2017届湖南省衡阳八中实验班高考数学二模试卷（文科）（解析版）

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1、2017年湖南省衡阳八中实验班高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1集合A=1，x，y，B=1，x2，2y，若A=B，则实数x的取值集合为（）AB， C0， D0， 2复数的共轭复数是（）A1+iB1iC2iD2i3平面内已知向量，若向量与方向相反，且，则向量=（）A（2，4）B（4，2）C（4，2）D（2，4）4已知角的终边上有一点P（1，3），则的值为（）ABCD45设数列an的前n项和为Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，且a2=2，则a7=（）A16B32C64D1286已知0a1，x=loga+loga，y=loga5，z=logaloga

2、，则（）AxyzBzyxCyxzDzxy7已知正实数a，b满足a+b=3，则的最小值为（）A1BCD28已知三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，且侧棱AA1平面ABC，若AB=AC=3，BAC=8，则球的表面积为（）A36B64C100D1049已知a2，函数f（x）=，若f（x）有两个零点分别为x1，x2，则（）Aa2，1x1+x22Ba2，x1+x2=1Ca2，|x1x2|=2Da2，|x1x2|=310已知双曲线C1：=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线C1的一条渐近线上，且OMMF2，若OMF2的面积为16，且双曲线C1与双曲线C2：=1的离心率相同

3、，则双曲线C1的实轴长为（）A32B16C8D411已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（）A cm3B2cm3C3cm3D9cm312已知函数f（x）=ax36x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是（）A（，4）B（4，+）C（，4）D（4，+）二.填空题（每题5分，共20分）13袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色不全相同的概率是 14若x，y满足，则z=2xy的最大值为 15将函数f（x）=sinx（其中0）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点（，0），则的最小值是 16椭圆C： +=1（ab0

4、）的右顶点为A，P是椭圆C上一点，O为坐标原点已知POA=60，且OPAP，则椭圆C的离心率为 三.解答题（共8题，共70分）17设数列an的前n项和为Sn，点（n，）（nN+）均在函数y=3x+2的图象上（1）求证：数列an为等差数列；（2）设Tn是数列的前n项和，求使对所有nN+都成立的最小正整数m18某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”若小区内有至少75%的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区”已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小

5、区，两个低碳小区（）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；（）假定选择的“非低碳小区”为小区A，调查显示其“低碳族”的比例为，数据如图1所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区A是否达到“低碳小区”的标准？19如图，在四边形ABCD中，A=90，AB=AD=2，CB=CD=3，将ABD沿BD折起，得到三棱锥ABDC，O为BD的中点，M为OC的中点，点N在线段AB上，满足（）证明：MN平面ACD；（）若AC=3，求点B到平面ACD的距离20已知点P在椭圆C： +=1（ab0）上，以P为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F2，且=2，tanOPF2

6、=，其中O为坐标原点（1）求椭圆C的方程；（2）已知点M（1，0），设Q是椭圆C上的一点，过Q、M两点的直线l交y轴于点N，若=2，求直线l的方程；（3）作直线l1与椭圆D： +=1交于不同的两点S，T，其中S点的坐标为（2，0），若点G（0，t）是线段ST垂直平分线上一点，且满足=4，求实数t的值21已知函数f（x）=lnxa（x1），g（x）=ex（1）求当a=1时，函数f（x）的单调区间；（2）过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1、l2，已知两切线的斜率互为倒数，证明：a=0或a选做题（共2小题，满分10分）22已知直线l：（t为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴

7、建立极坐标系，曲线C的坐标方程为=2cos（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|MB|的值23已知函数f（x）=|2xa|+|2x+3|，g（x）=|x1|+2（1）解不等式g（x）|x2|+2；（2）若对任意x1R都有x2R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围2017年湖南省衡阳八中实验班高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1集合A=1，x，y，B=1，x2，2y，若A=B，则实数x的取值集合为（）AB， C0， D0， 【考点】19：集合的相等

8、【分析】根据集合的相等，得到关于x，y的方程组，解出即可【解答】解：集合A=1，x，y，B=1，x2，2y，若A=B，则，解得；x=1或0，y=0，显然不成立，或，解得：x=，故实数x的取值集合为，故选：A2复数的共轭复数是（）A1+iB1iC2iD2i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案【解答】解： =，则复数的共轭复数是：2i故选：D3平面内已知向量，若向量与方向相反，且，则向量=（）A（2，4）B（4，2）C（4，2）D（2，4）【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】利用向量共线且方向相反设=x，x0，结合长度关系进行求解即可【解答

9、】解：向量与方向相反，=x，x0，=|x|=|x|，则|x|=2，x=2，即=x=2=2（2，1）=（4，2），故选：B4已知角的终边上有一点P（1，3），则的值为（）ABCD4【考点】GO：运用诱导公式化简求值；G9：任意角的三角函数的定义【分析】由题意可得tan=3，再根据诱导公式及同角三角函数的基本关系的应用化简后代入即可求值【解答】解：点P（1，3）在终边上，tan=3，=故选：A5设数列an的前n项和为Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，且a2=2，则a7=（）A16B32C64D128【考点】85：等差数列的前n项和【分析】由题意得Sn+2+Sn+1=2Sn，得an+2=2

10、an+1，从而得到an从第二项起是公比为2的等比数列，由此能求出结果【解答】解：数列an的前n项和为Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，且a2=2，由题意得Sn+2+Sn+1=2Sn，得an+2+an+1+an+1=0，即an+2=2an+1，an从第二项起是公比为2的等比数列，故选：C6已知0a1，x=loga+loga，y=loga5，z=logaloga，则（）AxyzBzyxCyxzDzxy【考点】4M：对数值大小的比较【分析】先化简x、y、z然后利用对数函数的单调性，比较大小即可【解答】解：x=loga+loga=loga，y=loga5=loga，z=logaloga=lo

11、ga，0a1，又，logalogaloga，即yxz故选 C7已知正实数a，b满足a+b=3，则的最小值为（）A1BCD2【考点】7F：基本不等式【分析】由已知可得，代入，然后利用基本不等式求最值【解答】解：a+b=3，=当且仅当，即a=，b=时等号成立故选：C8已知三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，且侧棱AA1平面ABC，若AB=AC=3，BAC=8，则球的表面积为（）A36B64C100D104【考点】LG：球的体积和表面积【分析】求出BC，可得ABC外接圆的半径，从而可求该三棱柱的外接球的半径，即可求出三棱柱的外接球表面积【解答】解：AB=AC=3，BAC=120，BC

12、=3，三角形ABC的外接圆直径2r=6，r=3，AA1平面ABC，AA1=8，该三棱柱的外接球的半径R=5，该三棱柱的外接球的表面积为S=4R2=452=100故选C9已知a2，函数f（x）=，若f（x）有两个零点分别为x1，x2，则（）Aa2，1x1+x22Ba2，x1+x2=1Ca2，|x1x2|=2Da2，|x1x2|=3【考点】54：根的存在性及根的个数判断；5B：分段函数的应用【分析】判断f（x）的单调性，求出x1的值和x2的范围，得出答案【解答】解：a2，f（x）在（，0上单调递增，在（0，+）上单调递增，f（x）在（，0）和（0，+）上各有1个零点，不妨设x10x2，f（2）=l

13、og22+23=0，x1=2，f（1）=1a+3=2a0，f（0）=2，1x20，1x1+x22，2x1x23，故选A10已知双曲线C1：=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线C1的一条渐近线上，且OMMF2，若OMF2的面积为16，且双曲线C1与双曲线C2：=1的离心率相同，则双曲线C1的实轴长为（）A32B16C8D4【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】由双曲线C1的一条渐近线为y=x，利用点到直线的距离公式可知：丨F2M丨=b，丨OM丨=a，OMF2的面积S=丨F2M丨丨OM丨=16，则ab=32，双曲线C2的离心率e=，即可求得a和b的值，双曲线C1的实轴长2a=1

14、6【解答】解：由双曲线C1：=1（ab0）的一条渐近线为y=x，OMMF2，F2（c，0），丨F2M丨=b，丨OF2丨=c，丨OM丨=aOMF2的面积S=丨F2M丨丨OM丨=ab=16，则ab=32，双曲线C2：=1的离心率e=，e=，解得：a=8，b=4，双曲线C1的实轴长2a=16，故选B11已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（）A cm3B2cm3C3cm3D9cm3【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】该三棱锥高为3，底面为直角三角形【解答】解：由三视图可知，该三棱锥的底面为直角三角形，两个侧面和底面两两垂直，V=313=故选A12已知函数f（x）=

15、ax36x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是（）A（，4）B（4，+）C（，4）D（4，+）【考点】52：函数零点的判定定理【分析】分类讨论：当a0时，容易判断出不符合题意；当a0时，求出函数的导数，利用导数和极值之间的关系转化为求极小值f（）0，解出即可【解答】解：当a=0时，f（x）=12x2+1=0，解得x=，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a0时，令f（x）=3ax212x=3ax（x）=0，解得x=0或x=0，列表如下： x （，0） 0（0，） （，+） f（x）+ 0 0+ f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增x，f（

16、x），而f（0）=10，存在x0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x00，应舍去当a0时，f（x）=3ax212x=3ax（x）=0，解得x=0或x=0，列表如下： x （，）（，0）0（0，+） f（x） 0+ 0 f（x） 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减而f（0）=10，x+时，f（x），存在x00，使得f（x0）=0，f（x）存在唯一的零点x0，且x00，极小值f（）=a（）36（）2+10，化为a232，a0，a4综上可知：a的取值范围是（，4）故选：C二.填空题（每题5分，共20分）13袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三

17、次，球的颜色不全相同的概率是【考点】CB：古典概型及其概率计算公式【分析】用1减去3只球颜色全相同的概率，即为3只球颜色不全相同的概率【解答】解：所有的取法共计有33=27种，而颜色全相同的取法只有3种（都是红球、都是黄球、都是白球），用1减去3只球颜色全相同的概率，即为3只球颜色不全相同的概率，故3只球颜色不全相同的概率为1=故答案为：14若x，y满足，则z=2xy的最大值为4【考点】7C：简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，A（2，0）化目标

18、函数z=2xy为y=2xz，由图可知，当直线y=2xz过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为4故答案为：415将函数f（x）=sinx（其中0）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点（，0），则的最小值是2【考点】HJ：函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】首先利用三角函数的图象平移得到y=sin（x），代入点（，0）后得到sin=0，由此可得的最小值【解答】解：将函数y=sinx（其中0）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为y=sin（x）再由所得图象经过点（，0），可得sin（）=sin=0，=k，kz故的最小值是2故答案为：216椭圆C： +=1（ab0）的右顶点为

19、A，P是椭圆C上一点，O为坐标原点已知POA=60，且OPAP，则椭圆C的离心率为【考点】K4：椭圆的简单性质【分析】由题意得|OP|=|OA|cos60=，从而P（），代入椭圆方程得a=，由此能求出离心率【解答】解：椭圆C： +=1（ab0）的右顶点为A，P是椭圆C上一点，O为坐标原点POA=60，且OPAP，由题意得|OP|=|OA|cos60=，由题意得P（），代入椭圆方程得：，a2=5b2=5（a2c2），a=，离心率e=故答案为：三.解答题（共8题，共70分）17设数列an的前n项和为Sn，点（n，）（nN+）均在函数y=3x+2的图象上（1）求证：数列an为等差数列；（2）设Tn是

20、数列的前n项和，求使对所有nN+都成立的最小正整数m【考点】8I：数列与函数的综合；8E：数列的求和【分析】（1）利用点在直线上，推出Sn=3n22n，通过an=SnSn1，求出an=6n5（nN+）利用等差数列的定义判断an是一个以1为首项，6为公差的等差数列（2）化简数列的通项公式， =（），然后求和，利用不等式，求解即可【解答】（本小题满分12分）解：（1）依题意， =3n2，即Sn=3n22n，n2时，an=SnSn1=（3n22n）3（n1）22（n1）=6n5当n=1时，a1=S1=1符合上式，所以an=6n5（nN+）又anan1=6n56（n1）5=6，an是一个以1为首项，6

21、为公差的等差数列（2）由（1）知，=（），故Tn= （1）+（）+（）=（1），因此使得（1）（nN+）成立的m必须且仅需满足，即m10，故满足要求的最小正整数m为1018某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”若小区内有至少75%的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区”已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区（）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；（）假定选择的“非低碳小区”为小区A，调查显示其“低碳族”的比例为，

22、数据如图1所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区A是否达到“低碳小区”的标准？【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图；BD：用样本的频率分布估计总体分布【分析】（I）从5个小区中任选两个小区，列出所有可能的结果，然后找出选出的两个小区恰有一个为非低碳小区的基本事件，根据古典概型的概率公式解之即可；（II）根据图1可知月碳排放量不超过300千克的成为“低碳族”，由图2可求出三个月后的低碳族的比例，从而可判定三个月后小区A是否达到了“低碳小区”标准【解答】解：（）设三个“非低碳小区”为A，B，C，两个“低碳小区”为m，n

23、，用（x，y）表示选定的两个小区，x，yA，B，C，m，n，则从5个小区中任选两个小区，所有可能的结果有10个，它们是（A，B），（A，C），（A，m），（A，n），（B，C），（B，m），（B，n），（C，m），（C，n），（m，n）用D表示：“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件，则D中的结果有6个，它们是：（A，m），（A，n），（B，m），（B，n），（C，m），（C，n）故所求概率为（II）由图1可知月碳排放量不超过300千克的成为“低碳族”由图2可知，三个月后的低碳族的比例为0.07+0.23+0.46=0.760.75，所以三个月后小区A达到了“低碳小区”标准19如图，在

24、四边形ABCD中，A=90，AB=AD=2，CB=CD=3，将ABD沿BD折起，得到三棱锥ABDC，O为BD的中点，M为OC的中点，点N在线段AB上，满足（）证明：MN平面ACD；（）若AC=3，求点B到平面ACD的距离【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LS：直线与平面平行的判定【分析】（）过点N作BD的平行线，交直线AD于点E，证明：四边形MNEF为平行四边形，可得MNEF，即可证明MN平面ACD；（）若AC=3，利用等体积方法，即可求点B到平面ACD的距离【解答】（）证明：过点N作BD的平行线，交直线AD于点E，过点M作BD的平行线，交直线CD于点F，因为NEBD，MFBD，所以NEM

25、F，且，所以四边形MNEF为平行四边形，所以MNEF，且EF平面ACD，MN平面ACD，所以MN平面ACD（）解：因为AC=3，所以AOOC，且AOBD，OCBD=O，所以AO平面BCD由：VBACD=VABCD，所求点B到平面ACD的距离20已知点P在椭圆C： +=1（ab0）上，以P为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F2，且=2，tanOPF2=，其中O为坐标原点（1）求椭圆C的方程；（2）已知点M（1，0），设Q是椭圆C上的一点，过Q、M两点的直线l交y轴于点N，若=2，求直线l的方程；（3）作直线l1与椭圆D： +=1交于不同的两点S，T，其中S点的坐标为（2，0），若点G（0，t）是

26、线段ST垂直平分线上一点，且满足=4，求实数t的值【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程【分析】（1）由题意根据向量数量积坐标运算，即可求得c的值及P点坐标，代入椭圆方程，即可求得椭圆方程；（2）设直线方程，根据向量数列的坐标运算，即可求得k的值；（3）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，求得线段ST的中点坐标，分类讨论，当k=0时，即可求得求得t的值，当k0时，根据向量的坐标运算，即可取得t的值【解答】解：（1）由题意知，在OPF2中，PF2OF2，由tanOPF2=，得：cosPOF2=，设r为圆P的半径，c为椭圆的半焦距，=2，丨丨丨丨cosP

27、OF2=2， c=2，又，tanOPF2=，解得：c=，r=1，点P的坐标为（，1），点P在椭圆C： +=1（ab0）上，又a2b2=c2=2，解得：a2=4，b2=2，椭圆C的方程为；（2）由（1）知椭圆C的方程为，由题意知直线l的斜率存在，故设其斜率为k，则其方程为y=k（x+1），N（0，k），设Q（x1，y1），=2，（x1，y1k）=2（1x1，y1），x1=，y1=，又Q是椭圆C上的一点，解得k=4，直线l的方程为4xy+4=0或4x+y+4=0（3）由题意知椭圆D：，由S（2，0），设T（x1，y1），根据题意可知直线l1的斜率存在，设直线斜率为k，则直线l1的方程为y=k（x+

28、2），把它代入椭圆D的方程，消去y，整理得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k24）=0，由韦达定理得2+x1=，则x1=，y1=k（x1+2）=，所以线段ST的中点坐标为（，），当k=0时，则有T（2，0），线段ST垂直平分线为y轴，=（2，t），=（2，t），由=4+t2=4，解得：t=2当k0时，则线段ST垂直平分线的方程为y=（x+），点G（0，t）是线段ST垂直平分线的一点，令x=0，得：t=，=（2，t），=（x1，y1t），由=2x1t（y1t）=4，解得：k=，代入t=，解得：t=，综上，满足条件的实数t的值为t=2或t=21已知函数f（x）=lnxa（x1），g（x）=

29、ex（1）求当a=1时，函数f（x）的单调区间；（2）过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1、l2，已知两切线的斜率互为倒数，证明：a=0或a【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）设出切线方程以及切点坐标，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（1）当a=1时，当x（0，1）时，f（x）0，当x（1，+）时，f（x）0，所以，函数f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+）（2）解法1 设切线l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），则， =，

30、所以x2=1，y2=e，于是，由题意知，切线l1的斜率为，l1的方程为设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，y1），则，所以ax1，又因为y1=lnx1a（x11），消去y1和a后，整理得令，则，m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增若x1（0，1），因为，所以，而在上单调递减，所以若x1（1，+），因为m（x）在（1，+）上单调递增，且m（e）=0，所以x1=e，所以=0综上可知：a=0或解法2 设切线l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），则， =，所以x2=1，y2=e，于是，由题意知，切线l1的斜率为，l1的方程为设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，y1），

31、则，所以又因为y1=lnx1a（x11），所以，所以，消去x1得eaae1=0令p（a）=eaae1，则p（a）=eae，p（a）在（，1）上递减，在（1，+）上递增当a（，1）时，因为p（0）=0，所以a=0当a（1，+）时，因为p（1）=10，p（2）=e22e10，所以1a2，而，所以，综上可知：a=0或选做题（共2小题，满分10分）22已知直线l：（t为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为=2cos（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|MB|的值【考点】QH：参数方程化成

32、普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程【分析】（1）曲线的极坐标方程即2=2cos，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；（2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论【解答】解：（1）=2cos，2=2cos，x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x1）2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（51）2+31=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|MB|=1823已知函数f（x）=|2xa|+|2x+3|，g（x）=|x1|+2（1）解不等式g（x）|x2|+2；（2）

33、若对任意x1R都有x2R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式【分析】（1）问题转化为|x1|x2|，然后求解不等式即可（2）利用条件说明y|y=f（x）y|y=g（x），通过函数的最值，列出不等式求解即可【解答】解：（1）由g（x）|x2|+2，得：|x1|x2|，两边平方得：x22x+1x24x+4，解得：x，故不等式的解集是x|x；（2）因为任意x1R，都有x2R，使得f（x1）=g（x2）成立，所以y|y=f（x）y|y=g（x），又f（x）=|2xa|+|2x+3|（2xa）（2x+3）|=|a+3|，g（x）=|x1|+22，所以|a+3|2，解得a1或a5，所以实数a的取值范围为a1或a52017年6月28日