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1、每日一题规范练(第五周)题目1 已知Sn为等比数列an的前n项和，公比q2，且S23，等差数列bn满足b2a3，b3b5.(1)求数列an的通项公式；(2)设Tn是数列bn的前n项和，求Tn的最大值解：(1)因为等比数列an满足公比q2，前2项和S23，所以S2a1a2a12a13，解得a11，所以ana1qn12n1.(2)由题及(1)知，b2a34.因为b3b50，所以b40，则数列bn的公差d20，故当n3或4时，Tn取得最大值，此时T3T4b1b2b33b212.题目2 已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A2sin Bsin C，bc4，a2.(1)求角A
2、的大小；(2)求ABC的周长解：(1)因为sin A2sin Bsin C，显然sin A0，所以sin2 A2sin Asin Bsin C.由正弦定理，得a22bcsin A.又因为bc4，a2，所以128sin A，解得sin A.又A，所以A.(2)由(1)知A，即cos A.由余弦定理，得cos A，所以b2c216.则(bc)2b2c22bc16824，所以bc2.故ABC的周长为abc22.题目3 (2019长沙雅礼中学检测)某公司为评估两套促销活动方案(方案1的运作费用为5元/件；方案2的运作费用为2元/件)，在某地区部分营销网点进行试点(每个试点网点只采用一种促销活动方案)，
3、运作一年后，对比该地区上一年度的销售情况，制作相应的等高条形图如图所示(1)请根据等高条形图提供的信息，为该公司今年选择一套较为有利的促销活动方案(不必说明理由)；(2)已知该公司产品的成本为10元/件(未包括促销活动运作费用)，为制定本年度该地区的产品销售价格，统计上一年度的8组售价xi(单元：元/件，整数)和销售yi(单位：件)(i1，2，8)如下表所示：售价3335373941434547销量840800740695640580525460请根据下列数据计算相应的相关指数R2，并根据计算结果，选择合适的回归模型进行拟合；根据所选回归模型，分析售价x定为多少时？利润z可以达到最大项目1 2
4、00ln x5 00027x1 700x21 20052 446.9513 142122.89124 650附：相关指数R21.解：(1)由等高条形图可知，年度平均销售额与方案1的运作相关性强于方案2.(2)由已知数据可知，回归模型1 200ln x5 000对应的相关指数R0.579 2；回归模型27x1 700对应的相关指数R0.894 6；回归模型x21 200对应的相关指数R0.999 0.因为RRR，所以采用回归模型x21 200进行拟合最为合适由(1)可知，采用方案1的运作效果比方案2好，故利润z(x15)，z(x30)(x40)，当x(0，40)时，z0，z(x15)单调递增；当
5、x(40，)时，z0，z(x15)单调递减，故当售价x40时，利润z达到最大题目4 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，对角线AC与BD交于点F，侧面SBC是边长为2的等边三角形，E为SB的中点(1)证明：SD平面AEC；(2)若侧面SBC底面ABCD，求点A到平面BSD的距离(1)证明：如图，连接EF，易知EF为BDS的中位线，所以EFDS.又SD平面AEC，EF平面AEC，所以SD平面AEC.(2)解：因为平面SBC底面ABCD，平面SBC平面ABCDBC，ABBC，所以AB平面BCS.在BSD中，BDDS2，BS2，所以SBSD.又因为VA-BSDVD-ABSVC-ABS
6、VA-BSCSBSCAB.设点A到平面BSD的距离为d，所以d.所以点A到平面BSD的距离为.题目5 已知函数f(x)kx(kR)(1)当k0时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若f(x)0恒成立，求实数k的取值范围解：(1)当k0时，f(x)，则f(x)，所以f(1)0，f(1)1，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为yx1.(2)若f(x)0对x(0，)恒成立，即k对x0恒成立设g(x)，可得g(x)，由g(x)0，可得x，当0x时，g(x)0，g(x)单调递增；当x时，g(x)0，g(x)单调递减因此g(x)在x处取得极大值，且最大值是g().所以实数
7、k的取值范围是.题目6 如图，椭圆E：1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，离心率e，且椭圆的长轴与短轴的长度之和为10.(1)求椭圆E的方程；(2)在椭圆E上任取点P(与点A、B不重合)，直线PA交y轴于点C，直线PB交y轴于点D，证明：为定值(1)解：由e，则1，所以3b2a.又2a2b10，即ab5.由联立，得a3，b2.因此椭圆E的方程为1.(2)证明：设P(x0，y0)，直线PA交y轴于点C(0，y1)，直线PB交y轴于点D(0，y2)，则1，即4.易知与同向，故y1y2.因为A(3，0)，B(3，0)，所以直线PA的方程为.令x0，则y1.直线PB的方程为，令x0，则y2.故y1y
8、24(定值)题目7 1.选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为(为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为2cos.(1)求圆C1的普通方程和圆C2的直角坐标方程；(2)判断圆C1与圆C2的位置关系解：(1)由圆C1的参数方程(为参数)，得圆C1的普通方程为x2(y2)24.由圆C2的极坐标方程2cos，可得22cos 2sin ，转换为圆C2的直角坐标方程为x2y22x2y，即(x1)2(y1)22.(2)由(1)知，圆C1的半径r12，圆心坐标为(0，2)，圆C2的半径r2，圆心坐标为(1，1)，所以圆心距d，所以r1r22，r1r22，所以圆C1与C2相交2选修45：不等式选讲已知函数f(x)|x2|x1|.(1)若关于x的不等式f(x)a有解，求实数a的取值范围；(2)解不等式f(x)x22x.解：(1)f(x)|x2|x1|故f(x)的值域为3，3，所以f(x)的最大值是3，若f(x)a成立有解，则有af(x)max，即a3，所以a的取值范围是(，3)(2)当x1时，x22x3，得x1；当1x2时，x22x2x1，得1x2；当x2时，x22x3，得x2.综上，不等式的解集为(，1)(1，)
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