN*）故只要Sk2cSk（kN*），所以Sk2S12=1.又Sk4，故要使成立，c只能取2或3.当c=2时，因为S1=2，所以当k=1时，cc，由SkSk+1（kN*），得Sk2c，从而不成立.当c=3时，因为S1=2，S2=3，所以当k=1，2时，cc，又Sk2c，从而不

30、成立.故不存在自然数c，k，使成立.评述：本题主要考查等比数列、不等式知识，以及探索和讨论存在性问题的能力，是高考试题的热点题型.55.解：（1）由已知a1=a，a2=4，a3=3a，a3a2=a2a1，即4a=8，a=2.首项a1=2，d=2Sk=ka1+d得k2+d=2550k2+k2550=0，解得k=50或k=51（舍去）a=2，k=50.（2）由Sn=na1+d，得Sn=n（n+1）图34评述：本题考查数列和数列极限等基础知识，以及推理能力和运算能力.56.解：（）函数图象：说明：图象过（0，）、（，1）、（1，0）点；在区间0，上的图象为上凸的曲线段；在区间，1上的图象为直线段.（）f2（x）2x2，x，1的反函数为：y=1，x0，1由已知条件得：a11，a21a11，a31a21（）2，a41（）1（）2（）3，an（）0（）1（）2（）n1即an1（）n，.（）由已知x00，x1f1（x0）12（x0）2，由f1（x）的值域，得x1，1f2（x1）2212（x0）24（x0）2由f2（x1）x0，整理得4x025x010，解得x01，x0因为x00，所以x0评述：本小题主要考查函数及数列的基本概念和性质，考查分析、归纳