数值分析习题及答案解析

《数值分析习题及答案解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值分析习题及答案解析（42页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、WORD格式整理第一章绪论习题一1设x0, x*的相对误差为5，求f(x)=ln x的误差限。 解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式 (1.2. 4)有珥才)=|心)-心*)|%和腐| /(I) |现卢)已知 x*的相对误差占满足小，而f(*) = In x,f(x) = -,|x-= z.lx*1 j,左，故3曲苗皿訳II 一邛点詁沢In芒)=上也丄丄即X* 1-51-J2 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有 几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。=1.102U；= 0.031,= 560.40解：直接根据定义和式(12. 2)(1. 2. 3)则

2、得X；有5位有效数字淇误差限炖呂X，相对误差限亦)呂X” 兀；有2位有效数字，曲斗叩恥；)斗心亠 l , 亠,宀 亠 ；)-xl0-2,r(xO23. 下列公式如何才比校准确？dx9N解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换 所给公式。()| -2tan(N +1) - arc tanHFl-Fl= I. i j i3、心十4. 近似数x*=0. 0310,是位有数数字。5 计算（虑T）取血4,利用 2+2侮 式计算误差最小。 厂 1 ,（3-2,99-7072四个选项：（庞十D養血尸第二三章插值与函数逼近1 给定/（X）=血的数值表0.40.50.60.7Lil 乂-0.9162

3、910.6931470.510826-0.356675用线性插值与二次插值计算InO. 54的近似值并估计误差限.解：仍可使用n=l及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值In 0.54-0.693147 +-0.510826 + 0.6931470.6-0.5(0.54-0.5) = -0.620219专业资料值得拥有WORD恪式整理误 差 限 |%）耳叭（“0恥-0创 , 因f仪）-宓f Cx）=-二强创方=xX ，故|z| 1x4x0.04x0.06= 0.00482二次插值时，用0. 5，0. 6，

4、0. 7三点，作二次Newton插值h 0.54-0.620219 + /0.5AW.7(0.54-0.5X0.54-0.6) = -0.620219 +(-1.40850)x0.04x(-0.06) = -0.616839限|(x)|i3|(x- 2)( 0.6)( 0.7)|,2 2心r，也，厂，故|2%(x)|lxl6x0.04x0.06x0.16 0.0010242. 在-4WxW4上给出畑沁的等距节点函数表，若用二次 插值法求/的近似值，要使误差不超过io,，函数表的步长h 应取多少？解：用误差估计式（5.8），“打,严%4（兀）-刃（别 $科囂佃闭|（久一兀_】）（_ 玛）（_ 无

5、+1）|令心1 x和二吗一心亠召_1 = -h, xj+1二吗+h p 1.因叫_|為,* |（兀-/ 12xW,5 求伽旳宀的值,这里pWn+l 解 :/(x) = 1W,/(xi ) = 0(2 = 0,1,-,),由均差 对称性/(吗)/a0,a1,-,z? = 2少L1 （為:可知 当P兰怡有/和心， =而当P=n+1时于心內，和1 =工y 亿”少;心（兀）=”曲1)二 1/(s)于是得了勺,心,心h 1PnP = n+12-15a-l5. 求证評宀2 解：解：只要按差分定义直接展开得专业资料值得拥有WORD格式整理(切+i-4)= 4r _叽1 +轨_1-3“ + 4_心 二蚊-Ay

6、06. 已知他皿的函数表Xi00.200.300.5000.201340.304520.52110求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并 用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表X;f (x J阶均差二阶均差三阶均差000.200.201341.00670.300.304521.03180.083670.500.521121.08300.170670.17400由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=l. 0067x+0. 08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0. 2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3

7、(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得|3 0-23)| = /x0, x2, x3,0.23 (0.23)由于九阳,勺,乃，勺,0.23 0.033133|J?3 (0.23)| 0.033133xQ.23x0.03x 0.07x 0.27 4.32 X1Q-57. 给定f(x)=cosx的函数表爲00.10.20.30.40.50.6AX)1.000000.995000.980070.955340.921060.877580.82534用Newton等距插值公式计算cos 0. 048及cos 0. 566的近 似值并估计误差 解：先构造差分表f (xJAW)予(07)丹

8、0力A4J(V7)A5(v7)1.00000-0.005000.09500-0 00993-0.014930.000130.98007一0 009800.00012-0.024730.00025-o.000020.95534-0 009550.00010-0.034280.00035-o.000010.92106一0 009200.00009-0.043480.00044-0.052240.85234计算-0.048,x =,用4得Newton前插公式N4(XO 二饥)二久 +47q f + 警f G -1) +警血-1)(/ - 2) + 孚组-1)0 - 2)0- 3)“00000十囲-。

9、皿00心2严网亠閔型乞2处沁川 L2I 624 )误差估计由公式(5.17)得|R4 (0.048)|-1)(2 - 2)(2 - 3)(2 - 4)|ft5 1.5845 x 1Q-7其中皿5 =臨0.6|= 0.565专业资料值得拥有WORD恪式整理x= 0.566, x6 = 0.6,2 = -0.34计算 cos 0:566 时用 Newton 后插公式(5.18)V2 fA3 fA4 fcos 0.566 酬弘(心 +珑)二九 + 咲f + 1) + (r +1)(/ + 2) + 母 + l)(f + 2)(f + 3) 即郴），他（X）,故法方 程系数4（% 0）=另阮（吗）2-

10、0（怖,何）=丈諾=5327,（处他）=丈计=7277699（% 司=2严2714,丿）二2 二 36夕3214Zi-0法方程为5 + 5327 = 271.4“ 5327（s +72776992 = 369321.5解得 j 二 0.972604H = 0.0500351最小二乘拟合曲线为7 = 2245+ 03003刃子 均方程为01仁就- 5 y）-Xi，7）= 0.0150321114=0.1226专业资料值得拥有WORD格式整理11填空题(1) 满足条件肌2円的插值多项式 p(x)=().(2) KT5,则 f1,2,3,4=()f1,2,3,4,5=()(3) 设贰电1，也4)为互

11、异节点，唸)为对应的四次插值基函专业资料值得拥有)4数，则驴网=(4艺(彳十2)2) 2-0 =(4) 设仏(刖：“是区间0,1上权函数为q (x)二x的 最高项系数为1的正交多项式序列，其中沐帖1，则“佻必 =( )卩2(兀)=( ) 答：(1) 卫=(+ 1)( J(2) /1,2,3,4 = 2,/ 1,2,3,4,5 = 044小、2熬0)= 02(卅+鋼口) = / + 2(3) 7i-0fl 、1，比二0J严&冏20片0匕/2 63咏入)二 x - x+(4) 510数值积分与数值微分习题41. 分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算下列积分.一 dx 卫=8JM + x2

12、解本题只要根据复合梯形公式(6.11)及复合Simpson 公式(6.13)直接计算即可。对仮2 圧？ 取n=&在分点处计算f(x)的值构造函数表。按式(6.11)求出爲=0.1114024，按式(613)求得九=0111力24 ,1 X积 =L=0111571722. 用Simpson公式求积分1*必，并估计误差 解：直接用Simpson公式(6. 7)得J：八如扣+ 4庐= 0.63233由(6.8)式估计误差因O八,严(沪八,故(1 41血丿3. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量 高，并指明求积公式所具有的代数精确度.fl()于(加亦型(0) +琢(心)+ 0(1)(2)

13、 A(11)十九/(0)十九/仇)(3 ) I：丿张树雪(-h) + B/(心)解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式 的参数。(1) 令几沪“心代入公式两端并使其相等，得WORD恪式整理U + S + C7=lT - _ jd - _ d - _ c = _解此方程组得J 2，6?3?6，于是有IX) 1/(0)+ |/(1) +1/(1)再令/() = ;?,得Jo3汽 6 24故求积公式具有3次代数精确度。(2)令/7代入公式两端使其相等，得扎 1+4,+4=4亦 41(紂 +4& = Q t -_i +4 = (一好 + 申2 = -(2)3 T 乩 +4 =兰直OA解出

14、A_1=Al=-k=-fW = x31 ?解得宁宀許H荒,得求积公式QX3X=-/2(-)3+3 =而对了”不准确成立，故求积公式具有3次代数精确度。(3) 令克力=1，兀/代入公式精确成立,得 + 5 = 22，_曲+玄=09煦+瑞=-0=:屜* f W +昭硏2 -討故求积公式具有2次代数精确度。4.计算积分-斤吩必1若用复合Simpson公式要使误差不_ y 0-5i-q I超过2，问区间L勺要分为多少等分?若改用复合梯形公 式达到同样精确度，区间应分为多少尊分？ 解：由Simpson公式余项及几力=sm （沪sin兀得WS*金（挣喘詞严呦= （ly（ly 665,5.08,取口二6，即

15、区间迈分为12等分可使误差不 ,丄 _xl0超过2 对梯形公式同样朦烏厂（兀）卜】，由余项公式得肉遥（却今沪,2 l（）3xl05 计算 到K=3，结果如下表所示。4矿00.68394010.6452350.63233320.6354100.6321350.63212230.6329430.6321210.6321200.632120于是积分丘宀713271 ,积分准确值为0. 7132726 - 用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分.解：本题直接应用三点Gauss公式计算即可。_丄由于区间为01，所以先做变换兀* +1= 是 Xdx = J；1)律尹妝于是Zl0.555556x

16、(lJ745972eOS87298 + (l-0.774597)Z112702) +0.888889 =0182528本题精确值 -2 = 0.7182818287 - 用三点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分I = f1 . 1 dx解：本题直接用Gauss-Chebyshev求积公式计算1= f1 厂一 dx = L一 .dx,_1 Vi-/丄】Ji+J于(力=/2即 J1 + x2，兀土 1I B 、j .=于是,因n=2,即为三点公式，于是忑=cos X；冗飞=0,1,2 ,艮卩心-卓，兀1二，兀2二f=2.630411专业资料值得拥有&试确定常数A，B，C，及a，使求积公

17、式4/(中)十步(0)十有尽可能高的代数精确度，并指出所得求积公式的代数精确度是多少它是否为Gauss型的求积公式?解：本题仍可根据代数精确度定义确定参数满足的方程，令用对公式精确成立，得到CD虫 +刃+ C=J：/ = 4-aA-aC-0aA + a2C -43丹+&=0由(2) (4)得A二C，这两个方程不独立。故可令氏祐二，得 由(3) (5)解得士再肛升罟代入(1)得“詈 则有求积公式护4+ aC = J 必二S)如弭禺+齐+利朗令(/ = /公式精确成立，故求积公式具有5次代数精确度。 三点求积公式最高代数精确度为5次，故它是Gauss型的。第五章解线性方程组的直接法习题五1. 用G

18、auss消去法求解下列方程组.111.xy + X, = 94 1 5 2 6 3111。三巧十才也十云心=8+尤1 +心+ 2冷=g解 本题是Gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公 式及回代公式直接计算即可。111cx +-xQ + X, = 94 15 26 31 1 ”_ -氐二 Y60 245 313七二一 15415 ”jf3 =-154x153 =-177.69花二60（4十占冷）二 476.92 故角=4（9十厂打 =一227闪2.用列主元消去法求解方程组并求出12 3x2 十 3x3 = 15 一 lSxj 十 3x2 十 3x3 = -15 6亠乃亠 =6系数矩阵A的

19、行列式detA的值解：先选列主元，厂2，2行与1行交换得-18-183-1-15-12-33151116消元3-176-1731718-155-18 3-1-15-183-1-15n 717310717316186618T7A722663行与2行交换0 -135消元06T回代得解码=3心=2,心=1行列式得7 22det = -18- = -666 7111Cxy + X, = 94 1 5 2 6 3 分解式是能分解，否唯一？123111126A =241,B =221,c =251546733161546中 A2=o 幺22 = 22+习22 m約2 = 0隔2=42+0 + 0 相互矛盾

20、 故A不能分解9但畑4工0，若A中1行与2行交换 则可分解为LU对B 显然a2=a3=o 但它仍可分解为1 111 B =2 100-13&1_00心-2_分解不唯一 嘉为一任意常数，且U奇异。C可分解 且唯_11 2 6 _c=2 11363115.用追赶法解三对角方程组Ax=b 其中2-10001-12-1000A =0-12-100=000-12-10000-120解：用解对三角方程组的追赶法公式（3.1.2）和（3.1.3）计算得65,1111 1.7 _门 2 1 1 1 亍亍宁卫 川7了宁夕亍卞)64456.用平方根法解方程组怡-8 _4-4兀2=322 10 解：用占=zzf分解

21、直接算得4L= 122-3 3 由。皿及求得厂（-1,2,6）,“（-討,2）7.设川，证明INLIWL彳IkL解：蚯=黑管博|彳+兀；+ =权|； 即啊L - W2，另_方面|同|；=卅+卅+处s鸞忖卜创朮故忆兰凋忖L80.6 A =设卜1范数解：制Ji规Ar A =0.37 0.330.33 0.34故H= 4068534 =0.82785=0.8, |P4|F= 701 = 0.840.5呵计算A的行范数，列范数及F-范数和2& = 0.685349 设冈为 时上任一种范数，卩就杯是非奇异的，定义H = IH，证明删厂阿II证明：根据矩阵算子定义和址定义，得II刚I尸宀I令曲，因P非奇异

22、，故x与y为一对一，于是240-17910.求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计IHL240-179.524。；卜J ,即人归240 L： = L,即 +型) + &)“ 贝）1*兀=血的解乳=（43/ ,而3 +理）0 +禺）=3的解（齐+蜃）=（&6） itlWL=4HL=4240-179-3192405A =0-0.5-0.50而240499 179319240=k1IIJK=626-2IK = 5|111 = 0-56012由（3.12）的误差估计得IML0.560120.439881.274|K1.274|xL5.10表明估#1=4略大，是符合实际的。11是非题（若是“在末尾

23、（）填+,”不是”填-）：题目中2氐心）代月二（.）訂（1）若A对称正定，朋眄则制厂严是疋上的一种向量范数 （）定义乩厂醱滋是-种范数矩阵（）（3）定义凤犷冏如）是一种范数矩阵（）（4 ）只要砒八o，则A总可分解为A=LU,其中L为单位下三角阵，U为非奇上三角阵（）（5）只要畑小o，则总可用列主元消去法求得方程组“的解 （）(6) 若A对称正定，则A可分解为上圧，其中L为对角元素为正的下三角阵()(7) 对任何4 叩都有刑L王制2工W( )(8) 若A为正交矩阵，则炉加(&厂1()答案：(l)( + )(2)( )(3)( + )(4)()(5)( + )(6)( + )(7)( )(8)(

24、+ )第六章解线性方程组的迭代法习题六T A,丄才 丄才 丄Z4 .1证明对于任意的矩阵A，序列2! 3 3! 4!收敛于零矩阵解：由于抨国冊而丄誌岡卜2. 方程组5!十 2 花 + x3 = -12-Xj + 4x2 + 2x3 = 202巧 一 3x2 +10x3 = 3(1) 考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性.(2) 写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以X叭(0,0,0)计算到卜纠L 5为止521 _A= -142解：因为 b-310_具有严格对角占优，故J法与GS法均收敛。WORD格式整理（2）J法得迭代公式是=-1（12 + 2+） 旷）=扣0 +带2閉） 护冷（

25、3 2普）+ 3皆）宀0， 取阳=（0Q0）,迭代到18次有 尤阻）=（_3.999996,2.999974,1.99999）?|）_x（18J|04145xW-4GS迭代法计算公式为严=_（12十2册）十芒）屮詁（20 +严-2炉）兀严=1（3-2*蚀+ 3站啣）用=0,1,-取X = (-4.000036,2.9999務,2.00000习尸|p?)-x8)|w 故(5)= 0 J 法收敛、GS法的迭代矩阵为10o-1o-22o-22g 二 3-11000-1=02-3221000002-222det(Z -G)= 02-2003 =几(人一 2)2 = 0,丸=0,22 = = 2故 9)

26、 = 2解此方程组的GS法不收敛。10A= b105.设5J，detA工0，用巧b表示解方程组Ax=f的J法及GS法收敛的充分必要条件.解J法迭代矩阵为=1, g=1. 1）14忑-x2 =1_心 +4x2 _心=4十4码=-311 t精确解“飞丄F，要求当L州L1，时迭代终止，并对每一个G值确定迭代次数解：用SOR方法解此方程组的迭代公式为旷0）护+中1+妁罗丸-劲閉十扌（4十旷】）十皆）習刊=（-呵老）+扌（-3+胡切）我=0,1,取曲二（0,0,0）,当沪1.03时，迭代5次达到要求?5） = （0.5000043,1.0000002-0.4999995）J若恥1 迭代6次得兀 = （0

27、.5000035A9999989 -0.5000003）r7. 对上题求出SOR迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速 度，并求J法与GS法的渐近收敛速度若要使忙-艸IL mW那么J法GS法和SOR法各需迭代多少次?解：J法的迭代矩阵为024027o丄4,det（2Z-） =Z140142140A咼= 0,22,3 = 丄-血4故Q（3）詁庞，因A为对称正定三对角阵，最优松弛因子21 十 J1_q（对J法收敛速度R（B）= - In p（B） = -In1 = 1.03972由于。R（Gj=-h ） = 3.4001若要求lL TF-朋Lsil邮L,于是迭代次数R R? -In s*对于J法丽15.

28、4251.0397214.85 取 K=15i - In s对于GS法歸15.4252.079447.42上心对于$01?法心3.4001&填空题a 10A=10 r(1) 2要使质才=0应满足().(2) 已知方程组.戈,则解此方程组的Jacobi迭代法是否收敛()它的渐近收敛速度R(B)=().2 -1A.二(3) 设方程组Ax=b,其中L11勺其J法的迭代矩阵是()GS法的迭代矩阵疑()x1 十 ax2 = 42嗎，其中a为实数，方法收敛的充要条件是a满足()1(5)给定方程组1 x2已,a为实数.当a满足()，且0 3 2时SOR迭代法收敛.答：制1(2) J 法是收敛的 9 R C)

29、 = (-ln =-In 0.8 = 0.223)b丄o丄B=2G =2-？0Q -(3) J法迭代矩阵是L 3，GS法迭代矩阵L 3 J楠足恥匸(5)么满足恥1第七章非线性方程求根习题七1. 用二分法求方程点-1 = 0的正根，使误差小于005 解 使用二分法先要确定有根区间旬。本题 f(x)=x2-x-l=0,因 f(l)=-l,f(2)=l,故区间1,2为有根 区间。另一根在-1,0内，故正根在1,2内。用二分法 计算各次迭代值如表。N血6夠畑符号0121.5-11.521.75+21.51.751.625十31.51.6251.5625-41.56251.6251.59375-心=87

30、5其误差忆F詁誌 加52. 求方程戸-工2-1 = 0在4=1.5附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，并建立相应迭代公式./ 、 乳=1TQ兀息+1 一 1 4 2(1) 迭代公式心.1(2) 迭代公式仏广(1十卅)11 1= _xv+1 =，丿(3) ，迭代公式厂.试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根1 2解：(1)取区间/且X ,2在1.3,1且0)= 一7,在1.3,1.61 0.488 | 故迭代收敛。(2 )卩=初 + /，在1.3,1.6中13,1.6,且2兀20(山彳(1).，在竹丄旬中有材0.46二1，故迭代收敛。(3) 心右讣石(

31、，在归5附近*)3 ,故 迭代法发散。在迭代（1）及（2）中，因为（2）的迭代因子L较小，故它比（1）收敛快。用（2）迭代，取心=1厂贝UX! = 1.481248, x2 = 1.472706, x5 = 1.468817, =1467048心=1.466243, x6 =1.465877, = 1.455710, x8 = 1.465634 心=1來5599, =1.465583,可=1.465577，引=1.46为 74x13 =1.465572, =1.4655723.设方程12-弦+ 2cosz = 0的迭代法(1) 证明对 8均有巴凤=其中八为方程的根.(2) 取二4,求此迭代法的

32、近似根，使误差不超过10= 并列出各次迭代值.(3) 此迭代法收敛阶是多少？证明你的结论 解：(1 )迭代函数W = 4+Icsx，对空有(2)取心=4 ,则有各次迭代值 = 3.5642,x2 = 3.3920, a3 =3.3541, = 3.3483 心=3.3475,= 3.3474 卫了 = 3.3474取和3 347 ,其误差不超过10心（3）%-M心汕3故此迭代为线性收敛4. 给定函数他，设对一切X,八力存在，而且0血（恥M.Cj 2 V证明对 阪的任意常数血迭代法仙f厂劝（耳）均收敛于 方程/仗）=0的根 解：由于广（E，了仗）为单调增函数，故方程/W = o的根 是唯一的（假

33、定方程有根/）。迭代函数卩（E二歹， gj（x） = l-2/（x） o 令|p（x） L ,贝|Z = max（|1 -|,|1 -| 1 ,由递 推有xk-xLx - x* 并讨论其收敛性.解：方程八-q = o的根为卅二亦 用Newton迭代法琉 _012 a 5-陥1二一 疋厂二亍耳十奇京。丄此公式迭代函数3% ，则汎八1-鋁恥詁。，故迭代法2阶收敛。还可证明迭代法整体收敛性。设么 o，对 2a 2x?十 a 3 厂 一般的，当“沁时有 陥I二于吃十岛 需朮二0,1,3 応这是因为 g-倚 5 +需）=2玩+ a -张;需二0当盘沁时成立。从而%，即55，表明序列乓J单调递减。故对，迭代序列收敛于逅