完整版高等数学测试题及解答上部分16章副本

《完整版高等数学测试题及解答上部分16章副本》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整版高等数学测试题及解答上部分16章副本（58页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、高等数学单元测试及详细解答第一单元函数与极限第7页一、填空题x1 已知 f(sin )1 COSX，贝y f (cosx) 22、.(4 3x) lim厂x x(1 x )3、 x 0时，tanx sinx是x的阶无穷小。14、 lim xk sin0 成立的 k 为。x 0 x5、 lim exarctanx 。xe 1 x 06、f (x)在x 0处连续，则b 。x b, x 07ln (3x 1)7、limx 0 6x8、设f (x)的定义域是0,1，贝U f (l nx)的定义域是 9、函数y 1 ln(x 2)的反函数为 10、 设a是非零常数，则lim (M_)x 。x x a11

2、1、 已知当x 0时，(1 ax2)3 1与cosx 1是等价无穷小，贝U常数a 。3x12、函数f(x) arcsin 的定义域是 。1 x13、lim、x22. x22。n14、设 lim ()x 8，则 a 。x x a15、lim ( . n . n 1)( . n 2. n)=。n二、选择题1、设f(x),g(x)是l,l上的偶函数，h(x)是l,l上的奇函数，贝U 中所给的函数必为奇函数。(A) f (x) g(x) ；(E) f (x) h(x) ； (C) f (x)g(x) h(x) ； (D) f (x)g(x)h(x)。2、(x)(x)1 Vx ,则当x1时有(A)是比高

3、阶的无穷小;(B)是比低阶的无穷小;(C)是同阶无穷小;(D)3、函数f(x)0(x1)在x 0x 0处连续，则k(A)(B)(C) 1;(D) 0。4、数列极限lim nIn( nn1)Inn(A) 1 ;(B)1;(C)(D)不存在但非。sin xx01 xcosx(A)连续点；(B)5、f(x)0是f (x)的可去间断点;(C)跳跃间断点;(D)振荡间断点。6、以下各项中f(x)和g(x)相同的是(2(A) f (x) Ig x , g(x) 2lg x ;(B)f(x)g(x) X2 ;(C) f (x) Vx4,g(x)xV(D)f (x)2 2g(x) sec x tan x。si

4、n x7、limx 0 |x|(A) 1;(B)-1 ;(C)(D)不存在。1x)x(A) 1;(B)-1 ;(C)(D)9、f(x)在xo的某一去心邻域内有界是limx xqf (x)存在的(A)充分必要条件；(B) 充分条件;(C)必要条件；(D)既不充分也不必要条件10、lim x( . x21 x) (x(A) 1;(B) 2;(C) 2;(D)0。11、设an, bn, Cn均为非负数列,且 lim ann0,lim bn1,limCn，则必有()nn(A) an bn对任意n成立;(B)bncn对任意n成立;(C)极限lim ancn不存在；n(D)极限lim bnCn不存在。 n

5、12、当x 1时,(A)等于2;三、计算解答1、计算下列极限(E)等于0;(C)为;(D)不存在但不为。(1)limnn2 sin(2)cscx cot x ;(3)limx1x(ex1);(4)limx2x 12x 13x(5)28cos x 2cosx 1;1limx - 2 cos3(7)x cosx00.1 xsin xcos;xta n x3、试确定a,b之值，使limx4、利用极限存在准则求极限1(1) lim -n1 123 1 131)2 x1x11n 1oax(8)(2)设 x1Xn.axn(n1,2,5、讨论函数f(x)x .n lim = n nln(1 3 2 x)li

6、m。x 2 arctanx 4 x2)，证明lim xn存在，并求此极限值。nx丄匚的连续性，若有间断点，指出其类型。n，使 f()6、设f(x)在a,b上连续，且a f(x) b，证明在(a,b)内至少有一点第一单元函数与极限测试题详细解答一、填空题. 2x2 x2 x1 2sin x 。f (si n)1(12 sin -)2 2sin 222f (x)222xf (cos x)22 2 cos x2sin2 x。m Hx32X9mH XX243、高阶。limxtanx sin x tan x(1 cosx)limx 04、tanxxsin x是x的高阶无穷小。lim (1 cosx) 0

7、x 0xx 0x5、0。lim exarcta nx0(lim exxx6、b2。limf(x)lim (x b)b，x 0x 0f(0)b, b2。7、1limln(3x 1)lim3x1。2x 06xx 06x28、1x e根据题意要求0ln x 19、yx 1e2y 1ln(x2),(y 10 ,所以ln(xi2，limx 0sin丄k所以要使lim xsin 1为有界函数x ey只要limx 0xkO,arctan xf(x)2),ln(x2a10、 e原式= lim (1xx 亘） a2a2a x a2ae 。11、 a由(1 ax12)3丄ax2与cosx30，即 k 0。(2,2

8、)。lim (ex 01) 2，ey2）的反函数为1 21x，以及12、limx 0可得1(1 ax2)31TCOSX1 2axlim 03a 1，由反三角函数的定义域要求可得解不等式组可得11f (x)的定义域为-x -。4213、limnx2 2 x22limn(：x22_x2 2)( x2 2x2 2)x22x2214、In 215、limnx2_2_(x2_2)_x2 2x2 2x 2a、x lim ()x x a3a ln 8 alim(1x1ln8x a 3ax 3a ) 3a x ax aln233In 2。3a elim ( i n 、n 1)(、n 2nlimnn 1) 21

9、2(1 1 ) lim ln n 2J 1耳 nl,l上的偶函数，h（x）是l,l二、选择题上的奇函数，F(x)f( x)g( x)h( x)f(x)g(x)h(x)F(x)。(x)1 x1 x2、选（C）limlimO flimx 1(x)x 1 (1x)(13 x)x 1 (1x)131(1x)1、选（D）令 F(x)f (x)g(x)h(x),由 f (x), g(x)是高等数学单元测试及详细解答lim1 x3x 112(1x) 3 (1 x)13、选（A）lim f (x)1 x 1.2x 3lim 3limx 0x o31x1x 0 12x3xx)第8页nlnn6、选（C）在（A）中

10、f(x)2ln x的定义域为x 0，而g（x） 2lnx的定义域为x 0,f(x)g （x）故不正确在（B）f （x）x的值域为（），g（x）x2的值域为x 0，故错在（C）中f（x） 1的定义域为R g(x)sec2 x tan x的定义域为x R, xf(x)g(x),故错7、选（D）limx 0sin xlim沁0 xlim0sin xlim1x 0 xsin x十亠 lim 不存在 x 0 | x |8、选（D）1lim (1 x)xx 0lim1x 01)9、选（C）由函数极限的局部有界性定理知,lim f (x)存在,x xo则必有X。的某一去心邻域使f （x）有界，而f （x）在

11、X。的某一去心邻域有界不一定有lim f （x）存在，例如x X。1sin 1有界，但在x 0点极限不存在(limx(、x21x说(x2 1 x)(-x21 x)x- x 1 xlimxXxx高等数学单元测试及详细解答2。1第10页limx111、选（D）充分大时”的情况，不可能得出“对任意n成立”的性质。（C）也明显不对，因为“无穷小无穷大”是未定型，极限可能存在也可能不存在。（A）、（E）显然不对，因为有数列极限的不等式性质只能得出数列“当12、选（D）1lim (x %百 2 00x 1xin?x* 2ex1lim (xx 11)e当x 1时函数没有极限，也不是 三、计算解答1、计算下列

12、极限：(1)解:lim 2n sinnXnn 1lim 22“ 1nx2n112x。cosx2 x(2)解:cscx limcotxlimsin xsin x1 cosx limx0 x cos x cosx 11x 0x _ (2cosx 1)(cos x 1) 0xx 0 xsinx2(3)解:1lim x(ex11) lim x -1。xx x17m Hx1mHxo31 一 21 一 2X1 - 21X1mH Xlim 1x11 X 2 3)23 * lim 1 1x 211x 21)23e3(5)解:28cos x 2cosx 1(2 cos x 1)( 4 cosx 1)4 cosx

13、 1 limx cosx 13高等数学单元测试及详细解答第15页(6)解:xsin x cosxxta nxxm1 xsinx cosxxta nx(、1 xsinx cosx)xsi nx1 cosxxsin x1cosx1 13lim-9lim厂lim2一 一x 02xx 0 2xx 02x2 44(7)解：lim111 x 1223n(n 1)lim(11)(23)(-丄)x223n n1lim (11-)1oxn13、解:limx4、( 1).m2ln(1 3 2 x)arctanv4 x* 2limx(1m2IK-2/Vm2H X34。(aaxb)2a)x (a b)xb)13122

14、 彳 2x 1 ax limx(a b)x bx 1(1 b)21 1n n 11而limxlimx1设 n k 时，xk a，贝y xkaxk.a2数列Xj有下界,再证Xn单调减，Xn 1Xn且xn 0Xnxn即xn单调减,lim xn 存在，设 lim xnn则有aA(舍)或A a ,limnxn5、解:先求极限得 f(x)2x.n lim plim f (x)x 0limx 0f(x)f (x)的连续区间为,0)(0,0为跳跃间断点.。6、解:令 F(x) f(x)而 F(a) f (a)F(b) f(b)由零点定理，(a, b)使 F(即f()，亦即f(F(x)在f(0)a, b上连续

15、第二单元导数与微分一、填空题1、已知f (3)2，则 limf(3h)f(3)h 02h2、f (0)存在,有 f(0)0，贝limf(x)x0x3、yxxarctan 1-,则yx 1=4、 f(x)二阶可导，y f(1 sin x)，则 y=； y =5、曲线y ex在点处切线与连接曲线上两点(0,1), (1,e)的弦平行。6、yInarctan(1 x)，则 dy =2 4 dydy7、y sin x ，则 =，2 =。dxdx218、若 f (t) lim t(1 丄严，则 f (t)=。xx9、 曲线y x2 1于点处的切线斜率为2。10、设 y xex，贝U y (0)。11、设

16、函数y y(x)由方程ex y cos(xy) 0确定，则 dx2212、设x 1 t则今 。y costdx二、单项选择丄和y x2在它们交点处两切线的夹角为x，则 tan(A)1 ；(B) 1 ;(C)2 ;(D)3。3、函数f(x)tank xe，且 f () e,4则k ()。(A)1 ；(B)1；(C)1;(D)2。24、已知f (x)为可导的偶函数，且limf(11 x)f(1)2 ,则曲线y f (x)在(x 02x处切线的方程是。(A)y 4x6 ; (B) y4x 2 ；(C) yx3;(D) yx 1。=()。1、设曲线y1,2)5、设f (x)可导，则limx of2(x

17、2x) f (x)_(A) o ；(B) 2f (x) ；(C)2f (x) ；(D) 2f(x) f (x)。6、函数f(x)有任意阶导数，且 f (x) f(x)2，则f(n)(x) =(A) nf(x)n1 ； (B)n!f(x)n1 ； (C) (n 1)f(x)n1 ； (D) (n 1)! f(x)2。7、若 f(x) x2，则 lim f(xo 2 x) f(xo)=(x o(A)2Xo;(B) Xo ；(C) 4Xo ;(D) 4x。f (x)在点Xo处存在f (xo)和 f (xo)，则f (xo)f (xo)是导数f (xo)存在) 必要非充分条件;(C)充分必要条件；的(

18、A)(E)充分非必要条件；(D)既非充分又非必要条件。9、设 f (x) x(x 1)(x2)(x99)则 f (0)(A) 99；(B)99 ；(C) 99! ；(D)99。1。、若f (u)可导，且yf( x2)，则有dy ()(A) xf ( x2)dx ； (B)2xf2 2(x )dx ； (C) 2f ( x)dx； (D) 2xf (11、设函数f(x)连续，且f(0)0 ,则存在0，使得( )(A) f (x)在(o,)内单调增加；(B) f (x)在(,0)内单调减少；(C)对任意的x (0, ) 有 f (x)f (0) ； ( D)对任意的x(,0)有 f(x)12、设

19、f(x)2 . 1 x sinxx0在x 0处可导，则()ax bx 0(A)a 1, b0 ；(B)a 0, b为任意常数；(C) a 0, b0 ；(C)a 1,b为任意常数。三、计算解答x2)dx。f(O)。1计算下列各题(1).2 1 sin - e x，求 dy；(2)yX叩，求d2y t3dx(3)arcta ny y ,dx2(4) y sin xcosx，求 y(50)(5)(6)f(x)x(x 1)(x2)(x2005)，求 f (0);(7)f(x)(x a) (x)(x)在x a处有连续的一阶导数，求f (a)、f (a)；(8)设f (x)在x 1处有连续的一阶导数，且

20、f (1)求limx 1f (cos . x 1)。 dx2、试确定常数a,b之值，使函数f(x)b(1sin x)axe 10处处可导。0x(厂3、证明曲线x2 y2 a与xy b ( a,b为常数)在交点处切线相互垂直。4、 一气球从距离观察员 500米处离地匀速铅直上升，其速率为140米/分，当此气球上 升到500米空中时，问观察员视角的倾角增加率为多少。5、若函数 f (x)对任意实数x1, x2有f (x-1x2)f (x1 )f (x2)，且f (0) 1，证明f (x) f (x)。6、求曲线y x3 3x2 5上过点(1, 3)处的切线方程和法线方程。高等数学单元测试及详细解答

21、2第16页第二单元导数与微分测试题详细解答 一、填空题叫Hh2h叫Hh1-f (3)12limx、4、f (1 sin x) cos x ,2f (1 sin x) cos x f (1 sin x) sin x8、9、f (1 sin x) cosx, y f (1 sinx) cos x(ln(e 1),e 1)弦的斜率x y (e )xe e 1dxarcta n(1 x)1(1x)2dy(1d arcta n( 1arcta n(1x)dxarcta n(1x) 1 (1 x)24x3 sin 2x4， 2x2 sin 2x45、kx6、x)7、ln(edydx1)，当 xarcta

22、n(12sin xx)cosx4f (1ln(e1(14x3sin x) sin x1)时，y2d(1 x) x)4x3sin 2x4dydx22t2te 2te(1,2)10、 2见 2x2si n2x42xdxf (t) lim t(11)2txXxte2tf (t)2t e2t2te2x，由 2x02Xo1,y。12x21在点(1,2)处的切线斜率为2xxe xe ,x xxe e xe0 0y (0) e e高等数学单元测试及详细解答第25页11、e ysin(xy) ex y xsin(xy)方程两边对x求导得y(1y) sin (xy)(yxy) 0解得ex y ysin(xy)

23、ex y xsin(xy)12、sint tcost4t3由参数式求导公式得dydxYlxtsin t2t ，再对x求导，由复合函数求导法得d2ydx2dx(yx)(yx)txt11cost sint 12t22tsint tcost3o4t3二、选择题1、选（D）交点为(1,1),k11 , k2(x2)23、tan|tan(JII1k1k2A)z/lx选f (x)tank x ektan2sec xe2ke得e1X丄21m.1-2 Hx24切线方程为y24(x1)即 y 4x 65、选（D）limx 02 2(xx) f (X) f2(x)x2f(x)f (x)6、选（E）f (x) f(

24、x)22f (x) f (x)2f3(x)f32(x)2f (x)2 3f (x) f (x)2 3f4(x)设 f(n)(x) n! fn 1(x)，则 f(n1)(x) (n 1)! f n(x) f (x) (n 1)! fn 2(x)f(n)(x) n!fn1(x)7、选(C) lim f(Xo 2 x) f(X0) Iim2 f(Xo 2 x) f(xo) 2f(xo)x 0xx 02 x又 f (x) (x2) 2x,2f(x。)4x。8、 选(C)f(x)在X。处可导的充分必要条件是 f (x)在X。点的左导数f(X。)和右导数f(x0)都存在且相等。f (X) (X1)( X2

25、)(x 99)x(x2) (x 99) x(x 1)( x 3) (x 99)x(x 1)(x2)(x98)f (0) (01)(02)(0 99)(1)9999!99!另解：由定义，f (x)f (0)冋(Xf(0)0lim (x 1)(x 2) (x 99)x 099(1)99!99!选(E)f(x2)f ( x2)(x2)2f ( x2)dy2xf(x2)dx由导数定义知f(0) lim0-0f(x) f(0)X0 ,再由极限的保号性知0,当x(,)时 f(x) f()0 ,X从而当X (,0)(x(0,)时，f(x)f(0)0(0)，因此C成立，应选Co选(D)10、11、9、lim

26、f(x) lim x2sin10, lim f (x) lim (ax b)b，所以b 0 ox 0x 0Xx 0x 02 . 1又 f (0) lim f (x)f(0)lim -x sinXlim f(x) f(0) aX0, f (0)x 0X0x 0Xx 0x 0x所以a 0。应选C o12、由函数f(x)在x 0处可导，知函数在 x 0处连续a,三、计算解答1、计算下列各题(1)dyxd(sin2$x1sin111j x 2sin cos (2)dxx12 sin2 22 sin exdxxx(2)dydx3t2Tt3td2ydx29t2yt9tdx21(3)两边对x求导:(4)c

27、32y y2y 3 (y1)(丄32y y1)sin xcosx!si n2x2cos2x sin (2x)2cos(2x2sin(2x 2 -)设 y(n)2n 1si n(2x2n cos(2x2ns in (2x (n1)i)(50)49y 2 sin(2x502)492 sin 2x(5)两边取对数:In yxlnln(1 x)两边求导:ln xln(1 x) 1y b(6)利用定义：x)xlnxln(1x) 1f (0) limx (i f(x)0 xf(0)00(X1)(x2)(x 3) (x 2005)2005! f (x)(x) (x a)(x)又 f (a)x)Xf maHx

28、f (a)(a)X叫上罟(x)(a)(a) 2 (a)注：因(x)在X a处是否二阶可导不知，故只能用定义求。 (8) lim f (cos、x 1)x 1 dxlim f (cos . x 1)(x 1sin . x 1)1lim f (cos、x 1) limx 1x 1sin , x 12x 1f (1)2、易知当x 0时，f(x)均可导，要使f (x)在x0处可导则 f (0)f (0)，且 f (x)在 x0处连续。即lim f (x)x 0lim f(x)x 0f(0)lim f (x) ba 2而x 0ab 20limf(x)0x 0又flim -f(x) f(0)(1sin x

29、)a 2 b a 2,x 0limbx 0x 0xax e1 b a 2eax 1axf(0) lim limlim ax0xx 0xX 0 x由aba 1a b2 0b 13、证明：设交点坐标为 (x0, y0)，则x02y0a x0 y0b对x22 ya两边求导：2x 2y y 0 yx y曲线2 xya在(X0，y0)处切线斜率K y|x x0X0y。又由xy.bbb yyxx曲线xyb在(x, y)处切线斜率k2y |x xb22x又kh( 2)y。xo1So两切线相互垂直。4、设t分钟后气球上升了x米，贝Utan两边对t求导：seC2ddt1500dx dtx500140750025

30、ddt72cos 25500 m时,5、证明:moHhX500 m时,moH hXh fX71dt 25 2X750（弧度/分）moH hh叫 f(x)f(h) f(0)h6、解：由于y 3x2 6x，于是所求切线斜率为k1 3x6x |x 13,从而所求切线方程为y 33( x1),即3x y 60又法线斜率为k2丄k13所以所求法线方程为y 31(x1)，即3y x 8031、2、3、4、5、6、7、9、填空题xmxln x函数函数曲线函数曲线10xe第三单元微分中值定理与导数应用2x cosx在区间4 8x3 3x4的极大值是6x2 3x在区间单调增。是凸的。cosx在x 0处的2m 1

31、阶泰勒多项式是3x的拐点坐标是在含x0的a, ba,b上的最大值。y x3 2x 1 在lim cot x(x 0丄)sin x x1)xta n x(其中a b )内恒有二阶负的导数，且内有个零点。11、曲线y的上凸区间是12、函数yexx 1的单调增区间是二、单项选择1、函数f(x)有连续二阶导数且f(0) 0, f (0)1, f (0)2,则 0f(x) xx2(A)不存在;(B) 0;(C) -1;2、设 f (x) (x 1)(2x1), x (),则在(D) -2。1(,1)内曲线2f(x)(A)单调增凹的;(C)单调增凸的;(B)单调减凹的；(D)单调减凸的。3、f (x)在(

32、a,b)内连续，x0(a,b), f (x0)f (x0) 0，则 f (x)在 xx处(A)取得极大值;(E)取得极小值;(C) 一定有拐点(X0,f(X。);(D)可能取得极值，也可能有拐点。4、设f (x)在a,b上连续，在(a, b)内可导，则I：在(a,b)内f (x) 0与n：在(a,b)上f (x) f (a)之间关系是()(a)i是n的充分但非必要条件;(e)i是n的必要但非充分条件;(c)i是n的充分必要条件;(d)i不是n的充分条件，也不是必要条件。5、设f(x)、g(x)在a,b连续可导,f(x)g(x) 0，且 f (x)g(x) f (x)g (x)，则7、已知f (

33、x)在x 0的某个邻域内连续，且f (0)0 , limf(x)cosx2 ,则在点x当a x b时，则有()(A) f(x)g(x) f(a)g(a)；(B)f (x)g(x) f (b)g(b)；(C) f(x)f(a) (D)g(x) g(a)og(x) g(a)f(x) f(a)6、方程x 3x 10在区间(,)内()(A)无实根；(B)有唯一实根；(C)有两个实根；(D)有二个实根。处 f (x)()(A) 不可导；(B)可导，且f(0)0 ；(C)取得极大值；(D)取得极小值。8、设f(x)有二阶连续导数，且 f(0) 0 , lim上血 1，则()x 0 |x|(A) f(0)是

34、f(x)的极大值；(B) f(0)是f(x)的极小值；(C) (0, f (0)是曲线y f (x)的拐点；(D) f (0)不是f(x)的极值点。9、设a,b为方程f (x)0的二根,f (x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，则f(x)在(a,b)内( )(A)只有一实根；(B)至少有一实根;(C没有实根；(D至少有2个实根。10、在区间1,1上满足罗尔定理条件的函数是()(A f(x)2 ；( B) f(x) |x| ；x2 2(C) f(x) 1 x ；( D) f (x) x 2x1。11、函数f (x)在区间(a,b)内可导,则在(a, b)内f(x)0是函数f (x)在(a,b

35、)内单调(B)(C)充分但非必要条件; 无关条件。增加的()(A)必要但非充分条件;(C) 充分必要条件；12、设yf (x)是满足微分方程II yy esinx 0 的解，且 f(x0)0,则 f(x)在()(A) xo的某个邻域单调增加;(B) xo的某个邻域单调减少;(C) X。处取得极小值;(D)Xo处取得极大值。三、计算解答1、计算下列极限(1)厂 Jarccosx limx 1ln cot x limx 0 ln xx sin x e e lim 厂 x 0 x ln(1 x)lim - &ln(1x 0 x x2x)；x arctan x lim 3 x 0ln tan(ax)

36、limx 0 ln tan(bx)2、证明以下不等式(1)、设 ba e，证明ba。(2)、当 0x ?时，有不等式tanx2sinx3x。3、已知yx3sin x,利用泰勒公式求y(6)(0)。4、试确定常数a与n的一组数，使得当x 0 时，axn 与 ln(1 x3)x3为等价无穷小。5、设f (x)在a, b上可导，试证存在(ab)，使b3b a f (a) f (b)23f()6、作半径为r的球的外切正圆锥，问此圆锥的高为何值时，其体积 积最小值。7、若f(x)在0,1上有三阶导数，且f(0)f(1)0,设F(x)V最小，并求出该体x3f (x)，试证：在(0,1)内至少存在一个，使F

37、( ) 0。高等数学单元测试及详细解答7、x第26页1、2、3、4、5、6、填空题第三单元 微分中值定理与导数应用测试题详细解答0 lim xln x x 0f (x) 220f (x)令 f(x) 0当x 2时,lim x 01xsin x 024x2 12x3xi0, x22f (x)0 ；当极大值为 f(2)20(1,1) y 4x3 12x 3，当x 1时，y 0 当x曲线在(1,1)上是凸的1 !x2 丄 X42!4!(1)mlim( x) 0x 0f(x)在()上单调增12x2(x 2)2 时，f (x)212x2121,1)时，y1 2m X (2m)!12(x1)(x1)0 ；

38、当x (1,)时，y 0/2 223x3x 3x(S孑)y。 3Xe e (1 3X)，y3e 3x(13x)3e3x e 3x(9x 6) 9e令y220X当X时，y 0 ；当x3，3而当X2时，y2 2 e拐点为(一，e 2)333 3f (x)05f(X。)lim f (X) f (X0)当x X。时,x x0x x03X/2(X 32时y3f (x)0, f (x)单调增加；当xlimMx冷x3 0X X0X。时，f (x)0, f(x)单调减少高等数学单元测试及详细解答第29页8、1y 3x2 2 0,)上单调增加9、10、11、12、又 lim yxlim yx)内有i个零点。原式

39、cosx(x limx 0sin x)xsin2 x原式=Hmtax 0 x ta n xlimx 0lim cosxlim -six lim x 0x 0x3xtan x x2sec x 1 lim2x 0 3x1 cosx0 3x221 tan x lim l 3x 0 x:弓 y 2xex2,y2 22 . 2x (亍3)时，y0，上凸，(0,)且 yex二、选择题1、选(C)2、选(E)2x22x) e 令 y其它区间y函数y ex x 1的定义区间为(1，因为在(0,)内y 0，所以函数f (x) xlim2x 0 x1IX (，1)时,2lim 竺LJx 0 2xlimx 020，

40、上凹，故应填入()，在定义区间内连续、可导,(x)f (x)0,又 f (x) 4x 1f (x)在(丄,1)上单调减且为凹的。23、选(D) f(x) x3，则 f(0) f (0)0 , x 0 是 f (x)则f (0) f (0)0,而x 0是f (x) x4的极值点。4、选(C)由f(x)在(a,b)内f (x)0的充分必要条件是在x 1在(0,)上单调增加。4(x 丄)0 x4x3的拐点；设f (x)(a,b)内 f (x) C(?1)(C为常数)，又因为f(x)在a,b内连续，所以C f (a)，即在(a,b)上f (x) f (a)。5、选(C)由 f(x)g(x) f(x)g

41、 (x) f (x)g(x) f (x)g (x)0器0鵲单调减少，x佝b)f (X) f(a)g(x) f(b) .6、选(D) 令 f (x) x3 3x 1，则 f (x) 3x2 3 3(x 1)(x 1);当x1 时，f(x) 0,f (x)单调增加，当x(1,1)时，f (X)0 , f (x)单调减少当x(1,)时，f(x)0 , f(x)单调增加而f(1)3 , f (1)1limxf (x), limXf(x)f (x)在(，1)上有一实根，在1,1上有一实根，在(1,)上有一实根。7、选(D)利用极限的保号性可以判定f (x)的正负号：lim f(x) 20o (在x 0的

42、某空心邻域)；X 0 1 COSX1 COSX由1 cosx 0,有f(x) 0 f (0)，即f (x)在x 0取极小值。8、 选(E)由极限的保号性：lim 匚血 10 匚 0 (在x 0的某空心邻域)；由此f(x)0 (在x 0 |x|x|x 0的某空心邻域)，f(x)单调增，又由f(0)0 ,f(x)在x 0由负变正，由极值第一充分条件，x 0是f (x)的极小点。9、 选(B)由罗尔定理保证至少存在一点(a,b)使f( ) 0。10、 选(C) , A选项f (x)在x 0不连续，B选项f (x)在x 0处不可导，D选项f(1) f( 1)。11、 选(B)，如y x3在(，)单增，

43、但f(0) 0,故非必要条件。高等数学单元测试及详细解答12、选(c),由 f(xo) 0有 y”(x) esinx0y(xo)esinx00，所以 f (x)在 X0处取得极小值。三、计算解答1、计算极限(1)解:厂 Jarccosx lim x 2、x 1 lim上血Lx 11第31页xlim11 12 arccosx 1 x2lim =17 rx 1 . arccosx 1 x(2) 解:ln cotx lim x 0 ln x2 、(csc x) lim Qix 01x sin x 恻cos?亦1。3)(4)解:xim0x(5)解:x sin xsin x x sin xe ee (e

44、 1)2lim7x2ln(1x) x 0 x37ln(1x)limxsin xx3moH XCOSX 13x26ln(12xx)2xlimx 0012(1 x)arcta nx3x1 lim -x 01 X23x2xm2X3x2(1x2)lim皿凶x 0 In tan(bx)(6) 解:I2/ 、sec (ax) a2lim tan(bx) sec (ax) ax 0 tan(ax) sec2 (bx) blimx 0bx sec2 (ax) a ax sec2 (bx) b2、(1)证明：abbablna alnb高等数学单元测试及详细解答第35页令 f(x) xlna aln x，则 f(x)在a, b上连续f (x)aln a0 x a, bxf(x)在a,b上单调增加，f(b) f (a)得 blna aln