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1、2019届 北师大版数学精品资料2 排列自主整理1.一般地，从n个不同的元素中取出m（mn）个元素，按照_排成一列，叫作从n个不同的元素中任取m个元素的一个排列.我们把有关求_问题叫作排列问题.2.我们把_，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作_.3.排列数A式的展开式为：A=_，规定A=_.当n=m时，A=_.4.n的阶乘的展开式为：n!= _，规定0!=_，利用阶乘表示排列数A的展开式为：A=_.高手笔记 排列数公式A=n（n-1）（n-m+1）的特点是：从自然数n开始，后一个因数比前一个因数小1，最后一个因数是n-m+1，共m个因数相乘.当m=n时，排列数公式为A=n！.名师解
2、惑1.如何理解排列的定义？剖析：排列的定义包含两个方面的含义：一是“取出元素”,二是“按照一定顺序排列”.因此，当两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，它们才是同一个排列，元素完全不同，或元素部分相同，或元素完全相同而顺序不同的排列，都不是同一个排列.定义中规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况，也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不能再取了,否则就变成了取出两个相同元素.定义中的“一定顺序”是与位置有关的问题，对有些具体情况，如取出数字1，2，3组成三位数，就与位置有关，因123和132是不同的三位数；但如取出数字1，2，3，考虑它们的和
3、，则与位置无关.2.正确区分排列与排列数两个定义剖析：“排列”与“排列数”是两个不同的定义.一个排列是指从n个不同元素中，任取m个元素，按照一定顺序排成一列的一种具体排法，它是具体的形式，而不是数；而排列数是指从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，即排列共有多少种形式，它是一个数，如从a,b,c中任取两个元素的排列有以下6种：ab,ac,ba,bc,ca,cb，每一种都是一个排列，而数字6就是排列数.3.在解答有关排列问题的应用题时应注意什么？剖析：（1）注意排列的有序性，分清全排列与选排列，防止重复与遗漏；（2）对受条件限制的位置与元素应首先排列，并适当选用直接法或排除法（间接法）；
4、（3）同一个问题，有时从位置出发较为方便，有时从元素出发较为方便，应注意灵活运用；（4）从位置出发的“填空法”及对不相邻问题采用的“插空法”，是解答排列应用题中常用的有效方法，应注意培养运用这些方法的意识，同时要注意方法的积累;（5）要通过解答排列应用题，深化对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的认识，培养“全局分类”和“局部分步”的意识，并在具体操作中确保：分类要使得各类的并集等于全集，任意两类的交集等于空集，这样才能“不重不漏”；分步要使得各步具有连续性和独立性，保证“不重不漏”.4.排列问题的常见类型和解题策略是什么？剖析：排列中具有典型意义的两类问题是“排数”问题和“排队”问题，大部分
5、排列问题都可以转化为这两类问题.对有约束条件的排列问题，应注意以下类型：某些元素不能排在或必须排在某一位置；某些元素要求连排（即必须相邻）；某些元素要求分离（即不能相邻）.其基本解法是：有特殊元素或特殊位置，通常先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理元素（位置）法（即优先法）;某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排序，称这种方法为“捆绑法”；某些元素不相邻排列时，可选排其他元素，再将这些不相邻元素插入空档，称这种方法为“插空法”.对于较复杂的排列问题常常通过试验、简化等手段使问题直观化，从而寻求解题途径.常用思维形式有直接和间接、逆向思维等
6、.讲练互动【例1】计算下列各式的值：（1）;（2）A分析：利用排列数A的展开式A=求解.解：（1）=.（2）由,解之得n4,nN+,n=4.原式=A+A=28!=80 640.绿色通道:使用排列数公式A时，注意m,nN+，mn等限制条件.变式训练1.证明：A证明：左式=+k=右边.等式成立.【例2】7名班委中有A、B、C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工.（1）若正、副班长两职只能由这三人中选两人担任，有多少种分工方案？（2）若正、副班长两职至少要选这三人中的1人担任，有多少种分工方案？分析：显然这是一道排列应用题，问题（1）可分两步进行，优先安排受限制的正、副班长，然后再排
7、其余5名班委职务.问题（2）的反面情形比较简单，可采用排除法求解.解：（1）先安排正、副班长有A种方法，再安排其余职务有A种方法，依分步乘法计数原理，共有AA=720种分工方案.（3）7人的任意分工方案有A种，A、B、C三人中无一人任正、副班长的分工方案有AA种，因此A、B、C三人中至少有1人任正、副班长的方案有A-AA=3 600种.绿色通道:排列问题的实质是每一个元素有一个特定的位置，并非一定要排成“一行”.“间接法”实际上是分类加法计数原理的变式应用，在处理“至多”或“至少”等问题时非常有效.当然问题（2）亦可以逐一分类，算式为AA+AA+A=3 600种.变式训练2.用2，3，4，5排
8、成四位数：（1）无重复数字的四位数有多少个？（2）无重复数字的四位偶数有多少个？（3）2在3的左边的无重复数字的四位数有多少个？（4）2在千位上的无重复数字的四位数有多少个？（5）5不在十位、个位上的无重复数字的四位数有多少个？解：（1）A=24个.（2）个位上只能是2或4，有2A=12个.（3）所有的四位数中，2在3的左边的数与2在3的右边的数各占一半，共有A=12个.（4）2在千位上，3，4，5只能在另外的三个位置排列，有A=6个.（5）法一：5不在十位、个位上，所以5只能在千位或百位上，有2A=12个.法二：从A中减去不符合要求的（5在十位、个位上），有A-2A=12个.【例3】7名师生
9、站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下各有不同站法多少种？（1）两名女生必须相邻而站；（2）4名男生互不相邻；（3）教师不站中间，女生不站两端.分析：这是一个有限制条件的排列问题，可以运用“捆绑法”“插空法”等排队技巧.解：（1）2名女生站在一起有站法A种，视为一个元素与其余5人全排，有A种排法，有不同站法AA=1 440种.（2）先站老师和女生，有站法A种，再在老师和女生站位的间隔（含两端）处插入男生，每空一人，有插入方法A种，共有不同站法AA=144种.（3）中间和两侧是特殊位置，可如下分类求解：（1）老师站两侧之一，另一侧由男生站，有AA种站法，（2）两侧全由男
10、生站，老师站除两侧和正中外的另外4个位置之一 ，有AAA种站法.共有不同站法AA+AAA=2 112种.绿色通道:（1）为要求某些元素相邻，可用“捆绑法”；（2）为要求某些元素不相邻，用“插入法.变式训练3.五个人排成一排，按下列要求分别有多少种排法？（1）其中甲不站排头；（2）其中甲不站排头，乙不站排尾；（3）其中甲、乙两人必须相邻；（4）其中甲、乙两人必须不相邻；（5）其中甲、乙中间有且只有一人；（6）其中甲必须排在乙的右边.解：（1）如先排甲，有4种排法，然后排其余4人，有A种排法，故有4A=96种；如先排排头，有4种排法，然后其余4个位置有A种排法，故有4A=96种；如先不考虑排头，则
11、5个人排成一排有A种排法，其中甲在排头有A种排法，所以甲不站排头有A-A=96种.（2）如甲在排尾，其余四人有A种排法，如甲排在中间三个位置中一个，而乙不在排尾，则有AAA=54种，共有A+54=78种；如先不考虑排头、排尾，则五个人排一排有A种排法，其中甲在排头有A种，乙在排尾有A种，甲在排头且乙在排尾共有A种.故共有A-2A+A=78种.（3）将甲、乙两人捆在一起作为一个元素，与其他3个元素作全排列有A种，然后甲乙再作全排列有A种，故有AA=48种.（4）五个人排成一排有A种排法，除去甲、乙两人相邻的排法48种，故共有A-48=72种.如先排甲、乙以外的三个，则有A种排法；这三个之间及两端
12、留出4个空位去排甲、乙两人有A种排法，故共有AA=72种.（5）甲、乙两人有A种排法，从剩下的三人中选一人插入甲、乙中间，有A种，然后再将三人看作一个元素，和其他两个元素作全排列，有A种，故共有AAA=36种.（6）五个人全排列有A种，甲在乙的左边的排法种数与甲在乙的右边的排法种数各占一半，故共有A=60种.【例4】5人围桌而坐，共有多少种坐法？分析：对于环状排列我们可以想象成这5人是手拉手的排列，因此，可采用剪断直排列法求解.由于5个人有5个连接点，故有5种剪断直排列的方法，而对于同一环状排列，这5种剪断方法会形成5种不同的直排列.解：5人围桌而坐，共有A=24种不同的坐法.绿色通道:一般地，当n个不同元素作圆形排列时，共有（n-1）!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有A种排法.变式训练4.4名学生和2名老师围圆桌入座.（1）有多少种不同的入座方法？（2）如果老师必须相邻，有多少种不同的入座方法？解：（1）6人全排列有A种方法，由于6种剪断直排列对应同一种圆排，故共有A=120种不同的入座方法.（2）由于老师必须相邻，要将2名老师看作1人，故只有5种剪断法，但老师又可以相互交换位置，故共有=48种不同的入座方法.
高中数学第一章计数原理2排列导学案北师大版选修231130324
