数学 理一轮教学案：第一章第1讲　集合的概念及运算 Word版含解析

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1、 第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念及运算1集合的基本概念(1)集合元素的性质：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系：属于记为，不属于记为.(3)常见集合的符号集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或NZQR(4)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法2集合间的基本关系 表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素相同AB且BAAB子集A中任意一个元素均为B中的元素AB或BA真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素AB或BA空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集AB(B)注意点元素互异性的应用(1)利用集合元素的互异

2、性找到解题的切入点(2)在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确.1思维辨析(1)1,2,32,3,1()(2)空集中只有一个元素0.()(3)集合x2x,0中实数x可取任意值()(4)任何集合都至少有两个子集()(5)集合x|y与集合y|y是同一个集合()(6)若A0,1，B(x，y)|yx1，则AB.()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2若集合AxN|x，a2，则下面结论中正确的是()AaA BaACaA DaA答案D解析AxN|x0,1,2,3而a2，aA.3已知全集U1,2,3,4,5,6,7，集合A1,3,5,6，则UA()A1,3,5,6 B2,3,7C

3、2,4,7 D2,5,7答案C解析由U1,2,3,4,5,6,7，A1,3,5,6，UA2,4,7，故选C.4已知集合Ax|x25x60，Bx|2x1，则图中阴影部分表示的集合是()Ax|2x3Bx|1x0Cx|0x6Dx|x1答案C解析由x25x60，解得1x6，所以Ax|1x6由2x1，解得x0，所以Bx|x0又图中阴影部分表示的集合为(UB)A，因为UBx|x0，所以(UB)Ax|0x6，故选C.考法综述集合元素的三大特性是理解集合概念的关键，一般涉及集合与元素之间的关系及根据集合中元素的特性(特别是集合中元素的互异性)，来确定集合中元素的个数，或求参数的取值范围，属于基础题命题法1集合

4、的基本概念典例1(1)已知集合A0,1,2，则集合Bxy|xA，yA中元素的个数是()A1 B3C5 D9(2)若集合AxR|ax23x20中只有一个元素，则a()A. B.C0 D0或解析(1)当x0，y0,1,2时，xy的值分别为0，1，2；当x1，y0,1,2时，xy的值分别为1,0，1；当x2，y0,1,2时，xy的值分别为2,1,0；B2，1，0,1,2集合B中元素的个数是5个(2)集合A是方程ax23x20在实数范围内的解集，且A中只有一个元素，所以方程ax23x20只有一个实数根若a0，则方程为3x20，解得x，满足条件；若a0，则二次方程ax23x20有两个相等的实数根，即(3

5、)28a0，解得a，所以a0或a.答案(1)C(2)D【解题法】解决集合概念问题的一般思路研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么命题法2集合之间的关系典例2已知集合Ax|x7，Bx|x1，Qx|x2x0，则下列结论正确的是()APQ BQPCPQ DPQR答案A解析Qx|x2x0x|x1或x1，PQ，故选A.1集合的运算及性质名称交集并集补集符号ABABUA数学语言ABx|xA且xBABx|xA或xBUAx|xU且xA图形运算性质ABA，ABB，ABAB，AAB，AAA(UA)U，A(UA)，U(UA)A 2集合间运

6、算性质的重要结论(1)ABABA.(2)ABAAB.(3)ABABAB.(4)狄摩根定律：U(AB)(UA)(UB)；U(AB)(UA)(UB)注意点空集的特殊性在解题中，若未指明集合非空时，要考虑空集的可能性，如AB，则有A和A两种可能，此时应分类讨论.1思维辨析(1)x|yx21y|yx21(x，y)|yx21()(2)若x2,10,1，则x0,1.()(3)对于任意两个集合A，B，关系(AB)(AB)恒成立()(4)若ABAC，则BC.()(5)已知集合M1,2,3,4，N2,3，则MNN.()(6)若全集U1,0,1,2，PxZ|x24，则UP2()答案(1)(2)(3)(4)(5)(

7、6)2已知集合Ax|x2x20，集合B为整数集，则AB()A1,0,1,2 B2，1,0,1C0,1 D1,0答案A解析Ax|(x2)(x1)0x|1x2，又B为整数集，所以AB1,0,1,2，故选A.3已知集合A0,1,2，集合B满足AB0,1,2，则集合B有_个答案8解析由AB0,1,2得BA，所以B是A的子集由A中有3个元素知B有238个考法综述集合的基本运算是历年高考的热点，常与函数、不等式、方程等知识综合考查，主要以选择题形式出现命题法求交集、并集和补集典例(1)已知集合Ax|x22x30，Bx|2x2，则AB()A2，1 B1,1C1,2) D1,2)(2)已知全集UR，Ax|x0

8、，Bx|x1，则集合U(AB)()Ax|x0Bx|x1Cx|0x1Dx|0x1解析(1)由不等式x22x30解得x3或x1，因此集合Ax|x1或x3，又集合Bx|2x2，所以ABx|2x1，故选A.(2)利用数轴分析求解Ax|x0，Bx|x1，ABx|x0，或x1在数轴上表示，如图所示U(AB)x|0x1答案(1)A(2)D【解题法】解决集合运算问题的方法在进行集合运算时，要尽可能地利用数形结合的思想使抽象问题直观化(1)用列举法表示的集合进行交、并、补的运算，常采用Venn图法解决，此时要搞清Venn图中的各部分区域表示的实际意义(2)用描述法表示的数集进行运算，常采用数轴分析法解决，此时要

9、注意“端点”能否取到(3)若给定的集合是点集，常采用数形结合法求解1已知集合A2，1,0,1,2，Bx|(x1)(x2)0，则AB()A1,0B0,1C1,0,1D0,1,2答案A解析因为Bx|(x1)(x2)0x|2x1，A2，1,0,1,2，故AB1,0选A.2已知全集U1,2,3,4,5,6,7,8，集合A2,3,5,6，集合B1,3,4,6,7，则集合A(UB)()A2,5B3,6C2,5,6D2,3,5,6,8答案A解析由已知得UB2,5,8，A(UB)2,53已知集合Px|x22x0，Qx|1x2，则(RP)Q()A0,1)B(0,2C(1,2)D1,2答案C解析Px|x2或x0，

10、RPx|0x2，(RP)Q(1,2)4若集合Ai，i2，i3，i4(i是虚数单位)，B1，1，则AB等于()A1B1C1，1D答案C解析Ai，1，i,1，B1，1，所以AB1，1，故选C.5设集合Mx|x0，xR，Nx|x21，xR，则MN()A0,1B0,1)C(0,1D(0,1)答案B解析Mx|x0，xRNx|x21，xRx|1x1，xRMNx|0x1，即MN0,1)故选B.6已知集合M1,0,1，N0,1,2，则MN()A0,1B1,0,2C1,0,1,2D1,0,1答案C解析M1,0,1，N0,1,2，MN1,0,1,2，故选C.7.设集合Ax|x1|2，By|y2x，x0,2，则AB

11、()A0,2B(1,3)C1,3)D(1,4)答案C解析Ax|x1|2x|1x3，By|y2x，x0,2y|1y4，ABx|1x0，即x1，RAx|x19已知集合Ax|x2k1，kZ，B，则AB()A1,3B1,3C1,1D1,1,3答案C解析Bx|1x1，Bx|x22x0，则U(AB)()Ax|x2Bx|x1Cx|0x1Dx|0x2答案C解析由x22x0得x2或x0，即Bx|x2，ABx|x1，U(AB)x|0x111集合M2，log3a，Na，b，若MN1，则MN()A0,1,2B0,1,3C0,2,3D1,2,3答案D解析因为MN1，所以log3a1，即a3，所以b1，即M2,1，N3,

12、1，所以MN1,2,3，故选D.12已知全集U，集合ABU，则有()AABBBABAC(UA)(UB)UBD(UA)(UB)UB答案C解析ABU，ABA，故选项A不正确；ABB，故选项B不正确；(UA)(UB)U(AB)UB，故选项C正确；(UA)(UB)U(AB)UA，故选项D不正确故选C.13设集合UR，Ax|2x(x2)1，Bx|yln (1x)，则图中阴影部分表示的集合为()扫一扫听名师解题Ax|x1Bx|1x2Cx|0x1Dx|x1答案B解析易知Ax|2x(x2)1x|x(x2)0x|0x0x|x1，则UBx|x1，阴影部分表示的集合为A(UB)x|1x2创新考向以集合为载体的创新问

13、题是近几年高考命题的一个热点，这类问题以集合为依托，考查学生理解问题、解决创新问题的能力其命题形式常见的有新概念、新法则、新运算、新性质等.创新例题已知集合A(x，y)|x2y21，x，yZ，B(x，y)|x|2，|y|2，x，yZ，定义集合AB(x1x2，y1y2)|(x1，y1)A，(x2，y2)B，则AB中元素的个数为()A77B49C45D30答案C解析集合A(x，y)|x2y21，x，yZ，所以集合A中有5个元素(即5个点)，即图中圆内及圆上的整点集合B(x，y)|x|2，|y|2，x，yZ中有25个元素(即25个点)，即图中正方形ABCD内及正方形ABCD上的整点集合AB(x1x2

14、，y1y2)|(x1，y1)A，(x2，y2)B中的元素可看作正方形A1B1C1D1内及正方形A1B1C1D1上除去四个顶点外的整点，共77445个创新练习1.设集合SA0，A1，A2，在S上定义运算：AiAjAk，其中k为ij被3除的余数，i，j1,2,3，则使关系式(AiAj)AiA0成立的有序数对(i，j)总共有()A1对B2对C3对D4对答案C解析i1时，j1符合要求，i2时，j2符合要求；i3时，j3符合要求，所以使关系式(AiAj)AiA0成立的有序数对(i，j)有(1,1)，(2,2)，(3,3)，共3对2若集合a，b，c，d1,2,3,4，且下列四个关系：a1；b1；c2；d4

15、有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是_答案6解析因为正确，也正确，所以只有正确是不可能的；若只有正确，都不正确，则符合条件的有序数组为(2,3,1,4)，(3,2,1,4)；若只有正确，都不正确，则符合条件的有序数组为(3,1,2,4)；若只有正确，都不正确，则符合条件的有序数组为(2,1,4,3)，(3,1,4,2)，(4,1,3,2)综上，符合条件的有序数组的个数是6.3设集合Sn1,2,3，n，若XSn，把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)若X的容量为奇(偶)数，则称X为Sn的奇(偶)子集则

16、S4的所有奇子集的容量之和为_答案7解析根据题意，S4的所有奇子集为1、3、1,3，分析可得1的容量为1，3的容量为3，1,3的容量为3，则其容量之和为1337.创新指导1.准确转化：解决集合创新问题时，一定要读懂题目的本质含义，紧扣题目所给条件，结合题目要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆2方法选取：对于集合创新问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解，同时注意培养学生领悟新信息、运用新信息的能力已知集合Ax|ax10，Bx|1log2x2，xN，且ABA，则a的所有可能值组成的集合是()A B.C. D.错解错因分析集合A为方程ax10的实数解构

17、成的集合，由ABA，知AB，A可以为非空集合，也可以是空集在解题中，很容易漏掉对A的讨论，导致误选C.正解由ABA，得AB.因为Bx|1log2x2，xNx|2x4，xN3,4，当A时，则方程ax10无实数解，所以a0，此时显然有AB，符合题意当A时，则由方程ax10，得x.要使AB，则3或4，即a或a.综上所述，a的所有可能取值组成的集合是.故选D.答案D心得体会时间：45分钟基础组1.20xx武邑中学模拟已知集合A0,1，Bx|xA，则下列集合A与B的关系正确的是()AABBABCBADAB答案D解析因为xA，所以B，0，1，0,1，则集合A0,1是集合B中的元素，所以AB.故选D.220

18、xx枣强中学一轮检测已知集合AB，AC，B0,1,2,3,5,9，C2,4,8,10，则A可以是()A1,2B2,4C4D2答案D解析解法一：因为AB，AC，所以A(BC)，故集合A可以是2，故选D.解法二：逐项验证，可知当A1,2时，不满足AC；同理可知当A2,4和A4时，不满足AB，故选D.320xx衡水中学周测若集合A2,3,4，Bx|xmn，m，nA，mn，则集合B的非空子集的个数是()A4B7C8D15答案B解析解法一：因为xmn，m，nA，mn，所以B5,6,7，故B的非空子集有5，6，7，5,6，5,7，6,7，5,6,7，共7个解法二：因为xmn，m，nA，mn，所以B5,6,

19、7，根据公式可得集合B的非空子集的个数是2317.420xx冀州中学月考已知集合Ax|ylg (xx2)，Bx|x2cx0，若AB，则实数c的取值范围是()A(0,1B1，)C(0,1)D(1，)答案B解析因为Ax|ylg (xx2)x|xx20(0,1)，Bx|x2cx0(0，c)因为AB，画出数轴，如图所示，得c1.故选B.520xx武邑中学周测设a，bR，集合1，ab，a，则ba()A1B1C2D2答案C解析因为1，ab，a，a0，所以ab0，从而1，所以有a1，b1，所以ba2，故选C.620xx衡水中学月考已知集合A(2,5，Bm1,2m1若BA，则m的取值范围是()A(3,3B3,

20、3C(，3D(，3)答案C解析当B时，m12m1即m1，则AB()A(2,4B2,4C(，0)(0,4D(，1)0,4答案A解析因为Ax|13x81x|303x34x|0x4，Bx|log2(x2x)1x|x2x2x|x2，所以ABx|0x4x|x2x|2x4(2,4920xx武邑中学期中已知全集UR，集合Mx|(x1)(x3)2x，Nx|log2(x1)0，则(UM)N为()Ax|1x2Bx|1x2Cx|1x2Dx|1x2xx2或x2或x0，log2(x1)00x11,1x2，Nx|1x2，(UM)Nx|1x2，故选C.1120xx冀州中学猜题已知全集U0,1,2,3,4，A1,2,3，B2

21、,4，则下图中阴影部分表示的集合为()A0,2B0,1,3C1,3,4D2,3,4答案C解析集合AB1,2,3,4，AB2，阴影部分表示的集合为1,3,41220xx武邑中学仿真已知R是实数集，M，Ny|y1，则N(RM)()A(1,2)B0,2CD1,2答案D解析0，x2，Mx|x2，RMx|0x2y1，y1，Ny|y1，N(RM)1,2，故选D.能力组13.20xx衡水中学模拟已知集合A0,1，则满足条件AB0,1,2,3的集合B共有()A1个B2个C3个D4个答案D解析由题知B集合必须含有元素2,3，可以是2,3，2,1,3，2,0,3，2,0,1,3，共四个，故选D.1420xx冀州中

22、学期中已知集合Ax|1x5，Cx|axa3若CAC，则a的取值范围为()A答案C解析因为CAC，所以CA.当C时，满足CA，此时aa3，得a；当C时，要使CA，则解得a1.由得，a1.15. 20xx衡水中学仿真已知集合Ax|2x22x8，Bx|x22mx40，若ABx|1x1，ABx|4x3，则实数m等于_答案解析由2x22x8，得x22x3，解得1x3，所以Ax|1x3因为ABx|1x1，ABx|4x3，所以Bx|4x1由不等式与方程之间的关系可得，4,1是方程x22mx40的两根，所以412m，即2m3，解得m.1620xx枣强中学预测已知集合Ay|yx22x，2x2，Bx|x22x30，在集合A中任意取一个元素a，则aB的概率是_答案解析依题意，函数yx22x(x1)21(2x2)的值域是Ay|1y8；由x22x30得3x1，即Bx|3x1，则ABx|1x1，因此所求的概率等于.