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1、幂函数【学习导航】 知识网络 学习要求 1了解幂函数的概念，能画出一些简单幂函数图象并了解它们的图形特征；2掌握判断某些简单函数奇偶性的方法； 3培养学生判断推理的能力，加强数形结合思想，化归转化能力的培养自学评价1幂函数的性质：（1）都过点；（2）任何幂函数都不过 第四 象限；（3）当时，幂函数的图象过 原点 2幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在经过点平行于轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从 下 到 上 分布；（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在 第一 象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限关于
2、 原点 对称【精典范例】例1：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：（1） （2） （3）（4）（5）分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式【解】（1）定义域R，值域R，奇函数，在R上单调递增 （2）定义域，值域，偶函数，在上单调递增，在上单调递减（3）定义域，值域，偶函数，非奇非偶函数，在上单调递增（4）定义域，值域，奇函数，在上单调递减，在上单调递减（5）定义域，值域，非奇非偶函数，在上单调递减点评: 熟练进行分数指数幂与根式的互化，是研究幂函数性质的基础例2：将下列各组数用小于号从小到大排列：（1） （2） （3）分析：（1）底数相异，指数相同的数比较大小，可以转
3、化为比较同一幂函数的不同函数值的大小问题，根据函数的单调性，只要比较自变量的大小就可以了 （2）观察发现，这三个数指数可以统一，底数可以化为正数，故可利用幂函数的单调性比较大小【解】（1） （2）（3）点评: 比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小例3：已知的图象如图所示：xy011则，的大小关系是：分析：对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：正抛物负双曲，大竖直小横铺即 【解】有幂函数的性质，当自变量时，幂指
4、数大的函数值比较大，故有点评: 幂函数在第一象限内的图象均过点，在区间 上，值越小，图象越靠近轴追踪训练一1. 图中曲线是幂函数在第一相限的图象，已知取， 四个值，则相应与曲线、的值依次为（ B ） ， ， ，2.给出下列四个函数：；，其中定义域和值域相同的是 （2）（3） （写出所有满足条件的函数的序号）3. 比较下列几组数大小（1），； （2），解：（1）幂函数在上单调递增，且，；（2）， 幂函数在上单调递减，且， 即【选修延伸】一、幂函数性质的运用例4: 已知，求的取值范围分析：数形给合思想的运用由于不等式的左右两边的幂指数都是，因此可借助于幂函数的图象性质来求解【解】因为在和上为减函数
5、，时，；时，原不等式可以化为（1）（2）（3）（1）无解；（2），（3）所以所求的取值范围为点评:利用函数图象特征了解函数的性质，利用函数性质去解不等式二、幂函数图象的性质特征 例5：已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值分析：幂函数图象与轴、轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数结合，便可逐步确定的值【解】 幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，；，又函数图象关于原点对称，是奇数，或点评: 掌握幂函数图象的特征，是顺利解题的关键思维点拔：（1）比较同指数幂的大小，利用幂函数的单调性； （2）根据幂函数的图象，判断指数的大小，或根据幂函数的指数的大小，描述其图象的特征；（3）判断幂函数的奇偶性，宜先将分数指数化为根式的形式追踪训练二1设满足，下列不等式中正确的是 （ C ）ABC D2函数在第二象限内单调递增，则的最大负整数是3求函数的值域答案： 4用心 爱心 专心
高中数学幂函数学案6苏教版必修1
