数列的通项与求和

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1、数列的通项与求和、知识框架（一）数列通项的求法（二）数列求和的常用方法1. 公式法适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。2. 倒序相加法如果一个数列an，首末两端等 距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数 列的前n项和即可用倒序相加法，等差数列的前n项和即是用此法推导的.3分组求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减.4. 错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，等比数列的前n项和就是用此法推导的.5. 裂项相消法把数列

2、的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.二、基础自测1已知数列 an的前n项和Sn = n2-9n，则其通项an二； 2n -102.已知数 列an中,ai = 20,an 1二an 2 n-1, nN*,则数列a.的通项公式a.。n2 -2n +213.设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，若Sn,Sn2,Sn 1成等差数列，则q =4.设f（x（x-1）3 1，利用课本中推导等差数列的前n项和的公式的方法，可求得f ( V)亠亠 f (0)亠 - f (5) f (6)的值为 1115.已知等差数列an的前n项和为Sn, a5 =5,足=15，则数列的前10

3、0项和anan 出6已知数列an 满足q =4,2 an卑312 n N* ,则1 = an +67 an2 3-4n _2三、典型例题求满足下列条件的数列的通项公式已知数列 玄满足a1 =1,an d = 2an 1 nN(1)(2)数列an中，a1=1,耳.1=3an2n-2n N(3)已知数列 a 满足 =1,nan 彳=：n 1 an 1 n N*已知数列 a 前 n项和为 Sn，且1,nan1=2Sn n N*(5)数列中，设 an 0,a1 =1,an|_an+12 =26 n N*(1)解：因为 a1,an 2an 1,得务 1 1 =2 务 1 且 q 1 =2.所以 an-1

4、 -2ndLa1 n-2n.从而得 a. =2n -1.(2 )解：两边同除以汀1得齐an2n -2入亍，令b _3nbTbn =b2 1-1 2 2-1 亦-1 -113133n4 13 2 3112n13n2n-123n3n1ann =1也适合.2 2a 4(3)解:把 nan t =(n 1)an 1 两边同除以 n n 1 得n +1a1令bn=:,则齢f +而可)，且z.=1 1_丄=2_,(n _2)n n从而bnF1 心j1-丄k#k(k+1)k#lk k+1 丿又b| =1也适合所以 an =2n-1.(4)解：因为 nan.1=2&= 2 耳a2- a3：； an= 2a1a

5、2a-anJ - 2an.mn -1 an 2an hn 1 ann +1从而 an 1an 故 an 二 6n彳-諾 ra1Ln，(n2)又a-1所以(5)解：因为 an 0,aJ_a226,所以 2log2 an 1 log? an =6,bn=log2an ,有 2bn1 bn=6 ,则 0 1 - 2 = - g - 2n_1从而二 bi -2bn =(log2l 2 比2=2一22故 an例2已知二次函数y =f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f (x)=6x-2，数列an的前n项和为Sn,点(n,Sn) (nN*)均在函数y =f(x)的图像上.(I)求数列an的通项公式；3(

6、U)设bn, Tn是数列bn的前n项和，求使得T：对所有n N *都成立的anan+20最小正整数m .解：(I ) 依题设 f (x) =ax2 bx(a =0),由 f(x)=2ax，b 又 由 f(x)=6x-2 得a =3 , b = 2 ,二 f (x) =3x2 2x，所以 Sn =3n2 -2n ,当 n _2 时 an =Sn Sn 4 = (3n2 2n) 3(n -1)2 -2(n 1) =6n -5 ,当 n =1 时，a = =3 12 -2 1 = =6 1 5也符合，二 an =6n -5(n - N ).3 由(I)得佥彷一5)6爲)一5 花一6)，n1 1 1

7、6n -5 6n 1) _2(1 _6n 1)，v11丄11丄丄1Tnb (1)()-：“(n2 r V 137i生要使一凡)唱(N*)恒成立，只要2(1 一話认唱，6n 16n -1以2(1一的)T只要1唱，即心m的最小整数为10例3已知数列an满足an 1 a 4 3(n N ).(1) 若数列an是等差数列，求ai的值；(2) 当& =2时，求数列an的前n项和Sn ；(3) 若对任意n N”，都有an2 - an- 20n-15成立，求印的取值范围1解：（1）= 2, a12（2）由 an 1 an= 4n- 3，得an2 an4n 1,两式相减，得an.2- an= 4。所以数列a?

8、.是首项为a1，公差为4的等差数列,数列a2n是首项为a2，公差为4的等差数列，由 a1 a2 = 1, a）= 2,得a2 = -1。2n,n =2k -1, N*所以an =.、2n -5.n = 2k,k e N * 当n为奇数时，则an =2n耳彳=2n-3，所以 Sn = a2） （a3 a4）（a./a.）an2=19 （4n-11） 2n 卫5当n为偶数时,2门2 3n P） （a33（“A1-7“综上Sn =2j1,k N22n 一3小=2k,k N(3)由(2)知，an =2n-2 a1 ,n = 2k 1,k N2n - 3 - a仆n = 2k,k N当 n 为奇数时，则

9、 an = 2n - 2 a1,an2n -1 - a1,2229由 an - an d _20n-15，得 a1 - a _-4n16n-10,又 n=1 或 3 时，(_4n2 16n-10)max=2 ,2所以 a1 -a1 _2，解得 a 2或 a1 _ -1当 n 为偶数时，an = 2n - 3 - a1, an 4 = 2n - a，2 2 2 2由 ana* 1 _20n-15，得 a13 _-4n16n-12 ,又 n=2 时，(_4n216n-12)max =4,所以a13a 4，解得a1 - 1或a1虫4 ,综合，a1的取值范围是 Q _ -4或a 2。2例4数列aJ的前

10、n项和为Sn，存在常数A，B，C,使得an -Sn= An- Bn C对任意正整数n都成立.若数列耳为等差数列，求证：3A B + C =0;1 3若A ,B ,C=1,设ban n,数列ng的前n项和为 人，求；2 22012 1T若C=0, an是首项为1的等差数列，设 P = 1 ? 一2 2 ，求不超过P的最大整 im Yaia +数的值解：因为:an 为等差数列，设公差为 d，由anAn2 Bn，C ,1得 a1 (n - 1)d na1n(n 1)d 二 An2 Bn C ,22d即$d -A)n (a -B)n (ad -C0对任意正整数 n都成立.丄 d A=0,21所以 ad

11、B,所以 3A_BC=：0 .一d C =0,1 23因为 an S - -n -n，1，所以 a1 :-2 2当 n 2 时，an 二-SnA12-(n -1)2 -3(n -1) 1,2 2所以 2an -an=_n -1 ,即 2(an n) =an 丄n 1，工1而 b = ai 1 =2所以数列fbn?是首项为1，公比为1的等比数列，所以2 21 23+ 2 +32 2 2所以十5 ),bi于是nbn t .所以Tn =2由-，+川+ ?中r+T4 +川+六，得1T1 +厶+飞+2 2 22231一丄2iG)nn?n+ 1=12 + n?n+1所以T” =2号 因为是首项为1的等差数

12、列，由知,公差 d=1，所以 an 二 n .(n 1)22 2 2 2n (n 1) (n 1) n(n 1)2n(n 1)1n(n 1)=1 1n(n 1)=1 1n1 J =2013201220132013111111所以 (1 -)(1 - -)(1 -(1 122334所以，不超过P的最大整数为2012 .四、巩固提升1设数列 &是公比为2的等比数列，且a29a3o = 230，则a3a a29a3二2202 .各项均为正数的等比数列an满足aia尸4, a 8 ,若函数5523101f x 二axa2xa3x 亠亠ax 3已知数列CaJ满足a“ =1，且a-anj (-)n(n _

13、 2，且 n N*)，则数列 曲 的通3 3项公式为an 二3nn 25124在各项均为正数的数列 CaJ中，对任意m, n N*都有am .n = am an 若a6 = 64，则a9等于5对于正项数列；Gn X定义H n 为Qn 的 光阴”值，现知某数6 +2a2 +3a3 + + nan列的 光阴值为H n = ，则数列，an 的通项公式为 . an =n +22n6数列an满足 an 1 - (-1)nan =2n -1，则a.的前 60项和为18307.已知数列 a 满足：印=l,an耳=an2 an，用x表示不超过x的最大整数，则 21 1 1+一一 的值等于 1耳+1 a2 +1

14、a2on +1 _对任意x, y R,都有8 设f(x),g(x是定义在 R上的恒不为零的函数，n 22nf(x)f(y) = f(x y) , g(x) g(八 g(x y)，若十坯讪 N )，且D =1,0 =g(n)(N*)，则数列anbn的前n项和为Sn为9.设u(n)表示正整数 -的个位数，an =u(n2) -u(n)，则数列 的前2012项和等于.210.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数如三角形数1,3,6,10,，第-个三角n( +1)11形数为 一2一=?n2+n.记第-个k边形数为 N (-,k)(k3),以下列出了部分 k边形数中第-个数的表达式：一 1 2

15、 1三角形数N n,3 n n2 2正方形数N n,4 = n2五边形数六边形数3 21N n,5 n n 丿2 2可以推测N n ,k的表达式，由此计算N 10,24 =100011.在数列力门中,已知an 1,a =1,且an 1 - an2an 1 a n,n N . -11 2(1)记 bn =(an -)，n N ”.求证：数列2fbn 是等差数列;(2)求an的通项公式;2解：(1an 4 - an ；an十 +an _1,n N ,. an 12 - a.21 21 2即(an 1)- (an )= 2.221又bn七2)2,.时弋二细N )故数列tn 是以2为公差的等差数列.1

16、 21 2(2)由(1)知(an -)二佝 -一)2(n -1)=2 28n -7,n4an -1,. an 二,n N .212设数列tan的前n项的和为Sn，已知 一S11 丄丄S2Sn求S，S2及Sn ；设bn=nn 12丿nn,若对一切n N*均有bkkWm,m6m 7，求实数m的取值范围-N n,6 =2n2 -n解：依题意，n=1 时，S|=2； n=2 时，S 6 .因为1 = n N* ，S1S2Sn n_2时丄丄一丄ZSlS2Sn 斗1n n1 c所以，Sn = n i n 1 .Sn n 1 n上式对n =1也成立，所以Sn =n n 1 n N* .(2)当 n=1 时，

17、冃=2,当 n_2 时，一Sn丄=2n,所以 an = 2n n Nf 1 n b 1 bn,，数列：bn是等比数列，4 bn4n则 y bk =k=41 -1411-134n由11一 m4-6m卫丄八bk丿，4 心 3所以m ：0或m_5.因为1 * 丄 随n的增大而增大，所以 n 4打丄m ： 0或m 4 得1 m乞1或m _ 5A _32 2 213正项数列an的前项和an满足：Sn-(n 5- 1)sn -(n ，n )=0(1)求数列an的通项公式an；564n +1*令bn2 2，数列bn的前n项和为Tn 证明：对于任意的n N，都有Tn(n+2) an【答案】(1)解:由S：-(

18、n2n- 1)Sn-(n2n)= 0，得S(n2n)(Sn1) = 0.由于 订,是正项数列，所以Sn0,Sn二n2 n.于是 q =S 0 时，an 1anbn 且 0 1,244所以 an+bn 卅=；an ；bn +；bn =2n +bn), 又当 an - bn 0 时，bn-1 an 1 bn 且 a. 1=：3an ,424an 1 bn 1= _an；an 2bn因此，数列an - bn 是以a b为首项，1为公比的等比数列,2所以,an+bn=(a+b) I12丿33沪因为屮00，所以令沪，所以a-|bn =(a b)-an =(a b)假设存在a , b，使得能构成等比数列，

19、则2b a4b 5ab2, b3 =故（2b a）2 =（4b -5a）b，化简得 a b = 0，与题中 a - b = 0 矛盾, 416故不存在a , b使得0?为等比数列.3因为 an + bn : 0且 b2nb2n 1，所以 b2n411131a2n1b2n 1 -a2n1b2n 1-一 6n 14_ 2 4_4_4 一3所以严n所以 |21弋2）4（纸b2n 1），由知,a2n 1b2n 丄=(a b)，所以b2n 12n.112n_4b2n 二二 b1(b3 - bj(b2n 二- b2n J3)a +b二 b -3=b4U114丿(a b)b2n =3b2n.! =3b443卜胡，nn-1P,n为奇数时所以,bn二Ji14丿,n为偶数时.