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1、北京市2017届高三综合练习数学（理）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若，则角是 （A）第一或第二象限角 （B）第二或第三象限角（C）第三或第四象限角 （D）第二或第四象限角（2）已知命题：，则是（A）， （B），（C），（D），（3）直线（为参数）的倾斜角的大小为（A） （B） （C） （D）（4）若整数满足 则的最大值是（A） （B） （C） （D）（5）已知点是椭圆的两个焦点，点是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（A） （B） （C） （D）（6）为了得到函数的图象，可将函数的图象上所有的点的（A）纵坐标缩短到
2、原来的倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度 （B）纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度 （C）横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度 （D）横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度（7）某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是 （A） （B） （C） （D） （8）点是曲线上的一个动点，曲线在点处的切线与轴、轴分别交于两点，点是坐标原点. 给出三个命题：；的周长有最小值；曲线上存在两点，使得为等腰直角三角形其中真命题的个数是 （A） （B） （C） （D
3、）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.（9）在面积为1的正方形内部随机取一点，则的面积大于等于的概率是_ （10）已知. 若数列是一个单调递增数列，则的最大值是 . （11）在中，若，的面积为，则= . （12）如图，的直径与弦交于点，则_.（13）某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形和，点是边上的一个动点，设，则. 请你参考这些信息，推知函数的图象的对称轴是 ；函数的零点的个数是 . （14）曲线是平面内到定点的距离与到定直线的距离之和为3的动点的轨迹. 则曲线与轴交点的坐标是 ；又已知点（为常数），那么的最小值= . 三、解答题：
4、本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）已知公差不为的等差数列的前项和为，且成等比数列. （）求数列的通项公式； （）求数列的前项和公式. (16)（本小题满分14分）如图所示，平面，点C在以AB为直径的O上，点E为线段PB的中点，点M在上，且（）求证：平面平面PAC；（）求证：平面PAC平面；（）设二面角的大小为，求的值 (17)（本小题满分13分）某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A,B两个项目可供选择：(1)投资A项目一年后获得的利润X1(万元)的概率分布列如下表所示：X1111217Pa0.4b且X1的数学期望E(X1
5、)=12；(2)投资B项目一年后获得的利润X2(万元)与B项目产品价格的调整有关， B项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p(0 p 1)和1-p. 经专家测算评估:B项目产品价格一年内调整次数X(次)与X2的关系如下表所示： X(次)012X2(万元)4.1211.7620.40（）求a,b的值；（）求X2的分布列；（）若E(X1) E(X2)，则选择投资B项目，求此时 p的取值范围. (18)（本小题满分13分）已知椭圆:的右焦点为，且点在椭圆上.（）求椭圆的标准方程；（）已知动直线过点，且与椭圆交于，两点.试问轴上是
6、否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.(19)（本小题满分14分）已知函数.（）求的单调区间；（）若，求证：函数只有一个零点，且；（）当时，记函数的零点为，若对任意且都有成立，求实数的最大值.（本题可参考数据：） (20)（本小题满分13分）将一个正整数表示为的形式，其中，且，记所有这样的表示法的种数为（如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故）.（）写出的值，并说明理由；（）对任意正整数，比较与的大小，并给出证明；（）当正整数时，求证：参考答案及评分标准 一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号（1）（2）（3）（
7、4）（5）（6）（7）（8）答案DADBCA AC二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9） （10） （11） （12） （13）；2 （14）；注：（13）、（14）题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）解：（）设等差数列的公差为. 因为，所以. 3分因为成等比数列，所以. 5分由，可得：. 6分所以. 7分（）由可知：.9分所以. 11分所以.所以数列的前项和为. 13分 (16)（本小题满分14分）（）证明：因为点E为线段PB的中点，点为线段的中点， 所以 . 1分 因为 平面，
8、平面， 所以 平面PAC. 2分因为 ， 因为 平面，平面， 所以 平面PAC. 3分因为 平面，平面，所以 平面平面PAC. 5分 （）证明：因为 点C在以AB为直径的O上，所以 ，即. 因为 平面，平面，所以 . 7分因为 平面，平面， 所以 平面.因为 平面， 所以 平面PAC平面. 9分（）解：如图，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系因为 ，所以 ，.延长交于点.因为 ，所以 .所以 ，.所以 ，.设平面的法向量.因为 所以 即令，则.所以 . 12分同理可求平面的一个法向量n. 13分所以 .所以 . 14分(17)（本小题满分13分）解：（）由题意得：解得
9、：. 3分（）X2 的可能取值为.，.所以X2的分布列为:X24.1211.7620.40Pp (1-p)p2+(1-p)2p (1-p) 9分（）由（）可得：. 11分因为E(X1)0. 所以 . 13分所以 的最小值为.所以 使得恒成立的的最大值为.14分 (20)（本小题满分13分）（）解：因为3=3，3=1+2，3=1+1+1，所以因为5=5，5=2+3，5=1+4，5=1+1+3，5=1+2+2，5=1+1+1+2，5=1+1+1+1+1，所以 3分（）结论是.证明如下：由结论知，只需证因为，把的一个表示法中的去掉，就可得到一个的表示法；反之，在的一个表示法前面添加一个“1+”，就得到一个的表示法，即的表示法中的表示法种数等于的表示法种数，所以表示的是的表示法中的表示法数，是的表示法中的表示法数同样，把一个的的表示法中的加上1， 就可得到一个的的表示法，这样就构造了从的的表示法到的的表示法的一个对应.所以有9分（）由第（）问可知：当正整数时，.又 所以 . *对于*式，分别取为，将所得等式相加得.即 13分
北京市高三数学理综合练习57 Word版含答案
