二项式定理教学材料

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1、辅导工具 a11.3 二项式定理（1）教材分析教材分析本节内容是数学选修 2-3 第一章 第三节，是在学习了计数原理的基础上展开的。一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也为学习随机变量及其分步做准备。另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的认识有好处。总之，二项式定理是综合性的、具有联系不同内容作用的知识.课时分配本节内容用 2 课时的时间完成，第一节主要用两个计数原理分析()nab的展开式，归纳的得出二项式定理，并能用计数原理和数学归纳法证明。掌握二项展开式的通项公式，并会简单应用。第二课 时 主

2、要 是 运 用 二 项 式 定 理 解 决 整 除 问 题 、 求 特 殊 项 等 问 题 。教案目标教案目标重点: 用两个计数原理分析()nab的展开式，归纳的得出二项式定理，并能用计数原理证明。掌握二项展开式的通项公式。难点：用两个原理分析()nab的展开式；用两个原理证明二项式定理知识点：理解二项展开式的推导过程；掌握公式的运用。能力点：如何探寻二项展开式证明思路，归纳思想的运用.教育点：经历由特殊到一般的研究数学问题的过程，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情.自主探究点：运用数学归纳法证明二项式定理.考试点：用通项公式求特殊项.拓展点：用数学归纳法证明二项式定理.教具准备教具准备多媒体

3、课件课堂模式课堂模式学案导学一、引入新课一、引入新课22202122222()2abaabbC aC abC b；33223031222333333()33abaa babbC aC a bC abC b4()()()()()abab ab ab ab的各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：4a，3a b，22a b，3ab，4b，辅导工具 a2展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即04C种，4a的系数是04C；恰有1个取b的情况有14C种，3a b的系数是14C，恰有2个取b的情况有24C种，22a b的系数是24C，恰有3个取b的情况有34C种，3ab的系数是

4、34C，有4都取b的情况有44C种，4b的系数是44C，40413222334444444()abC aC a bC a bC a bC b【设计说明】【设计说明】由特殊到一般，既引出二项式定理，又对二项展开式 项的产生给出了科学的解释，为下一步二项定理的证明做好铺垫。二、探究新知二、探究新知一般地，对于任意正整数n，上面的关系式也是成立的，即011().nnnrn rrnnnnnnabC aC abC abC b证明一：()nab是n个()ab相乘，每个()ab在相乘时，有两种选择，选a或b，由分步计数原理可知展开式共有2n项（包括同类项） ，其中每一项都是kn ka b的形式，k=0，1，

5、n；对于每一项kn ka b，它是由k个()ab选了a，nk个()ab选了b得到的，它出现的次数相当于从n个()ab中取k个a的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理。证明二：数学归纳法证明证明证明：(1)当 n=1 时，左边(a+b)1=a +b右边01Ca1+11Cb1=a+b等式成立(2)假设 n=k 时，等式成立，即(a+b)k=0kCak+1kCak-1b+rkCak-rbr+kkCbk那么当 n=k+1 时(a+b)k+1=(a+b)k(a+b)=(0kCak+1kCak-1b+rkCak-rbr+kkCbk)(a+b)(0kCak+1+1kCakb+rkCak

6、-r+1br+kkCabk)+(0kCakb+1kCak-1b2+rkCak-rbr+1kkCbk+1)0kCak+1+(1kC+0kC)akb+(1rkC+rkC)ak-rbr+1+(kkC+1kkC)abk+kkCbk+1由组合数性质得，okC=01kC1kC+okC=11kC， 1rkC+rkC=11rkC，kkC+1kkC=kkC1，kkC=11kkC辅导工具 a3(a+b)k+1=01kCak+1+11kCakb1+11kkCak-rbr+1+kkC1abk+11kkCbk+1，即1nk等式成立。由数学归纳法知，等式对一切*nN都成立。三、理解新知三、理解新知1、项数：展开式中共1n

7、项。2、指数：字母a按降幂排列，次数由n到 0；字母b按升幂排列，次数由 0 到n.3、系数：各项的系数(0,1,)rnCrn叫二项式系数。4、通项：rn rrnC ab叫二项展开式的通项，用1rT表示，即通项1rn rrrnTC ab5、特例：设1,abx，则1(1)1nrrnnnxC xC xx 设计意图设计意图分析二项展开式得到结构特点，使学生准确的记忆公式，为准确地运用新知，作必要的铺垫.四、运用新知四、运用新知例 1求61(2)xx的展开式.解法 1：先化成指数幂，直接展开111111111606152423332222222226666(2)(2)(2) ()(2) ()(2) (

8、)xxCxCxxCxxCxx111142455662222666(2) ()(2)()()CxxCxxCx03122366666432168CxCxCxC41526366642CxCxC x32236012164192240160 xxxxxx解法 2：为了方便，可以先化简后展开61(2)xx=663211()(21)xxxx6152433425666666631(2 )(2 )(2 )(2 )(2 )(2 )xCxCxCxCxCxCx6543231(646 3215 1620 815 46 21)xxxxxxx 32236012164192240160 xxxxxx设计意图设计意图本题主要让

9、学生熟悉二项展开式，教师引导学生独立完成，可以让学生对“直接展开”和“化简后展开”进行对比。例 2 已知在3x33xn的展开式中，第 6 项为常数项辅导工具 a4(1)求 n；(2)求含 x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项【分析】本题主要运用二项式定理的通项求特殊项。对于有理项，要求系数为有理数，字母指数为整数或分数。解：通项公式为 Tr1Crnxnr3(3)rxr3(3)rCrnxn2r3.(1)第 6 项为常数项，r5 时，有n2r30，解得 n10.(2)令n2r32，得 r12(n6)2，x2的项的系数为 C210(3)2405.(3)由题意得102r3Z，0r10，rZ.令

10、102r3k(kZ)，则 102r3k，即 r532k.rZ，k 应为偶数，k2，0，2，即 r2，5，8.则第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为 405x2，61236，295245x2.设计意图设计意图让学生认识通项在求一些特殊项中的应用。并把有理项的概念给学生讲明，避免在课后作业中碰到而不知所措。五、课堂小结五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：知识： （1）二项展开式011().nnnrn rrnnnnnnabC aC abC abC b.（2）通项1rn rrrnTC ab.思想方法：归纳思想，转化与划归思想教师总结：我们

11、用特殊到一般的归纳思想推导出二项式定理，公式的推导和证明过程用到了第一章学过的知识，从项的产生着手，易于理解。无论是对二项式展开，还是求特定项，可以先进行化简，降低运算量，避免出错，体现了转化与划归的思想方法。六、布置作业六、布置作业1阅读教材阅读教材 P2931；2.书面作业书面作业必做题：必做题：P31练习 2、3、4.P37 习题 1.3A 组2.4.辅导工具 a5选做题：选做题：1.若510sin,sin,510且, 为锐角，则.1.(2012高考福建卷)4()ax的展开式中3x的系数等于 8，则实数a_2.(2012新乡质检)如果321()nxx的展开式中，含2x项为第三项，则自然数

12、n _3.化简432(1)4(1)6(1)4(1) 1xxxx得_4.求61(2)xx的展开式中，(1)第 3 项的二项式系数及系数；(2)含2x的项及项数选做题答案：1.22.83.4x4.(1)第 3 项的二项式系数为2615C ，第 3 项的系数为4262240C .(2)T2192x2.设计意图设计意图作业设计，一是让学生通过阅读教材对二项式定理有更深入的认知，二是通过课后作业的练习进一步巩固对本节知识的掌握。七、教后反思七、教后反思1.本教案的亮点是（1）用归纳的方法得出二项式定理，并用两种方法进行证明。 （2）在例题的教案中，紧扣本节的两个问题展开。 （3）作业的布置适中，对巩固基础起到了良好的作用2.本节课的弱项是对师生互动环节设计的不够细致.八、板书设计八、板书设计13.1 二项式定理一、二项式定理：二、证明：三、说明：例一例二四、小结五、作业布置辅导工具 a6