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1、 海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学（文） 20xx.4 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，则（ ）（A）（B）（C）（D）（2）抛物线的焦点到准线的距离为（ ）（A）（B） 1（C）（D）（3）已知函数是奇函数，且当时，则（ ）（A）（B）（C）（D）（4）某单位计划在下月1日至7日举办人才交流会，某人随机选择其中的连续两天参加交流会，那么他在1日至3日期间连续两天参加交流会的概率为（ ）
2、（A）（B）（C）（D）（5）执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）（A）（B）（C）（D）（6）“”是“角是第一象限的角”的（ ） （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）若满足则下列不等式恒成立的是（ ）（A）（B）（C） （D）（8）某三棱锥的正视图如图所示，则在下列图中，所有可能成为这个三棱锥的俯视图的是（ ） （A）（B）（C）（D）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）已知单位向量与向量的夹角为，则_. （10）若复数，且,则实数=_ （11）已知为等差数列，为其前项和.若，则公差_；的最小值为 . （12）对于，以
3、点为中点的弦所在的直线方程是_ （13）设对任意实数，关于的方程总有实数根，则的取值范围是 . （14）设全集，用的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.若，则表示的6位字符串为 ； 若, 集合表示的字符串为101001，则满足条件的集合的个数是 . 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（15）（本小题满分13分）已知数列的前项和为, ，且是与的等差中项.（）求的通项公式；（）若数列的前项和为,且对,恒成立,求实数的最小值.(16) （本小题满分
4、13分）某超市从甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，整理得到数据分组及频率分布表和频率分布直方图： 分组（日销售量）频率（甲种酸奶） 0，100.10（10，200.20（20，300.30（30，400.25（40，500.15（）写出频率分布直方图中的的值，并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图； （）记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，试比较与的大小；（只需写出结论）（）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计乙种酸奶在未来一个月（按30天计算）的销售总量.（17）（本小题满分13分）在中，.（）若，求的大小；（）若,求的面积
5、的最大值. （18）（本小题满分14分）如图1，在梯形中，四边形是矩形. 将矩形沿折起到四边形的位置，使平面平面，为的中点，如图2.（）求证：；（）求证：/平面； （）判断直线与的位置关系,并说明理由图1图2 （19）（本小题满分13分）已知椭圆过点，且离心率.（）求椭圆的方程； （）若椭圆上存在点关于直线对称,求的所有取值构成的集合，并证明对于，的中点恒在一条定直线上.（20）（本小题满分14分）已知函数. （）求函数的单调区间；（）若存在两条直线，都是曲线的切线，求实数的取值范围；（）若，求实数的取值范围.海淀区高三年级第二学期期中练习 数学（文）答案及评分参考 20xx.4一、选择题（共
6、8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）C （3）D （4）B （5）C （6）B （7）D （8）D二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分）（9） （10）0 （11）12；-54 （12） （13） （14）100110；4三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（）因为 , 所以 . 1分因为 是与的等差中项, 所以 , 即.所以 . 3分所以 是以1为首项，2为公比的等比数列.所以 . 6分（）由（）可得：. 所以 , . 所以 是以1为首项, 为公比的等比数列. 9分所以 数列的前项和. 11分因为 ，所以 .若，当
7、时，.所以 若对,恒成立，则.所以 实数的最小值为2. 13分 （16）（共13分）解：（）； 2分 6分 （）. 9分 （）乙种酸奶平均日销售量为：（箱）. 11分乙种酸奶未来一个月的销售总量为：（箱）. 13分 （17）（共13分）解：（）方法一：因为 且，所以 . 2分又因为 ， 4分所以 .所以 .所以 . 6分因为 ，所以 为等边三角形.所以 . 7分方法二： 因为 ， 所以 . 1分因为 ，所以 .所以 . 3分所以 .所以 .所以 . 5分因为 ， 所以 .所以 ，即. 7分（）因为 ，且，所以 . 所以 9分（当且仅当时，等号成立）. 11分因为 ，所以 .所以 .所以 .所以
8、 当是边长为1的等边三角形时，其面积取得最大值.13分（18）（共14分）证明：（）因为 四边形为矩形， 所以. 因为 平面平面，且平面平面，平面， 所以 平面. 3分 因为 平面， 所以 . 5分（）证明：因为 四边形为矩形， 所以 .因为 ， 所以 平面平面. 7分 因为 平面， 所以 平面. 9分（）直线与相交，理由如下： 10分取的中点，的中点，连接，.所以 ，且.在矩形中，为的中点，所以 ，且.所以 ，且.所以 四边形为平行四边形. 所以 ，. 12分因为 四边形为梯形， 为的中点，所以 ，.所以 四边形为平行四边形.所以 ，且.所以且.所以 是平行四边形.所以 ，即.因为 ，所以
9、四边形是以，为底边的梯形.所以 直线与相交. 14分（19）（共13分）解：（）因为 椭圆过点，所以 . 1分因为 ， 所以 . 所以 椭圆的方程为 3分（）方法一：依题意得.因为 椭圆上存在点关于直线对称，所以 直线与直线垂直，且线段的中点在直线上.设直线的方程为.由得 . 5分由，得.（*） 因为 ， 7分所以 的中点坐标为. 又线段的中点在直线上，所以 .所以 . 9分代入（*），得或.所以 . 11分因为 ，所以 对于，线段中点的纵坐标恒为，即线段的中点总在直线上. 13分方法二：因为 点在直线上，且关于直线对称，所以 ，且.设（），的中点为.则. 6分又在椭圆上，所以 .所以 .化简
10、，得 .所以 . 9分又因为 的中点在直线上，所以 .所以 .由可得.所以 ，或，即，或.所以 . 12分所以 对于，线段中点的纵坐标恒为，即线段的中点总在直线上. 13分（20）（共14分）解：（）. 1分 当时，则函数的单调递减区间是. 2分当时，令，得. 当变化时，的变化情况如下：极小值所以 的单调递减区间是，单调递增区间是. 4分（）因为 存在两条直线，都是曲线的切线，所以 至少有两个不等的正实根. 5分令得，记其两个实根分别为.则 解得. 7分当时，曲线在点处的切线分别为，.令.由得（不妨设），且当时，即在上是单调函数.所以 .所以 ，是曲线的两条不同的切线.所以 实数的取值范围为. 9分（）当时，函数是内的减函数.因为 ，而，不符合题意. 11分当时，由（）知：的最小值是.（）若，即时，所以，符合题意.（）若，即时，.所以，符合题意.（）若，即时，有.因为 ，函数在内是增函数，所以 当时，.又因为 函数的定义域为，所以 .所以 符合题意.综上所述，实数的取值范围为. 14分
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