金融衍生品定价理论

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1、LUB1矽血疋 XtC 口 S- ! _ -#-#-金融衍生品定价理论本课题得到国家自然科学基金（项目编号：70603025），地震学联合基金（项目编号： 606027），黑龙江陶正如1，陶夏新1,省自然科学基金（项目编号：G2005-13 ）的资助。1中国地震局工程力学研究所，哈尔滨（150080）2哈尔滨工业大学，哈尔滨（150080）E-mail: taozhengru摘 要：金融衍生品有利于规避金融市场风险，而衍生品是否能充分发挥作用则取决于其价格是否合理。本文总结了金融衍生品定价理论的发展，介绍了几种比较具有代表性的定价模型，并进行了简单的评述。关键词：金融衍生品，定价模型，随机过程

2、1.引言真正的现代金融衍生品始于 20世纪60年代末到70年代初，浮动汇率代替当时维系全 球的固定汇率制-布雷顿森林体系成为世界各国新兴的汇率制度，西方经济发达国家各类金融机构以自由竞争和金融自由化为基调进行金融创新1,2。随着金融市场在全球范围的快速扩张，国际贸易与金融商品交易的风险日益增加，迫切需要规避市场风险、提高交易效率， 金融衍生产品作为新兴的风险管理手段应运而生。金融衍生品的价格衍生自标的资产（商品价格、利率、汇率和股票价格或股价指数等） 的价格，根据两者间的关系，可以把衍生品分为两大类：线性衍生品和非线性衍生品。前者主要包括远期、期货和互换合约，其价值与标的资产价值呈线性关系，定

3、价比较容易。后 者主要包括期权，以及一些更为复杂的结构化衍生证券和奇异衍生证券，它们的价值与标的资产价值之间呈现出复杂的非线性关系。在所有的衍生品定价中， 期权定价的研究最为广泛， 因为与其它衍生品相比， 期权易于 定价；许多衍生品可表示为若干期权的组合形式； 各种衍生品的定价原理相同， 可以通过期 权定价方法推导出一般衍生品的定价模型 。2. 20世纪90年代前的金融衍生品定价模型1900年，法国数学家Louis Bachelier在投机理论中提出了最早的期权理论模型，奠 定了现代期权定价理论的基础，这标志着研究连续时间随机过程的数学和连续时间衍生证券 定价的经济学两门分支学科的诞生5-14

4、。 Bachelier的模型第一次给予布朗运动严格的数学描述，假设股价变化满足标准布朗运动、没有漂移、每单位时间方差为d2,则到期日期权的期望价值是：/、?S- X ? ?S - X ? 厂？ S-X?（ 1）C（S,t）=SN?S X ?- XN?S -X ?+ 曲t?S X ?（1）? rt ? dVt ?品t ?其中，C（S, t）为t时刻股票价格为S时的期权价值；S为股票价格；X为期权的执行价格；t 是距到期日的时间，N （）为标准正态分布累积函数；？（）为标准正态分布密度函数。巴氏模型比较适用于短期买权的定价，但其假设股价服从标准布朗运动，则股价可能为负，这与股票市场实际不符。另外，

5、模型忽视了资金的时间价值为正的客观事实，期权与股 票的不同风险特征和投资者的风险厌恶等问题使其在实际应用中受到限制6,8,9。但其仍具有重要意义，首次引入随机过程描述股价波动，给出了第一个描述期权价格运动的数学模型，把数学方法带进了金融经济学，为期权定价的研究奠定了数学基础。随后，各种经验公式或计量定价模型纷纷面世，都因缺乏合适的数学工具而存在各种各样的缺陷，难以获得突破性进展。20世纪40年代至50年代初，Kiyoshi Ito发展了巴氏理论，使其成为金融学中重要的数学工具，即随机计算。而一般认为，金融学从一门描述性的科学向分析性的科学转变始于H.Markowitz (1952)的开创性工作

6、13-16。50年代后期和整个 60年代，Markowitz、Sprenkle、Modigliani、Miller、Sharpe、Lintner、Boness、Fama和Samanelson等作了大量的开拓性工作7,14,17。C. M. Sprenkle (1961)假设股价服从均值和方差为常数的对数正态分布，该分布允许 股价有正向漂移2,7，部分消除了 Bachelier公式的缺陷。买权价值公式表示为：C(S,t)=Sea ?O?t?2-o1 - 2+伪0?+0?S-X0?n0?S 一 X0? ? ? ? ?.)x? ? ? ? ?. c?？217-#-其中，参数n是风险市场“价格杠杆”的

7、调整因子；a是股票预期收益率。模型直接排除了证券具有非正价格的可能性。如果允许漂移存在随机游走，就产生了正的利率和风险厌恶。模型中，n和a是主观变量，运用上受到限制，且模型没有考虑资金的时间价值。Boness (1964)在股票期权价值理论的要素 中，假设股票收益服从对数正态分布 2,18 由于认识到风险态度对投资者的影响， 模型中还假设投资者对风险的态度无差异，即为风险中性的。在此假设下，利用股票的期望收益率a来贴现最终期权的期望值，其价格公式为：一一!7XLS X?引？ ？?Sa9?+? ? ? ?9?気？2(TXa9?+? ? ? ?9?-?2 -O1 217由于模型中考虑了货币的时间价

8、值，消除了Spre nkle模型的缺陷，但模型同样未考虑股票和期权的风险水平不同， 对这两种不同的证券采用了同一期望收益率，导致结果不太合理。William Sharpe ( 1964)和J. Lintner ( 1965)以均值方差模型为基础，通过对证券市场价格机制的深入研究，建立了股票(可以包括其它任何金融资产)的均衡定价模型，先后 得出有关资本市场均衡的相同结论，即著名的资本资产定价模型(Capital Assets PricingModel, CAPM ) 14,15。传统的 CAPM 可以表示为19:ER=r + 6ERm- r(4)其中，r为无风险收益率； & = COVRi；仏为

9、资产i的卩。CAPM的严格的假定条件给经验验证带来了许多障碍，即使在规模最大、制度最完善、 效率最高的美国证券市场中，证券的风险-收益关系也不可能与CAPM结论完全吻合15。研究表明，卩对收益率，特别是普通股票组合的收益率有合理的解释作用15，但市场的不完全性己经逐渐被认识，为了解决市场中的“缺陷”，如存在交易成本、税收和卖空限制等对 股票或投资组合价格的影响，CAPM需要进一步改进。60年代另一具有重要影响的理论是由P. A. Samanelson (1965)和Eugene Fama (1965)提出、Fama (1970 )进行系统总结的有效市场假说14。Sama nelso n( 19

10、65)认识到由于风险的不同，期权和股票的期望收益应该是不同的。假 定股价遵循带有正成长率的几何布朗运动，因而允许有正的利率和风险收益2,7,9,12,18。对应于股票的期望收益率，期权的预期收益率是更高的常数卩，价值公式为：cSX? ? ? ?9.+a? ?+? ? ? ? ? ?9.?e？2-o1 2SX? ?a? ?+? ? ? ? ? ?9.?2-O1 217-3-显然，Bo ness模型是Sama nelson模型的特例。Sama nelson模型仍含有 a和卩两个主观变 量，无法接受直接的实证检验。但该模型推动了期权定价理论的发展，构成了 60年代以来证券理论研究的基石，为后来的Bl

11、ack-Scholes模型的开发奠定了基础14。事实上，期权定价公式、套利定价理论等现代证券投资理论都是以此为前提条件的，随后便出现了大量相关的实证研究。CAPM和有效市场假说在解释和预测现实经济问题时，有时不能满足需求，例如， 已经出现的交易周的日效应、星期五-13号效应和投机泡沫等20。Kassouf (1969 )提出了关于买权价格的计量经济模型2,7,11:I r? ? ?+r9?S 一 X?G.?X176它限定了买权的价格范围为 maxSX,O。60年代末和70年代初，金融数学模型变得日益复杂，内容涉及到定价和最优决策的短时 性和不确定因素等。 动态组合理论、跨时资本资产定价和衍生证

12、券定价新模型均应用了随机 微分和随机积分等式、随机动态规划及偏微分方程7-9。Samuelson和Merton ( 1969)将期权价格视为股价的函数，认为贴现率依赖于投资者所 持有股票和期权的数量，并未认识到影响贴现率的期权或股票风险都是系统风险，是无法分散的4,18。这使最终导出的期权定价公式仍需依赖于特定投资者的效用函数。70年代前的期权定价公式不同程度地依赖于未来股价的概率分布和投资者的风险偏好， 而这些是无法观测或精确估计的，因此，这些模型在实际应用中受到了限制。1973年，Fischer Black 和 Myron Scholes 在 Journal of political ec

13、onomy 上发表了论文 “ The pricing of options and corporate liabilities ”，同年，Robert Merton 在 Bell Journal of Economics and management scienee上发表了另一篇关于期权定价的论文“ Theory of rational option pricing ”。这两篇文章为非线性金融衍生工具的合理定价奠定了基础，是期权定价理论研究中的开创性成果，标志着定量经济理论和金融市场结合的开始2,6,12,15,16,21,23。此后，期权定价理论及其应用成为现代金融理论领域最活跃的分支之一，

14、并得到了迅速发展。Black和Scholes建立的期权定价模型，即著名的B-S模型。使用B-S模型，一方面可以通过锁定买入价格，消除价格上涨的风险，实现货币购买力的保值；另一方面，可以通过锁定 卖出价格，消除价格下跌的风险，实现资产的保值1。B-S模型考虑了影响期权定价的多种因素，其中关键在于估计标的资产(股票)未来价格的波动性，避免了对未来股价概率分布 和投资风险偏好的依赖，这主要得益于对股票买权可以规避股票投资风险的认识。通过一种投资策略，买入股票的同时卖出一定份额的股票(看涨)期权，构成一个投资组合。根据 资本资产定价模型，在市场完全均衡的条件下，这种投资组合的收益等于短期利率。因此，-

15、5-期权的收益可以用标的股票和无风险资产构造的投资组合复制。B-S模型基于以下基本假定I2,4,5,8,13,15,24】：1. 投资者可以卖空衍生证券，并使用卖空所得；2. 市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；3. 期权是欧式期权，在期权有效期内不存在现金股利的支付；4. 市场不存在无风险套利机会；5. 市场为投资者提供了连续交易的机会，所有证券都是连续的且高度可分；6. 无风险利率r为常数，且对所有期限均相同；7. 股价服从随机过程 dS(t) = S(t)灿+ odB(t)。其中，期望收益率口和波动率 (T为常数，B(t), 0 Amin、Willinger和Taqqu、Dufie和Pr

16、otter、Cutland、Amiu和Karma等研究了离散时间金融模型到连续时间模型收敛问题。3. 20世纪90年代后的金融衍生品定价模型90年代以来，特别是近几年，很多经济学家对不完全市场、 标的资产价格存在异常跳跃 或标的资产收益率方差不为常数等情况下的期权定价问题进行广泛研究，取得了许多重要研究成果。Madan D. B.与E. Sen eta (1990)选择gamma过程作为时变过程来构造时变布朗运动，即 用gamma时变布朗运动代替B-S期权定价模型中的布朗运动，从而得到相应的资产收益模型28。因为其分布可以看作是在给定了服从于gamma过程的方差下的正态分布，因此该收益模型被称

17、为方差gamma模型，对应的风险中性定价方法下的欧式买权价格为：其中，a =2n ； bi =( - W ; a2= ； b2=I； n = $+ BV-V0j2 ; 珂 vrng v內 vd = ln?So ?+ rt + 2?t ?ln n ; So为t=0的标的资产价格；K为执行价格；t为到期期限；厅为 ? K ?v? 标的资产波动率；v为标的资产收益分布峰度；B为标的资产收益分布偏度；？。是一个三参数的退化超几何分布函数。此后数年中，Madan D. B.与F. Milne以及Madan D.B.与E.Chang,又进一步将该期权定价模型扩展到更为一般的市场条件下的期权定价模型28。近

18、十几年中数学和计算机领域的快速发展推动了金融衍生品的发展，定价模型渐趋复杂。这一阶段的相关研究包括8,11,15,16,21,26,27,29,30,31 : Stein ( 1991 )、Heston (1993)与Roma(1994)等采用波动率的随机过程建立衍生品的定价模型，使之更贴近现实；Ben said和Lense(1992)考虑了交易费用对期权价格的影响，把衍生品定价问题归结为寻找最优保值策略的问题，一般要求解一个带约束的随机最优控制问题，提出了存在交易费用情况下的期权定价模型；Longstaff( 1993)考虑了从利率的随机过程及利率的期限结构角度来为金融衍生品定 价做更进一步

19、的深入研究，提出了利率衍生品的两因素一般均衡模型；Hull和White( 1993)分析得到了货币期权和股票指数期权的定价公式；Rubinsten (1994)提出、Ait-Sahalia和Lo( 1996)发展完善了马尔科夫期权定价模型；Duan (1995)发表了 GARCH期权定价模型，以 GARCH ( Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity )模型描述资产收益轨 迹，反映了标的资产条件波动性的改变；Linchen ( 1996)在衍生品定价及风险控制管理方面提出了利率期限结构的三因素一般均衡模型。Peng.S

20、( 1990)提出并发展的倒向随机微分方程理论为解决不完善市场定价理论奠定了一定基础；Gerber和Shui( 1994)采用Esscher变换方法从一族等价鞅测度中选择出一个特殊测度为期权定价；Karioui和Quenez( 1997 )、Jouini(1997)利用鞅理论非线性定价理论后移随机微分方程和等价鞅测度与不完全市场；刘海龙、吴冲锋(2001 )在离散时间模型基础上，给出不完全金融市场的期权定价&-套利方法。针对股价服从几何布朗运动的假设，即意味着股价是时间的连续函数，研究发现，几何布朗运动并不是刻画股价过程的理想工具。实践表明，股价可能会出现间断的“跳跃”，股 票的预期收益率往往

21、是波动变化的，可能是依赖时间和股价的函数。很多文献对股价波动规律进行了研究8,29: Bates (1991 )、Ami n 和 Jarrow (1992 )和 Madan & Cha ng (1996)进一 步发展了 Merton模型，分别得到了随机利率期权定价模型和跳跃扩散模型；MartinSchweizer (1991)的一般半鞅模型；Hull 和 White (1987)提出、Heston (1993)发展了随机波动率定价模型；Baily和Stulz ( 1989)提出、Bakshi和Chen (1997 )发展完善了随机利率随机波动率定价模型；Bates (1996)和Scott (

22、1997)提出并建立了随机波动率跳跃扩散定价模型；Bakshi ( 1997)提出了基于随机利率、随机波动率和跳跃扩散假设的混合 期权定价模型；Chan ( 1999)的Levy过程模型；Jan Kallsen (2000)的指数Levy过程模型； Jean-Lue Prigent (2001)的一般标志点过程模型等。事实上，如果跳跃程度是完全独立的连 续随机变量，见 Merton (1976)模型(如式(11)，市场是不完全的。根据不同的假设， 有些模型可以将其限制到完全市场，从而得到唯一解，正如Merton (1976)模型的解一样。Mogens Bladt和Tina Hviid Rydb

23、erg ( 1998)首次提出期权定价的保险精算方法，将期权 定价问题转化为等价的公平保费确定问题：买入一份期权，对方(出售期权者)在期权有效 期内就会承担一定的潜在风险，若要为这一风险加上保险，其保费就是这一期权的价格，也就是用对方所承受风险的大小来衡量期权价值的大小16,29,32,33。由于无任何经济假设，它对(12)-9-!* 1=1sKfs4完全和不完全市场均有效。基本思想是：无风险资产按无风险利率折现，风险资产按期望收益率折现，欧式期权的价值等于在期权被执行时股票期末价值按期望收益率折现的现值与执 行价(无风险的)按无风险利率折现的现值之差在股价实际概率测度下的数学期望。闫海峰、刘

24、三阳(2003)32推广了 Mogens Bladt和Tina Hviid Rydberg的结果，在无中间红利和有中间 红利两种情况下，把 B-S模型推广到无风险资产(债券或银行存款)具有时间相依的利率和 风险资产(股票)具有时间相依的连续复利预期收益率和波动率的情况，获得了欧式期权的精确定价公式以及买权与卖权之间的平价关系。保险精算方法与传统的期权定价方法有着本质的区别：保险精算法中期权价格与股价的实际分布特别是期末的分布有关，而传统的期权定价理论中，如B-S期权定价理论，期权价格与股价的实际分布无关，而与股票的价格过程有关。在计算数学期望所用的概率测度、期权被执行的条件以及计算可能损失的方

25、式等方面，保险精算方法与期权定价的鞅方法不同。4. 总结金融市场内在的复杂性使金融衍生品定价问题成为系统建模中最具有挑战性的课题之一，其中包括金融变量的数学描述、各种金融变量之间的关系分析、市场风险的计算与控制等等方面的问题34。由于期权定价方法具有广泛的应用价值，众多学者仍从不同的角度持 续不断地对这一问题进行更深入的研究。但到目前为止，定价模型仍不能完全描写金融衍生品市场的价格变化。一些数学工具，例如，随机分析、随机最优控制、组合分析、非线性分析、多元统计分析和数学规划等，在金融理论和实际中起着关键的作用。随着数学工具的不断发展、金融市场的不断完善，金融衍生品定价模型会越来越接近实际市场情

26、况，这也正是推动模型不断向前发展的原动力。参考文献1 孟利锋，张世英，何信.金融衍生产品定价理论及其应用研究J.价格理论与实践，2003, (9): 52-53.2 冯广波.期权定价有关问题的探讨D.湖南：中南大学，2002.3 王春峰.金融市场风险管理M.天津：天津大学出版社,2001.4 张振伟.关于期权定价理论和应用的问题研究D.江苏：南京理工大学，2000.5 孙宁华.金融衍生工具定价理论述评J.经济学研究，2004, (9): 33-38.6 梁利.金融资产及其衍生证券定价理论及应用D.辽宁：辽宁大学，2002.7 王应贵.期权定价方法及其应用D.上海：复旦大学，1999.8 马俊海

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33、ivativesTao Zhengru1, Tao Xiaxin1,21 In stitute of Engin eeri ng Mecha nics, Harbi n, PRC, (150080)2 School of Civil Engin eeri ng, Harbin In stitute of Techno logy, Harbi n, PRC, (150090)AbstractFinancial derivatives help the financial market to avoid risks, and the roles of these derivatives depend on whether its price is reas on able. The developme nt of finan cial derivatives is summarized, and some pricing models are reviewed in this paper.Keywords: financial derivative, pricing model, stochastic process作者简介：陶正如，女，1978年生，博士研究生，主要研究方向是防灾减灾。-11-