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1、2017届北京市高三入学定位考试数学理试题 数学（理科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A BC D2.下列函数中，既是偶函数又在区间（0,1）上为增函数的是（ ）A B C D3.在中，若，则（ ）A B C或-1 D或04.圆与直线的位置关系是（ ）A相离 B相交或相切C相交 D相交，相切或相离5.已知实数，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件6.等差数列中，如果，那么的最大值为（ ）A2 B4 C8 D167.已知双曲线的一条渐
2、近线过点，则此双曲线的一个焦点坐标是（ ）A B（2,0） C D8.已知奇函数，当时，.给处下列命题：； 对，；，使得； ，使得.其中所有正确命题的个数是（ ）A0 B1 C2 D3第卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每题5分，满分30分，将答案填在题中横线上.9.在复平面内，复数对应的点到坐标原点的距离为_.10.某三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是正方形，则该三棱锥最长棱的长是_.11.在中，那么_.12.已知实数满足若当，时，取得最小值，则的取值范围是_.13.已知关于的方程有2个不相等的实数根，则的取值范围是_.14.小明在学校组织了一次访谈，全体受访者中，有6人是学生，
3、4人是初中生，2人是教师；5人是乒乓球爱好者，2人是篮球爱好者.根据以上信息可推知，此次访谈中受访者最少有_人；最多有_人.三、解答题 ：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数.（）求函数的单调递减区间；（）求函数在区间上的最大值及最小值.16. （本小题满分13分）已知数列满足，且，设.（）求数列的通项公式；（）求数列的前项和.17. （本小题满分13分）已知函数.（）当时，求证：函数的图像关于点对称；（）当时，求的单调区间.18. （本小题满分14分）已知直角梯形中，如图1所示，将沿折起到的位置，如图2所示.（）当平面平面时，
4、求三棱锥的体积；（）在图2中，为的中点，若线段，且平面，求线段的长；（）求证：.19. （本小题满分13分）已知椭圆.（）若，求椭圆的离心率及短轴长；（）如存在过点，且与椭圆交于两点的直线，使得以线段为直径的圆恰好通过坐标原点，求的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数.（）若曲线在点处的切线经过点（0,1），求实数的值；（）求证：当时，函数至多有一个极值点；（）是否存在实数，使得函数在定义域上的极小值大于极大值？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.北京市2016-2017学年高三年级入学定位考试数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.
5、1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 10. 11.27 12. 13. 14.8,15三、解答题:本大题共6小题，共80分.15.（本小题满分13分）解：（） （）由得，所以.所以当时，取得最小值；当时，取得最大值1.13分16. （本小题满分13分）解：（）因为，所以是等比数列，所以.因为，所以.6分（）因为，所以当时，.当时，.所以13分17. （本小题满分13分）（）证明：当时，.将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像.因为对任意，且，所以函数是奇函数.所以函数的图像关于原点对称.所以函数的图像关于点对称.7分（）解
6、：由，得当时，.所以的递减区间是.当时，及随的变化情况如下表：所以的单调递增区间是，单调递减区间是，.当时，及随的变化情况如下表：所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，.13分18. （本小题满分14分）（1）解：当平面平面时，因为，且平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以.因为在直角梯形中，所以，.所以.又因为，所以，所以.所以.所以三棱锥的体积等于.4分（）解：取的中点，连接，如右图所示.又因为为的中点，所以，且.又因为，所以.所以，共面.因为平面，平面，且平面平面，所以.又因为，所以四边形是平行四边形.所以.10分（）证明：在图1中连接，交于.因为，所以，所以.因为，所以.所以.所
7、以将沿折起到的位置后，仍有，如图2所示.又因为，所以平面.又因为平面，所以.14分19. （本小题满分14分）解：（）因为，所以，.所以，.所以椭圆的离心率为，短轴长为.3分（）当直线的斜率存在时，由题意可设直线的方程为，由得.所以，.因为以线段为直径的圆恰好过原点，所以.所以，即.所以.即.由，所以.当直线的斜率不存在时，因为以线段为直径的圆恰好通过坐标原点，所以.所以，即.综上所述，的取值范围是.13分20. （本小题满分14分）（）解：由，得.所以，.所以由得.3分（）证明：当时，当时，函数在上单调递增，无极值；当时，令，则.由得，则当，即时，在上单调递减，所以在上至多有一个零点，即在上
8、至多有一个零点.所以函数在上至多有一个极值点.当，即时，及随的变化情况如下表：因为，所以在上至多有一个零点，即在上至多有一个零点.所以函数在上至多有一个极值点.综上，当时，函数在定义域上至多有一个极值点.8分（）存在实数，使得函数在定义域上的极小值大于极大值. 的取值范围是.由（）可知当时，函数至多有一个极值点，不可能同时存在极大值与极小值.当时，无极值；当时，及随的变化情况如下表：下面研究在上的极值情况：因为，所以存在实数，使得，且时，即，在上递减；时，在上递增；所以在上的极小值为，无极大值.下面考查在上的极值情况：当时，；当时，令，则，令，因为在上递减，所以，即.综上，因为，所以存在实数，且时，即，在上递减；时，在上递增；所以在上的极大值为，无极小值.又因为，且，所以，所以，当且仅当时，函数在定义域上的极小值大于极大值.14分
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