新教材高中数学北师大版选修23学案：2.5.1 离散型随机变量的均值 Word版含解析

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1、（新教材）北师大版精品数学资料5离散型随机变量的均值与方差第1课时离散型随机变量的均值1理解离散型随机变量的均值的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值(重点)2会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题(难点)基础初探教材整理离散型随机变量的均值阅读教材P57P59“练习”以上部分，完成下列问题1离散型随机变量的均值(1)设随机变量X的分布列为P(Xai)pi(i1,2，r)，则X的均值为_(2)随机变量的均值EX刻画的是X取值的“_”【答案】(1)a1p1a2p2arpr(2)中心位置2均值的性质(1)若X为常数C，则EX_.(2)若YaXb，其中a

2、，b为常数，则Y也是随机变量，且EYE(aXb)_.(3)常见的离散型随机变量的均值分布名称参数均值超几何分布N，M，n_二项分布n，p_【答案】(1)C(2)aEXb(3)nnp1下列说法正确的有_(填序号)随机变量X的数学期望EX是个变量，其随X的变化而变化；随机变量的均值反映样本的平均水平；若随机变量X的数学期望EX2，则E(2X)4；随机变量X的均值EX.【解析】错误，随机变量的数学期望EX是个常量，是随机变量X本身固有的一个数字特征错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平正确，由均值的性质可知错误，因为EXx1p1x2p2xnpn.【答案】2已知离散型随机变量X的分布列为：X1

3、23P则X的数学期望EX_.【解析】EX123.【答案】质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型离散型随机变量的均值公式及性质已知随机变量X的分布列如下：X21012Pm(1)求m的值；(2)求EX；(3)若Y2X3，求EY.【精彩点拨】(1)利用分布列的性质求m；(2)利用离散型随机变量的均值公式求解；(3)利用离散型随机变量均值的性质求解【自主解答】(1)由随机变量分布列的性质，得m1，解得m.(2)EX(2)(1)012.(3)法一：由公式E(aXb)aEXb，得EYE(2X3)2EX323.法二：由于Y2X3，

4、所以Y的分布列如下：Y75311P所以EY(7)(5)(3)(1)1.1该类题目属于已知离散型分布列求均值，求解方法是直接套用公式，EXx1p1x2p2xnpn求解2对于aXb型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aXb)aEXb；也可以先列出aXb的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便再练一题1已知随机变量X的分布列为：X123P且YaX3，若EY2，求a的值【解】EX123，EYE(aX3)aEX3a32，a3.求离散型随机变量的均值在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，

5、6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与均值【精彩点拨】(1)可先求“甲乙两单位的演出序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率；(2)先求出的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和均值【自主解答】只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数(1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P(A)1P()11.(2)的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，P(4).从而知的分布列为01234P所以E01234.求离

6、散型随机变量的均值的步骤1根据的实际意义，写出的全部取值2求出的每个值的概率3写出的分布列4利用定义求出均值其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重分析概率的相关知识再练一题2盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值【解】X可取的值为1,2,3，则P(X1)，P(X2)，P(X3)1.抽取次数X的分布列为X123PEX123.探究共研型离散型随机变量的均值实际应用探究1某篮球明星罚球命中率为0.7，罚球命中得1分，不中得0分，则他罚球一次的得分X可以取哪些值？X取每个值时的概率是多少？

7、【提示】随机变量X可能取值为0,1.X取每个值的概率分别为P(X0)0.3，P(X1)0.7.探究2在探究1中，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？【提示】每次平均得分为0.8.探究3在探究1中，你能求出在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么？【提示】在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为00.310.70.7(分)因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X的数学期望来描述他总体得分的平均水平具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X的均值的一个分数随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等

8、品50件，三等品20件，次品4件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的数学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？【精彩点拨】【自主解答】(1)X的所有可能取值有6,2,1，2.P(X6)0.63，P(X2)0.25，P(X1)0.1，P(X2)0.02.故X的分布列为：X6212P0.630.250.10.02(2)EX60.6320.2

9、510.1(2)0.024.34.(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为EX60.72(10.70.01x)1x(2)0.014.76x(0x0.29)依题意，EX4.73，即4.76x4.73，解得x0.03，所以三等品率最多为3%.1实际问题中的均值问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计2概率模型的三个解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值(3)对照实际意

10、义，回答概率，均值等所表示的结论再练一题3甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X稳定在7,8,9,10环将它们的比赛成绩画成频率分布直方图如图251甲和图乙所示图251(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙8)，以及甲击中9环以上(包括9环)的概率；(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大)【解】(1)由图乙可知P(X乙7)0.2，P(X乙9)0.2，P(X乙10)0.35.所以P(X乙8)10.20.20.350.25.同理P(X甲7)0.2，P(X甲8)0.15，P(X甲9)0.3，所以P(X甲1

11、0)10.20.150.30.35.P(X甲9)0.30.350.65.(2)因为EX甲70.280.1590.3100.358.8，EX乙70.280.2590.2100.358.7，则有EX甲EX乙，所以估计甲的水平更高构建体系1(2016潍坊高二检测)设X为随机变量，XB，若随机变量X的数学期望EX2，则P(X2)等于()A.B.C.D.【解析】因为XB，所以EX2，所以n6，所以P(X2)C24.【答案】D2口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的均值为() 【导学号：62690041】A. B. C2 D.【解析】X的取值为2,3

12、.因为P(X2)，P(X3).所以EX23.【答案】D3某射手射击所得环数的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的均值E8.9，则y的值为_【解析】依题意得即解得y0.4.【答案】0.44设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3，P(Xk)akb(k1,2,3)又X的均值EX3，则ab_.【解析】P(X1)ab，P(X2)2ab，P(X3)3ab，EX1(ab)2(2ab)3(3ab)3，14a6b3.又(ab)(2ab)(3ab)1，6a3b1.由可知a，b，ab.【答案】5袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分，每取到1个白球记1分，每取到1个红球

13、记2分，用X表示取得的分数求：(1)X的分布列；(2)X的均值【解】(1)由题意知，X可能取值为0,1,2,3,4.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).故X的分布列为X01234P(2)EX01234.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1设随机变量XB(40，p)，且EX16，则p等于()A0.1B0.2C0.3D0.4【解析】EX16，40p16，p0.4.故选D.【答案】D2随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数的期望为() 【导学号：62690042】A0.6B1 C3.5D2【解析】抛掷骰子所

14、得点数的分布列为123456P所以E1234563.5.【答案】C3设的分布列为1234P又设25，则E等于()A. B. C. D.【解析】E1234，所以EE(25)2E525.【答案】D4某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min，这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y的期望为()A.B1 C. D.【解析】遇到红灯的次数XB，EX.EYE(2X)2.【答案】D5设随机变量X的分布列为P(Xk)，k1,2,3,4，则EX的值为()A2.5B3.5C0.25D2【解析】EX12342.5【答案】A二、填空

15、题6今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为X，则EX_.【解析】X可能的取值为0,1,2，P(X0)(10.9)(10.85)0.015，P(X1)0.9(10.85)0.85(10.9)0.22，P(X2)0.90.850.765，所以EX10.2220.7651.75.【答案】1.757(2016邯郸月考)一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是_【解析】随机变量X的取值为0,1,2,4，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X4)

16、，因此EX.【答案】8.如图252，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值EX_.图252【解析】依题意得X的取值可能为0,1,2,3，且P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).故EX0123.【答案】三、解答题9某俱乐部共有客户3 000人，若俱乐部准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取假设任一客户去领奖的概率为4%.问俱乐部能否向每一位客户都发出领奖邀请？【解】设来领奖的人数k(k0,1，3 000)，P(k)C(0.04)k(10.04)3 000k，则B(3 000,0.04)，

17、那么E3 0000.04120(人)100(人)俱乐部不能向每一位客户都发送领奖邀请10(2015重庆高考)端午节吃粽子是我国的传统习俗设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同从中任意选取3个(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望【解】(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A).(2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X0)，P(X1)，P(X2).综上知，X的分布列为X012P故EX012(个)能力提升1甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X表示甲车床生产1 000

18、件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，X，Y的分布列分别是：X0123P0.70.10.10.1Y0123P0.50.30.20据此判定()A甲比乙质量好B乙比甲质量好C甲与乙质量相同D无法判定【解析】EX00.710.120.130.10.6，EY00.510.320.2300.7.由于EYEX，故甲比乙质量好【答案】A2某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是()A2 000元B2 200元C2 400元D2 600元【解析】出海的期望

19、效益E5 0000.6(10.6)(2 000)3 0008002 200(元)【答案】B3某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X0)，则随机变量X的数学期望EX_. 【导学号：62690043】【解析】P(X0)(1p)2，p.随机变量X的可能值为0,1,2,3，因此P(X0)，P(X1)222，P(X2)222，P(X3)2，因此EX123.【答案】4(2015山东高考)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十

20、位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1分；若能被10整除，得1分(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX.【解】(1)个位数字是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C84，随机变量X的取值为：0，1,1，因此，P(X0)，P(X1)，P(X1)1.所以X的分布列为X011P则EX0(1)1.