高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 抛物线及其标准方程课件 新人教A版选修11

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1、2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程 主题主题1 1抛物线的定义抛物线的定义1.1.我们在黑板上画一条直线我们在黑板上画一条直线l, ,然后取一个三角板然后取一个三角板, ,将一将一条拉链上边一半的一端条拉链上边一半的一端N N固定在三角板的一条直角边上固定在三角板的一条直角边上, ,并将拉链下边一半的一端固定在并将拉链下边一半的一端固定在F F点点, ,将三角板的另一将三角板的另一条直角边贴在直线条直角边贴在直线l上上, ,在拉锁在拉锁P P处放置一支粉笔处放置一支粉笔, ,上下拖上下拖动三角板动三角板, ,粉笔会画出什么图形粉笔会画出什么图形? ?提示提示: :如图所示如图所示, ,会

2、得到一条抛物线会得到一条抛物线. .2.2.通过作图探究你发现了抛物线的哪些结论通过作图探究你发现了抛物线的哪些结论? ?用文字语言描述用文字语言描述:_:_._.用符号语言描述用符号语言描述:_.:_.动点动点P P到定直线到定直线l的距离等于它到定的距离等于它到定点点F F的距离的距离|PF|=|PN|PF|=|PN|结论结论: :抛物线的定义抛物线的定义: :平面内与一个定点平面内与一个定点F F和一条定直线和一条定直线l( (l不经过点不经过点F)_F)_的点的轨迹叫做抛物线的点的轨迹叫做抛物线._._叫做抛物线的焦点叫做抛物线的焦点, ,_叫做抛物线的准线叫做抛物线的准线. .距离距

3、离相等相等点点F F直线直线l主题主题2 2抛物线的标准方程抛物线的标准方程根据抛物线的几何特征根据抛物线的几何特征, ,对于开口向右的抛物线如何借对于开口向右的抛物线如何借助坐标法求出抛物线的方程助坐标法求出抛物线的方程? ?提示提示: :如图如图, ,建立直角坐标系建立直角坐标系xOyxOy, ,使使x x轴经过点轴经过点F F且垂直且垂直于直线于直线l, ,垂足为垂足为K,K,并使原点与线段并使原点与线段KFKF的中点重合的中点重合, ,依据依据抛物线的定义抛物线的定义, ,利用直接法即可求出抛物线的标准方程利用直接法即可求出抛物线的标准方程. .结论结论: :图形图形标准方程标准方程焦

4、点坐标焦点坐标准线方程准线方程_y y2 2=2px(p0)=2px(p0)y y2 2=-2px(p0)=-2px(p0)p( ,0)2px2 p(,0)2px2图形图形标准方程标准方程焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程_x x2 2=2py(p0)=2py(p0)x x2 2=-2py(p0)=-2py(p0)p(0, )2py2 p(0,)2py2【微思考【微思考】1.1.抛物线的开口方向与哪个量有关系抛物线的开口方向与哪个量有关系? ?提示提示: :抛物线的开口方向与一次项及其系数的正负有关抛物线的开口方向与一次项及其系数的正负有关系系. .2.2.抛物线的标准方程中抛物线的标准方程中,

5、 ,参数参数p p的几何意义是什么的几何意义是什么? ?提示提示: :p p的值等于抛物线的焦点到准线的距离的值等于抛物线的焦点到准线的距离. .3.3.要确定抛物线的解析式要确定抛物线的解析式, ,需要确定的量是什么需要确定的量是什么? ?提示提示: :需要确定焦点的位置及需要确定焦点的位置及2p2p的值的值. .【预习自测【预习自测】1.1.若动点若动点P P到定点到定点F(-4,0)F(-4,0)的距离与到直线的距离与到直线x=4x=4的距离相的距离相等等, ,则则P P点的轨迹是点的轨迹是( () )A.A.抛物线抛物线B.B.线段线段C.C.直线直线D.D.射线射线【解析【解析】选选

6、A.A.动点动点P P的条件满足抛物线的定义的条件满足抛物线的定义. .2.2.已知曲线已知曲线C:yC:y2 2=2px=2px上一点上一点P P的横坐标为的横坐标为4,P4,P到焦点的到焦点的距离为距离为5,5,则曲线则曲线C C的焦点到准线的距离为的焦点到准线的距离为( () )A. A. B.1B.1C.2C.2D.4D.4【解析【解析】选选C.C.由抛物线的定义知由抛物线的定义知,P,P到准线的距离为到准线的距离为5,5,又又P P的横坐标为的横坐标为4,4,故故 =1,=1,曲线曲线C C的焦点到准线的距离的焦点到准线的距离为为2.2.12p23.3.设设a0,aR,a0,aR,则

7、抛物线则抛物线y=-4axy=-4ax2 2的焦点坐标为的焦点坐标为( () )A.(a,0)A.(a,0)B.(-a,0)B.(-a,0)C. C. D. D. 1(0,)16a1(0,)16a【解析【解析】选选D.xD.x2 2= y,= y,所以焦点坐标为所以焦点坐标为 . .1(0,)16a14a4.4.过过(2,4)(2,4)点点, ,顶点在原点顶点在原点, ,焦点在焦点在y y轴上的抛物线的标轴上的抛物线的标准方程为准方程为_._.【解析【解析】由已知可设抛物线方程为由已知可设抛物线方程为x x2 2=my,=my,将点将点(2,4)(2,4)代代入得入得4=4m,4=4m,所以所

8、以m=1,m=1,故抛物线的标准方程为故抛物线的标准方程为x x2 2=y.=y.答案答案: :x x2 2=y=y类型一抛物线的定义及应用类型一抛物线的定义及应用【典例【典例1 1】(1)(2016(1)(2016四川高考四川高考) )抛物线抛物线y y2 2=4x=4x的焦点坐的焦点坐标是标是( () )A.(0,2)A.(0,2)B.(0,1)B.(0,1)C.(2,0)C.(2,0)D.(1,0)D.(1,0)(2)(2)若点若点P P到定点到定点F(4,0)F(4,0)的距离比它到定直线的距离比它到定直线x+5=0 x+5=0的距的距离小离小1,1,则点则点P P的轨迹方程是的轨迹方

9、程是( () )A.yA.y2 2=-16x=-16xB.yB.y2 2=-32x=-32xC.yC.y2 2=16x=16xD.yD.y2 2=16x=16x或或y=0(x0)y=0(x0),=2py(p0),则将点则将点(-3,2)(-3,2)代入方程得代入方程得2p= ,2p= ,或或2p= ,2p= ,故抛物线方程为故抛物线方程为y y2 2=- x,=- x,或或x x2 2= y.= y.43924392(2)(2)令令x=0,x=0,由方程由方程x-2y-4=0 x-2y-4=0得得y=-2.y=-2.所以抛物线的焦点为所以抛物线的焦点为F(0,-2).F(0,-2).设抛物线方

10、程为设抛物线方程为x x2 2=-2py,=-2py,则由则由 =2,=2,得得2p=8.2p=8.所以所求的抛物线方程为所以所求的抛物线方程为x x2 2=-8y.=-8y.p2令令y=0,y=0,由由x-2y-4=0,x-2y-4=0,得得x=4.x=4.所以抛物线的焦点为所以抛物线的焦点为F(4,0).F(4,0).设抛物线方程为设抛物线方程为y y2 2=2px,=2px,由由 =4,=4,得得2p=16.2p=16.所以所求抛物线方程为所以所求抛物线方程为y y2 2=16x.=16x.p2【方法总结【方法总结】1.1.抛物线的抛物线的“一动三定一动三定”抛物线的定义可归为抛物线的定

11、义可归为“一动三定一动三定”, ,即即“一个动点一个动点M”“M”“一个定点一个定点F”“F”“一条定直线一条定直线l”“”“一个定值一个定值”. .其中其中“定点定点”为抛物线的焦点为抛物线的焦点,“,“定直线定直线”为抛物线的准为抛物线的准线线,“,“定值定值”指点指点M M到点到点F F的距离与它到定直线的距离与它到定直线l( (准线准线) )的的距离之比等于距离之比等于1.1.2.2.抛物线标准方程的特征抛物线标准方程的特征(1)(1)等号的一边是某变量的完全平方等号的一边是某变量的完全平方, ,另一边是另一变另一边是另一变量的一次项量的一次项. .(2)(2)当对称轴为当对称轴为x

12、x轴时轴时, ,方程中的一次项就是方程中的一次项就是x x的一次项的一次项, ,且符号指明了抛物线的开口方向且符号指明了抛物线的开口方向:x:x的系数为正时开口的系数为正时开口向右向右, ,为负时开口向左为负时开口向左. .(3)(3)当对称轴为当对称轴为y y轴时轴时, ,方程中的一次项就是方程中的一次项就是y y的一次项的一次项, ,且符号指明了抛物线的开口方向且符号指明了抛物线的开口方向:y:y的系数为正时开口的系数为正时开口向上向上, ,为负时开口向下为负时开口向下. .【巩固训练【巩固训练】根据下列条件根据下列条件, ,求顶点在原点求顶点在原点(0,0)(0,0)处的处的抛物线的标准

13、方程抛物线的标准方程. .(1)(1)焦点为焦点为(-2,0).(-2,0).(2)(2)准线为准线为y=-1.y=-1.(3)(3)焦点到准线的距离是焦点到准线的距离是4.4.(4)(4)过点过点(1,2).(1,2).【解析【解析】(1)(1)焦点在焦点在x x轴的负半轴上轴的负半轴上, =2, =2,即即p=4,p=4,所以所以抛物线的方程是抛物线的方程是y y2 2=-8x.=-8x.(2)(2)焦点在焦点在y y轴正半轴上轴正半轴上, =1, =1,即即p=2,p=2,所以抛物线的方所以抛物线的方程是程是x x2 2=4y.=4y.(3)p=4,(3)p=4,抛物线的方程有四种形式抛

14、物线的方程有四种形式:y:y2 2=8x,y=8x,y2 2=-8x,x=-8x,x2 2=8y,=8y,x x2 2=-8y.=-8y.p2p2(4)(4)点点(1,2)(1,2)在第一象限在第一象限, ,要分两种情形要分两种情形: :当抛物线的焦点在当抛物线的焦点在x x轴上时轴上时, ,设抛物线的方程为设抛物线的方程为y y2 2=2px(p0),=2px(p0),则则2 22 2=2p=2p1,1,解得解得p=2,p=2,抛物线方程为抛物线方程为y y2 2=4x;=4x;当抛物线的焦点在当抛物线的焦点在y y轴上时轴上时, ,设抛物线的方程为设抛物线的方程为x x2 2=2py=2p

15、y(p0),(p0),则则1 12 2=2p=2p2,2,解得解得p= ,p= ,抛物线方程为抛物线方程为x x2 2= y.= y.4112类型三抛物线的实际应用类型三抛物线的实际应用【典例【典例3 3】河上有抛物线形拱桥河上有抛物线形拱桥, ,当水面距拱顶当水面距拱顶5 5米时米时, ,水面宽为水面宽为8 8米米, ,一小船宽一小船宽4 4米米, ,高高2 2米米, ,载货后船露出水面载货后船露出水面的部分高的部分高 米米, ,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时时, ,小船开始不能通航小船开始不能通航? ?34【解题指南【解题指南】【解析【解析】如图如图

16、, ,建立坐标系建立坐标系, ,设拱桥抛物线方程为设拱桥抛物线方程为x x2 2=-2py(p0),=-2py(p0),由题意由题意, ,将将B(4,-5)B(4,-5)代入方程得代入方程得p= ,p= ,85所以抛物线方程为所以抛物线方程为x x2 2= y.= y.因为当船的两侧和拱桥接触时船不能通航因为当船的两侧和拱桥接触时船不能通航; ;设此时船面宽为设此时船面宽为AA,AA,则则A(2,yA(2,yA A),),由由2 22 2= y= yA A, ,得得y yA A= .= .16516554又知船露出水面的部分高又知船露出水面的部分高 米米, ,设水面与抛物线拱顶相设水面与抛物线

17、拱顶相距为距为h,h,则则h=|yh=|yA A|+ =2(|+ =2(米米),),即水面上涨到距抛物线拱即水面上涨到距抛物线拱顶顶2 2米时米时, ,小船开始不能通航小船开始不能通航. .3434【方法总结【方法总结】抛物线应用题的解法抛物线应用题的解法(1)(1)抛物线应用题的解题关键抛物线应用题的解题关键: :把实际问题转化为数学把实际问题转化为数学问题问题, ,利用数学模型利用数学模型, ,通过数学语言通过数学语言( (文字、符号、图形、文字、符号、图形、字母等字母等) )表达、分析、解决问题表达、分析、解决问题. .(2)(2)建立抛物线的标准方程的方法建立抛物线的标准方程的方法:

18、:以抛物线的顶点为以抛物线的顶点为坐标原点坐标原点, ,对称轴为一条坐标轴建立坐标系对称轴为一条坐标轴建立坐标系. .【巩固训练【巩固训练】某抛物线形拱桥跨度是某抛物线形拱桥跨度是2020米米, ,拱桥高度是拱桥高度是4 4米米, ,在建桥时在建桥时, ,每每4 4米需用一根支柱支撑米需用一根支柱支撑, ,求其中最长支求其中最长支柱的长柱的长. .【解析【解析】如图如图, ,建立直角坐标系建立直角坐标系, ,设抛物线方程为设抛物线方程为x x2 2= =-2py(p0),-2py(p0),依题意知依题意知, ,点点P(10,-4)P(10,-4)在抛物线上在抛物线上, ,所以所以100=-2p

19、100=-2p(-4),2p=25,(-4),2p=25,即抛物线方程为即抛物线方程为x x2 2=-25y.=-25y.因为每因为每4 4米需用一根支柱支撑米需用一根支柱支撑, ,所以支柱横坐标分别为所以支柱横坐标分别为-6,-2,2,6.-6,-2,2,6.由图知由图知,AB,AB是最长的支柱之一是最长的支柱之一, ,点点B B的坐标为的坐标为(2,y(2,yB B),),代入代入x x2 2=-25y,=-25y,得得y yB B=- ,=- ,所以所以|AB|=4- =3.84,|AB|=4- =3.84,即最即最长支柱的长为长支柱的长为3.843.84米米. .425425【补偿训练

20、【补偿训练】如图所示如图所示, ,一隧道内设双行线公路一隧道内设双行线公路, ,其截其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成面由长方形的三条边和抛物线的一段构成, ,为保证安全为保证安全, ,要求行驶车辆顶部要求行驶车辆顶部( (设为平顶设为平顶) )与隧道顶部在竖直方向与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有上高度之差至少要有0.50.5米米. .(1)(1)以抛物线的顶点为原点以抛物线的顶点为原点O,O,其对称轴所在的直线为其对称轴所在的直线为y y轴轴, ,建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系( (如图如图),),求该抛物线的方程求该抛物线的方程. .(2)(2)若行车道总宽度若行车道总宽

21、度ABAB为为7 7米米, ,请计算通过隧道的车辆限请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米制高度为多少米( (精确到精确到0.10.1米米).).【解析【解析】如图所示如图所示(1)(1)依题意依题意, ,设该抛物线的方程为设该抛物线的方程为x x2 2=-2py(p0),=-2py(p0),因为点因为点C(5,-5)C(5,-5)在抛物线上在抛物线上, ,所以所以25=10p,p=2.5,25=10p,p=2.5,所以该抛物线的方程为所以该抛物线的方程为x x2 2=-5y.=-5y.(2)(2)设车辆高设车辆高h,h,则则|DB|=h+0.5,|DB|=h+0.5,故故D(3.5,h-6.5

22、),D(3.5,h-6.5),代入方程代入方程x x2 2=-5y,=-5y,解得解得h=4.05,h=4.05,所以通过隧道的车辆限制高度为所以通过隧道的车辆限制高度为4.04.0米米. .【课堂小结【课堂小结】1.1.知识总结知识总结2.2.方法总结方法总结抛物线标准方程的求法抛物线标准方程的求法(1)(1)定义法定义法: :建立恰当坐标系建立恰当坐标系, ,利用抛物线的定义列出动利用抛物线的定义列出动点满足的条件点满足的条件, ,列出方程列出方程, ,进行化简进行化简, ,根据定义求出根据定义求出p,p,最最后写出标准方程后写出标准方程. .(2)(2)待定系数法待定系数法: :由于标准方程有四种形式由于标准方程有四种形式, ,因而在求方因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上程时应首先确定焦点在哪一个半轴上, ,进而确定方程的进而确定方程的形式形式, ,然后再利用已知条件确定然后再利用已知条件确定p p的值的值. .提醒提醒: :焦点位置不确定时焦点位置不确定时, ,要对各种可能的情况分别进要对各种可能的情况分别进行讨论行讨论, ,以确定抛物线的方程以确定抛物线的方程. .