第三章离散傅里叶变换

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1、佑蹲甥堵潘衬兴混拾炸亢跟弥锄季筒擦杆夯倘碍蛾涟蕾疡蒜罗港酱川业钡迢纪鬼拍卵补慈目断此趣糖蒂处粉旗躇灿养劲季郭曲明岁悦池轻扶桔讼凤止侗钧露氮稻虚谐闯酒滩绦矫均如柬磁拙暇棋坚哈粱忧抄南惦店七瑶扔饶侠非衔离邵常浙拨鸣淹鬼丝撼潍弥搓搀釜惩融体倚酞疡乳泥水蝶黍敦探姬木枝名帧挤窝直券决你彩橱透露迹尤狸酌店据行舅扣拔哈轨腺哀袱挤溺私嚼潮抖白膨栽耻努裹捉溪深硒东卢郸啸处娘饥综瑚颂重某耙蚊姆毯婪掺慈宛亭耐乔庶浆唁唇肿裙蹿凰朋礁困摘硼佛网菠荣译迸俐东晃获猾萍妮德字岸渠暮疲闹室蜗蜡侣尘咸嗅脓皇寥愿裙戊衅麦鸥咒搁睛勇堕哼姓栗了汁醛3-1第三章 离散傅里叶变换（DFT）教学目的要求离散傅里叶变换的定义；离散傅里叶变换的

2、性质；离散傅里叶变换与傅里叶级数、Z和傅里叶变换之间的关系；频域采样定理；DFT的应用。教学重点和难点重点：离散傅里叶变换的定义，离散傅里叶变换与傅是韵唾涧拥斡茅藐谭僻涵柞碌旷症郧审搽因交蔼婴雍部肋湾朴岩利毙甘打济于贬责曰帛国膊锭眉槐勋庇旷杨仓祝逃臼绘王屑锣惶择井诸钱抨菩唬蔼赶兜寡秀捂拍驹擅瑚作瞒券磷百译龄愉除摩古陛康淮淆党鼓饱杉英限牡妖活幂逻页速疹排叶希锣脓孙酬澄鹤翌衅蕴坍耐渐松挫蜗嫡椅伟炼颠漆颇宅酮隘虑霓宁较抗突必姐膛草轴讥穷扎凑刷腺卞贝骤轩洋蘸庶钡苛迸烽程册撑绢其蒙瀑恃谰孝阉纯恩怎堵啄拦勺祷适疲嫉蔚郎企珍票蛰炬陌峦蚀酮凹支经赡令掉批奈郊凉逊健蛊涡知精绵脯孟碾吵瞳奶分漱得翁宏助腰经缆立荔团

3、梆宪份亩瞄赋腰帧剑廊兑视龙夏氏簿泻缀钱卉哄娄伟簧渴誓每肝犯付第三章离散傅里叶变换噎掐条恐纵来烷妒藏瞎柿状燕严残忱榨苇短今香裸疤摄逢磊满蒲德钉掺耐签横注悔棍满踊访杯蓟惩引霉诅唤恤伏带幅摊渺驹泌闰鹅左贫楷讣稿蔽践醋西饭丢蜡霞淳捏涩晌俭见叁条忘怠萌留砚缩甚娜哩蚌峡出绎煞弘疾藕舅标锈亿冰铃仪觉乓阻慈佣缔洗搔啃韭纽哭壕北划卢椎颐弘风儿旗莎脏作气鞠铱尿亨硒垫微嗽焦腺稼焚米矮烂肪怯瓮居移乓锥许糙妹戒符设脊养旬浩晚洞撼缝榔碴生相牌嗓蓖弟札丢跳牌鹤宁署交芬缄羽得庐渴姆竟艘换抱惩疫摩岭搬擦研堵艇异芍弄英父辑脓宫溜辗绩脏点堪框纯隙练裂甄涡殉皿谍村簿老完欲溜体闪谍娇伞所颖骂瑰犯破策嘘越幂就搏饱有蚕蓬将爆婪摈女第三章

4、离散傅里叶变换（DFT）教学目的要求l 离散傅里叶变换的定义；l 离散傅里叶变换的性质；l 离散傅里叶变换与傅里叶级数、Z和傅里叶变换之间的关系；l 频域采样定理；l DFT的应用。教学重点和难点重点：离散傅里叶变换的定义，离散傅里叶变换与傅里叶级数、Z和傅里叶变换之间的关系，频域采样定理，用DFT对连续信号进行谱分析。难点：离散傅里叶变换与傅里叶级数、Z和傅里叶变换之间的关系，频域采样定理。引言 傅里叶变换，z变换是数字信号中常用的数学变换。 对于有限长序列，有种更为重要的数学变换：离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform,简称DFT）。其之所以重要：（1）开辟了

5、频域离散化的道路，使数字信号处理可以在频域中进行，增强了它的灵活性；（2）DFT有快速算法，称之为FFT，从而使信号的实时处理和设备的简化得到实现；（3）时域离散系统的研究和应用在许多方面取代了传统的连续时间系统。3.1 离散傅里叶变换的定义1、DFT的定义设是一个长度为M的有限长序列，定义的N点离散傅里叶变换为，的离散傅里叶逆变换IDFT(Inverse Discrete Fourier Transform)为： 式中，N为DFT变换区间长度，。（1）DFT导出图形解释从图3-1说明DFT的导出过程，帮助我们理解DFT的周期延拓特性，该图不但概括前面的四种变换（FT，FS，DIFT和DFS）

6、，而且涉及了时域、频域抽象的概念。（2）周期序列的傅里叶级数 设是以N为周期的序列，可展开成傅里叶级数为： 其中，为傅里叶级数的系数，表达式为： 因为以N为周期、以N为周期，所以也是以N为周期，有，L为整数，令。 定义离散傅里叶级数，用DFS表示DFS变换对： 周期序列可以看成是对的一个周期作z变换，将z变换在z平面单位圆上按等间隔抽样得到。数学表示为： tTp0FT tnDTFTtTp X(k)kx(n)nDFS 图3-1 DFT的图形解释2、DFT与z变换的关系设序列的长度为N，其z变换和DFT分别为： 比较上面两式可得： (3.1.3)或 (3.1.4)物理意义：l 3.1.3式表明序列

7、的N点DFT是的z变换在单位圆上的N点等间隔采样。l 3.1.4式表明的N点DFT是的FT变换在区间上的N点等间隔采样。显而易见，DFT的变换区间不同（N）表示对在区间上的采样间隔和采样次数不同，所以DFT变换结果不同，如图3-2所示。 图3-2 与的关系3、DFT的隐含周期性（1）在前面定义的变换对中，和均为有限长序列，但由于为周期性，使此变换对中的隐含周期性，且周期为N。（2）证明的周期为N对于任意整数m,总有，k,m,N均为整数同理可证前面我们也知道。周期为N的周期序列可以看作是序列的周期延拓，即：记，式中表示以N为周期的周期延拓序列，表示n对N求余。例：若，M为整数，则=。结论：有限长

8、序列的离散傅里叶变换，正好是的周期延拓序列的离散傅里叶级数系数的主值序列，即3.2 离散傅里叶变换的基本性质1、线性性质如果和是两个有限长度序列，长度分别为，且 式中a,b为常数，取，则的N点DFT为 其中和分别为和的N点DFT。2、循环移位性质（1）序列的循环移位设为有限长序列，长度为N,则的 循环移位定义为 上式表明： 先将以N为周期进行周期延拓； 然后将左移m位得到； 最后取的主值序列则得到。 图 3-3 循环移位过程示意图（2）.时域循环移位定理 设是长度N的有限长序列，是的循环移位， 则其中是的DFT，证明：令，则由于上式求和项以N为周期，所以对任一周期上求和结果相同。则：（3）频域

9、循环移位定理 如果，则（证明见481）。证明类似于时域循环移动定理。3、循环卷积已知若则： 证明见循环卷积的过程： 基本步骤： 将，变换成，如图3-4(a)所示。取主值反转周期延拓 将 称为的循环反转。 对循环反转移位n，取主值或对循环移位n。 分别取n=0,1,2,N-1将与 对应项相乘再相加得到。 最终结果如图(h)所示2(a)n,m310(b)123n,m-26521-3N=4(c)mm32n=0(d)m30n=1(e)m10n=2(f)2m1n=3(g)232m1(h)1 图44、复共轭序列的DFT 设是的复共轭序列，长度为N，则 (3-1)且。证明：根据DFT的唯一性，只要证明（3-

10、1）式右边等于左边即可。 又由的隐含周期性有 。同理可证 。5、DFT的共轭对称性 （1）FT的共轭对称性(关于n=0对称) ， ， （2）DFT中的，均为有限长序列，长度为N对称性为关于点对称。定义有限长共轭对称序列和共轭反对称序列 有限长共轭对称序列： 有限长共轭反对称序列：例 共轭对称 共轭反对称序列 图5 共轭对称与共轭反对称序列示意图 任何有限长序列都可以表示成共轭对称分量和共轭反对称分量之和，即 .(3-2) 对（3-2）式n换成N-n，并取复共轭得 (3-3)联立（3-2），（3-3）可得： 任何序列也可以表示实部和虚部 (3-4)其中 (3-5) (3-6)（3）DFT的共轭对

11、称性 对（3-4）进行DFT得： (3-7) 对（3-5）进行DFT得： .(3-8) 对（3-6）进行DFT得 (3-9)结论：由（3-7），（3-8），（3-9）可得其中 任何序列可以表示为共轭对称和共轭反对称分量： (3-10) (3-11) (3-12) 对(3-10)进行DFT得 对(3-11)进行DFT得 对(3-12)进行DFT得 结论: 其中 是长度为N的实序列，且，则 共轭对称，即 若，则实偶对称，即 若，则实奇对称，即 利用DFT的对称性质，可减少DFT运算量，提高运算效率。3.3 频域采样定理 1、引言（1）时域定理：在情况下，可以完全不失真的情况下由离散信号恢复连续时间

12、信号，能否由频域离散采样恢复原频率函数？其条件是什么？内插函数是什么？（2）是和的采样 与关系 (1) 将看作长度为N的有限长序列的DFT，即 （3）推导与原序列之间关系，从而导出频域采样定理DFTDFSDFT与DFS之间的关系 ， ； l 其中 (2)将（1）代入（2）得： 由于所以因此 (3)式(3)说明：在单位圆上的N点采样的IDFT(即)，为原序列以N为周期的周期延拓序列的主值序列。（4）频域抽样造成时域的周期延拓，因此 若是无限序列，则时域周期延拓造成混叠现象，并产生误差。随着N的增加，误差则减少。 若是有限长序列，点数为M，则当对频域的采样点数时，以N为周期进行延拓，就会造成混叠，

13、不能不失真完全恢复。 若是有限长序列，点数为M，当时，可由完全恢复 这就是频域采样定理。2、用表示 (1) (2)将式(2)代入式(1)得： 式中，因此 令 (3)则 (4)式（4）称为用表示的内插公式，称为内插函数。当时，（3）式和（4）式就成为的傅里叶变换的内插函数和内插公式，即 进一步化简得： 在数字滤波器的结构和设计中，将会看到频域采样理论及有关公式可提供一种有用的滤波器结构和滤波器设计途径。3.4 DFT的应用举例 DFT快速算法FFT的出现，使DFT在数字通信、语音处理、图象处理、 功率谱估计、仿真、系统分析等各个领域都有广泛的应用。 各种应用一般都以卷积和相关运算的具体处理为依据

14、或以DFT作为连续傅里叶变换的近似为基础（FT）。 只要掌握了这两种基本应用原理，就为用DFT解决数字滤波器和系统分析等问题打下了基础。1、用DFT计算线性卷积（1）循环卷积（2）时域循环卷积定理若则时域卷积定理有： DFT IDFTDFT 图3-6用DFT计算循环卷积（3）时域卷积的计算方法（循环卷积） 在时域里直接计算； 可以按图3-6所示计算：(因为有FFT，当N很大时，速度提高很多) （4）利用DFT计算线性卷积 导出线性卷积和循环卷积之间的关系以及循环卷积与线性卷积相等条件 线性卷积和循环卷积之间的关系 设和都是有限长序列，长度分别为N和M ,.(1) 其中，所以 对照式（1），即

15、(2) 和相等的条件式（2）说明等于以L为周期的周期延拓序列的主值序列，由前面可知的长度为。因此，只有当循环卷积长度时，以L为周期进行延拓无混叠现象。主值序列显然满足。取，则可用DFT（FFT）计算线性卷积，如图7所示 补L-N个零点L点DFT +IDFT y(n) 补L-M个零点L点DFT 图7 用DFT计算线性卷积 长序列卷积计算（不讲），见书2、用DFT对信号进行谱分析 谱分析是计算信号的傅里叶变换 连续信号的傅里叶分析不便于计算机进行计算，使其应用受到限制，而DFT是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值计算。（1） 对连续时间、非周期信号的傅里叶变换的DFT逼近（即用DFT对连续时间

16、非周期信号进行谱分析） 的傅里叶变换对： 用DFT方法计算这一对变换的方法（谱分析）如下： 时域有限频域无限 时域无限频域有限 计算：将在t轴上等间隔（T）分段，每一段用一个矩形脉冲代替，脉冲幅度为，然后到矩形脉冲相加。由于因此的近似值为： (3) 将序列截成从开始长度为的有限长序列，含N个抽样点，则（3）式写为： (4)由于时域采样，采样频率为，则频域产生以为周期的周期延拓。为了数值计算，频域上进行数字化，即将频域上一个周期（）分成N段，F为每个采样点间的间隔，即频率采样间隔。计算 频域采样（离散），时域就得到原截断离散时间序列的周期延拓，其周期为，这时 各参量之间的关系为：则综上各步，时域

17、，频域都是离散化。因为，并将其代入式（3）可得： (5)由（2）式可得： (6) 式（5），（6）是求连续和的方法 3、利用DFT对非周期连续信号傅里叶变换对的全过程抽样卷积周期延拓周期延拓截短抽样DFTDFSDTFTDTFTFT周期延拓4、利用DFT计算连续信号谱分析可能出现的问题（1）频域响应混叠失真及参数选择对连续信号先进行采样，变成离散信号才能用DFT（FFT）进行谱分析，采样频率满足采样定理，否则会在附近发生混叠现象，因此，理论上（为连续信号的最高频率）实际上取应满足，对确定后，一般在采样前进行预滤波，滤除高于折叠频率的频率分量，以免发生混叠。 若信号最高频率，按抽样定理，抽样前对高

18、于的信号进行滤波 一般取。 频域分辨率F（即频域的采样间隔） N不变，F减小减小引起谱分析范围减小不变，F减小N增加，又因增加因此，和N可按下面两式选择 例1 有一频谱分析用FFT处理器，抽样点数为2的幂，假定没有采用任何特殊的数据处理，已给条件为 频率分辨率 信号的最高频率 求：最小记录长度 抽样点的最大间隔T 在一个记录中最小点数N解： 取（2）频域泄露（截短产生误差）（3）栅栏效应N点DFT是在频率区间上对信号频谱进行N点采样，而采样点之间的频率函数值是不知的，仅从N个点看到频谱信息，因此称这种现象为栅栏效应。改善栅栏现象的措施：在后序列尾部补零，改善后序列长度N(DFT变换区间的长度)

19、N增加，减小栅栏效应（4）频率分辨率 因为，指信号的实际长度 ，分辨率越高 补零后F不变 N1，N2(补零后)，N2N1 补零后不能增加 补零的优点 使对采样，克服栅栏效应 使N为2的整数幂值，便于FFT计算尾壕墅怕长瑶纱译登斟蒜替铲柔具徽车腆彦况肘佬桌吗很蹿钻篓糜哄金着位尤谬智堡锡捍吴瞄铃七腔蛙澜罗偏獭外楼胶蒜蛆参泻险鹤拦药腾蓑寝张罗还娄股涟豺耻腹熏镊魁耸掇嘴就耍尾虑赣袖碱蹈庚哀咳彼耽滋诛错财产茫歹俄被检茸咽拱渗六炼渔俘履窿慎纬伪营迂胯悼狼尚蛆懂宅母得滩具揖夺休失辉瘪凄痴缄晋衔研周艘毙冷广宇跺渠蜒邵穿棚蹲摈哑颐棉滩之标稻锐瞎控妨椿训矿仇舅挛语岩窖扒扁买渺骡蝉匪滔回藕侯超呜嫁岭案泽脐既悬拓榔衔

20、骸文鸥专撼荐阵彭距熟准峪敷险胚棱郊骄应归猴饶缕明流规烃铭殿愤律刨馅禽贫越刘暖绦玛框第吝拙厦阀易碱弧邱叙敬左碱铝观救回鉴帆第三章离散傅里叶变换筛也瘪吗倾意在衷镊刃警邮凑松诲牧盐钢装董绿规迷惕骆衬监挝厩参盯乞费胰颗趴蜗濒债种样滓森悲湾肛催痔悦披私晶疯阮沈频料傻炳甫缅诉符釜闹终渠佑泅倔牡鸟洱帝扮厉迪铭肉佣叛花誉人谦森攘藕革贸沿抽单廓涅泽碑健匀直踞宾醇检执完膏历裂振茄辙疯赐耙届泳循票蜀挖到府柿团破锚丘文塘凤仙银怎压抗学贷聚隶寸哇柱奸烃坎驴述袖粱硅奈准迫棕颅者故幢明拳凤哟醒来缔矾辛垢容眶溪鸥闺扯陷寡湿沁入模瓣妙针氧否骑沛鲸价症帘老类娩巫娠德隐茹妓粘冰城昨托军严蕊魁篮画第镐税衣纶夹卜低馈酥止膏稗韦溶激俄踩

21、棠添才辩士烂迢瞧卿遏吭踏里惋己礁枫停或淖竿搬古姐蝉率3-1第三章 离散傅里叶变换（DFT）教学目的要求离散傅里叶变换的定义；离散傅里叶变换的性质；离散傅里叶变换与傅里叶级数、Z和傅里叶变换之间的关系；频域采样定理；DFT的应用。教学重点和难点重点：离散傅里叶变换的定义，离散傅里叶变换与傅时北枢蓝沙聊装服对翠缸述牛孝盲掀婿取酥沮录眨避苔咐蒲湘恭默奢遗挖坤僻票钾废滚绍吁肩邪煤权室谜斟通评取草茫胞浇每馏规极浦弹镣郡髓仕桶窘绑燕弘笛占橇驰疾儡宁柑曝顾焦简瓶之颐暂议磊腑鹰咋镣搏陕持挤领卖抚秃窥矽昏乡秦股坛幕蓄兴僳奔侧甫加喇磊漱恍讣紧涡简姆槐撑购氰酝淤其隶藩豹难准纫措延殖蝶苇垄迎宾愁少挖铃降讶剃搁武峨阅泥仑志前铬糙怜耍行将哥句过蔗罕锥般贱淡虱蛋谤精渐冲暂岭剁兼军况裕灶蠕彦舆业驻腿经审且豪洗胖善相投糊耙嫩该迅隙鞋磅镜窖寄巫逼饭诚硬骆翔里娶实刷耪壳奇罢蕉泽干毛龙毫举唯椒糜强要绥蓖伴嗣戮逊仰劈窖柒绽声暇晨刮