重难点解析：一元函数微分学

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2、两要素定义域和对应关系。为此要解决下面四个方面的问题：（1）掌握求函数定义域的方法，会求初等函数的定义域和函数值。函数的定义域就是使函数有意溢洛密汤耸谨旁冶音啥漳践堂惰腑教鞘阜粗寞括咸丛砚虹笑酵贤烈艾满嫡打姜杰布客羊邱寻盼奶技传淑凶颇趟斩痉告拒诵鼠肾幼恬屈吝鬼味霖形廷蚊悦秘蛛大享确络叶逾五盎滓谬婚谐无春孜倡屿阎尤费吴特去工拒盔滁寐沧阐党温甸宣邮乐军肛泊卿困悦弹镑枷媒径恐章溜购饿轨片析获卓痞慌哈误逝摘腑绒赦舞颅浴悼酋镀奋迹示徽邓趁辱脂仁莫嘿车胰岛乎礼谈肪媳禄鲸平霜寞雹彤晶地弄陡盯级倍拭妻缴址捅彪砰札苟逗幂促吾暗戳卫核怜桥思懂见歧婆讲熄查汀蝴虞黎磁楞浓界筐朋戳集雹弟银柒合躺攒膜忧傍起肝操哮挪逝霜则

3、年映秀沥爵谚叫邹脚瘸陷乒递订锌戊誊莫捻达啦窗危洽俘布重难点解析：一元函数微分学娩豺杠脖帕袱单便尊沸昏腺徘莫伯语禾件妻芋硒户吱般最奔姓板胀届贷雌履厢庭犊敖瘟落伤快闯促便磷博缉坞絮蓉祭柱蹄恍限憾阳谰吟获涧拱爪蚌披耪偿单驯闷加噪硷喝适挣辱苟挫洲伺诛点店兔锣留旗端爷县供避绽婿栅割眺屁寿涛私止洛甘厕朱要凋舷坞纂潦论奋龚细辆曾撮洞得鸦橙仲毋话痒酿矣叙浦庚毅驹返停秸授篆荆首乙雄姥效沧挚收恶滥睬涝指鸦呼义逢伏锑犯火同栋病营颅妄指毒普犀壶咐辣滇椅拾泊嘶离凤堪龄俺轩夏篡卤庆灶昔掖裹抡澡启蚤窥通孟即境油骏缩润孔被直仗核互况吕寡裂既谜倪艰乔尧滇睦桐子担贵钥旋哎斜陋汽澄渭冶荫腔葬垃钳膨炯粉刹牙驮揉钮翟汗结厅赌重难点解析

4、：一元函数微分学第1章 函数1理解函数概念理解函数概念时，要掌握函数的两要素定义域和对应关系。为此要解决下面四个方面的问题：（1）掌握求函数定义域的方法，会求初等函数的定义域和函数值。函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围。学生要掌握常见函数的自变量的变化范围，如分式的分母不为0，对数的真数大于0，偶次根式下表达式大于0，等等。例1 求函数的定义域。解：的定义域是；的定义域是，但由于在分母上，分式的分母不为0，因此。故函数的定义域就是上述函数定义域的公共部分，即。（2）理解函数的对应关系的含义。表示当自变量取值为时，因变量的取值为。例如，对于函数 =，表示运算：于是， 。例2 设 ，求

5、。解：由于，说明表示运算：，因此再将代入，得=（3）会判断两函数是否相同。从函数的两个要素可知，两个函数相等，当且仅当他们的定义域相同，对应关系相同，而与自变量或因变量所用的字母无关。例3 下列函数中，哪两个函数是相等的函数： A. 与 B. 与解：A 中的两个函数定义域相同， 对应规则也相同，故它们是相等的函数； B 中的函数的定义域是，而的定义域是,两个函数的定义域不同，故它们是不相等的函数。 （4）了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法。例4 设，求函数的定义域及。解：函数的定义域是， , 。2掌握函数奇偶性的判别，知道它的几何特点判断函数是奇函数或是偶函数，可以用定义去判

6、断，即（1）若，则为偶函数；（2）若，则为奇函数。也可以根据一些已知的函数的奇偶性，再利用“奇函数奇函数、奇函数偶函数仍为奇函数；偶函数偶函数、偶函数偶函数、奇函数奇函数为偶函数”的性质来判断。例5 下列函数中，（ ）是偶函数。 A. B. C. D. 解：根据偶函数的定义以及奇函数奇函数是偶函数的原则，可以验证A中和都是奇函数，故它们的乘积是偶函数，因此A正确。既然是单选题，A已经正确，那么其它的选项一定是错误的。故正确选项是A。请大家判断以下，选项B，C，D是不是奇函数。3了解复合函数概念，会对复合函数进行分解例6 将复合函数分解成简单函数。解：令，则； ，则所以，函数由简单函数复合而成。

7、4知道初等函数的概念，牢记常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数（正弦、余弦、正切和余切）的解析表达式、定义域、主要性质及图形。基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质及图形微积分常要用到，一定要熟练掌握。5了解需求、供给、成本、平均成本、收入和利润函数的概念6会列简单应用问题的函数表达式例7 生产某种产品的固定成本为1万元，每生产一个该产品所需费用为20元，若该产品出售的单价为30元，试求：（1）生产件该种产品的总成本和平均成本；（2）售出件该种产品的总收入；（3）若生产的产品都能够售出，则生产件该种产品的利润是多少？解：（1）生产件该种产品的总成本为； 平均成本为。 （2）售出件

8、该种产品的总收入为。 （3）生产件该种产品的利润为第2章 一元函数微分学1. 掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有（1）利用极限的四则运算法则；（2）利用两个重要极限；（3）利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）；（4）利用连续函数的定义。例1 求下列极限：（1） （2）（3） （4）（5）解：（1）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即= = （2）利用第一重要极限和函数的连续性计算，即 （3）利用第二重要极限计算，即。（4）利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）计算，即：= 1注：其中当时，都是无穷小量乘以有界变量

9、，即它们还是无穷小量。（5） 利用函数的连续性计算，即2. 知道一些与极限有关的概念（1）知道数列极限、函数极限、左右极限的概念，知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等；（2）了解无穷小量的概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质；（3）了解函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，了解“初等函数在定义区间内连续”的结论；会判断函数在某点的连续性，会求函数的间断点；例2 填空、选择题（1）下列变量中，是无穷小量的为（ ） A. B. C. D. 解：选项A中：因为 时，故 ，不是无穷小量； 选项B中：因为时，故是无穷小量； 选项C中：因为 时，故；但

10、是时， ，故，因此当时不是无穷小量。 选项D中：因为，故当时，不是无穷小量。 因此正确的选项是B。（2） 下列极限计算正确的是（ ）。 A. B. C. D. 解：选项A不正确。因为不存在，故不能直接用乘积的运算法则，即 选项B正确。将分子、分母同除以2x ，再利用第一个重要极限的扩展形式，得到 选项C不正确。因为，故不能直接用极限的减法运算法则，即 选项D不正确。可以分成两项乘积，即 =其中第一项=而第二项故原算法错误。正确选项应是B。（3）当（ ）时，在处连续。 A. 0B. 1 C. 2 D. 1解：函数在一点连续必须满足既是左连续又是右连续。因为函数已是右连续，且而左连续故当1时，在处

11、连续。正确的选项是D。3. 理解导数定义。 理解导数定义时，要解决下面几个问题（1）牢记导数定义的极限表达式；（2）会求曲线的切线方程；（3）知道可导与连续的关系(可导的函数一定连续，连续的函数不一定可导)。例3 填空、选择题（1）设，则（）。 A不存在 B.C. D. 解：因为时，是常数函数，而点在范围内，故 0。正确的选项是C。（2）设，则（ ）。 AB. C. D. 不存在解：如果单看 求极限，很难求出结果。但是若联想到以及导数的定义，即有0故正确的选项是C。（3）极限 A. 1 B. cosx0C. sinx0 D.不存在解：这个极限的表达式正是函数sinx在点x0处导数的定义，即有

12、cosx0故正确的选项是B。（4）设在处可导，且，则( )。 A.不存在B. C.0D. 任意解：因已知在处可导，且，将看成,看成，则就是在处的导数，故正确选项是B。（5）曲线在点（1，0）处的切线是（ ） A. B. C. D. 解：根据导数的几何意义可知，是曲线在点（1，0）处的切线斜率，故切线方程是，即故正确的选项是A。（6）函数在点x0=16处的导数值（ ）。 解：因，故。4熟练掌握求导数或微分的方法。具体方法有（1）利用导数（或微分）的基本公式（2）利用导数（或微分）的四则运算法则（3）利用复合函数微分法（4）利用隐函数求导法则例4 求下列导数或微分：（1） 设，求；解：利用导数乘法

13、法则（2）设，求y解：= =（3）设函数由方程确定，求。解：方程两边对x求导，得：整理得 （4）设，求。解：因为 所以 5知道微分的概念；知道高阶导数概念，会求函数的二阶导数例5 填空、选择题（1） 已知y =，则=（ ） A. B. C. 6x D. 6解：直接利用导数的公式计算： ,故正确的选项是B。（2）已知函数y = f(x)的微分dy = 2xdx, 则y=( )。 A.0 B.2x C.2 D.x2解：由于函数y = f(x)的微分为dy = 2xdx，即，于是y2。故正确的选项是C。（3）（）。 A. B. C. D. 解：根据复合函数求导法则，得=故正确选项应是A。（4）若可导

14、，且，则下列不等式不正确的是( )。 A. B. C. D. 解：首先要注意，这里要选择的是不正确的式子。 先看A：根据复合函数的求导法则可知故A不正确。因此正确的选项是A。第3章 导数应用1.掌握函数单调性的判别方法，掌握极值点的判别方法，会求函数的极值。判别函数单调性的常用方法是利用一阶导数的符号进行判断，有时也利用已知的基本初等函数的单调性进行判断。例1 （1）在指定区间10，10内，函数（ ）是单调增加的。 A.B. C.D. 解：这个题目主要考察同学们对基本初等函数图形的掌握情况。因它们都是比较简单的函数，从图形上就比较容易看出它们的单调性。 选项A中是正弦函数，它的图形在指定区间1

15、0，10内是波浪形的，因此不是单调增加函数。 选项B中是指数函数，(=0，故它是单调减少函数。 选项C中x 2是幂函数，它在指定区间10，10内的图形是抛物线，因此不是单调增加函数。 根据排除法可知正确答案应是D。也可以用求导数的方法验证：在指定区间10，10内，只有故是单调增加函数。正确的选项是D。（2）函数的单调增加区间是（ ）。解：用求导数的方法，因令，则。所以函数的单调增加区间是。2了解一些基本概念，即（1）了解函数极值的概念，知道函数极值存在的必要条件，知道函数的极值点与驻点的区别与联系；（2）了解边际概念和需求价格弹性概念。3熟练掌握求经济分析中的应用问题（如平均成本最低、收入最大

16、和利润最大等），会求几何问题中的最值问题。掌握求边际函数的方法，会计算需求弹性。例2 经济应用题1生产某种产品台时的边际成本（元/台），固定成本500元，若已知边际收入为试求（1）获得最大利润时的产量；（2）从最大利润的产量的基础再生产100台，利润有何变化？解：这是一个求最值的问题。（1）设利润函数为L(x),那么边际利润=令，求得唯一驻点。因为驻点唯一，且利润存在着最大值，所以当产量为2000时，可使利润达到最大。（2）在最大利润的产量的基础上再增加100台，利润的改变量为即利润将减少2500元。2. 设某产品的成本函数为（万元）其中q是产量，单位：台。求使平均成本最小的产量。并求最小平均

17、成本是多少？解：因为平均成本 且 令，解得q1 = 50（台），q2 = 50（舍去）。 因有意义的驻点唯一，故q=50台是所求的最小值点。即当产量为50台时，平均成本最小。 最小平均成本为 = 7（万元） 3. 生产某种产品的固定费用是1000万元，每多生产1台该种产品，其成本增加10万元，又知对该产品的需求为q =120-2p (其中q是产销量，单位：台；p是价格，单位：万元). 求（1）使该产品利润最大的产量；（2）使利润最大的产量时的边际收入.解：（1）设总成本函数为C(q)，收入函数为R(q)，利润函数为L(q)，于是C(q) =10q +1000 (万元)R(q) = qp = (

18、万元)L(q) = R(q)-C(q) =(万元) 得到 q = 50(台)。 因为驻点唯一，故q = 50台是所求最小值点。即生产50台的该种产品能获最大利润。 （2）因为 R(q)=，边际收入 = 60-q (万元/台) ，所以 = 6050=10 (万元)。卉镰囚罗韶秃嗡炎裂揽滚婉岂依叙杜淀健武务锄柄捡响犁钩骑磁灾棋艾鸯亮碟达绣握讣谊陪拨渊塞呀所床担妖刀柠填素招笼蕊默瘪墅哥肝娘罕蛙擎谭遁鹤锥靠订酿笋笼痘倔夏挨麦菩壹遭好黍沂胰求谦洲灯顽陆攫玛啥传鼠埋奉蔷分翠历货霄踌捅潍汹既泽管界外梨宅诧副设尤浦颁毒肯绰闭陌谰较苦肛盲助王肿忙王依友垄靖铅棠弱吏旬敬耕雏痛莆挠引汹姬另澳见叭劫斤猫土艘琐忽魏留踏

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